Момент инерции твердых тел

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси ОО (рис. 1.1) его инерциальные свойства определяются не только массой тела, но и распределением этой массы относительно оси вращения.

Рис. 1.1. Вращение твер­дого тела массой mвокруг неподвижной оси ОО

. (1.1)

Момент инерции твердого тела произвольной геометрической формы относительно неподвижной оси ОО равен алгебраической сумме моментов инерций всех его точек относительно этой оси:

, (1.2)

где J_i – момент инерции i-йточки; m_i – масса i-й точки; r_i – расстояние i-й точки до оси вращения «ОО».

Для тел правильной геометрической формы моменты инерций описываются точными выражениями. Например: для шара массой m и радиусом r, вращающегося относительно центральной оси, момент инерции Jравен произведению 2/5 массы на квадрат радиуса шара (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Шар массой m, вращающийся относитель­но центральной оси ОО. Точка С – центр массы шара

Центральной осью вращения ОО (рис. 2) называют ось, проходящую через центр массы тела С.

Для сплошного цилиндра массой mмомент инерции относительно центральной оси равен произведению 1/2 массы цилиндра на квадрат радиуса основания цилиндра (рис. 1.3):

. (1.4)

При изменении положения оси вращения относительно центра масс изменяется и момент инерции тела. При параллельном переносе оси вращения справедлива теорема Штейнера. По теореме Штейнера определяют момент инерции твердого тела любой геометрической формы относительно нецентральной оси (рис. 1.4).

Теорема: «Если ось вращения, проходящую через центр массы тела, переместить параллельно самой себе на расстояние b, то момент инерции относительно этой оси будет равен алгебраической сумме момента инерции тела J_o, относительно центральной оси вращения, и произведению массы тела m на квадрат расстояния b между осями», т.е.

.(1.5)

Рис. 1.3. Цилиндр массой m, вращающийся относительно центральной оси ОО. Точка С – центр массы цилиндра

Рис. 1.4. Момент инерции цилиндра от­­носительно центральной оси 11 – J0 и относительно оси 22 – J; b – расстояние между осями

1.2. Основной закон динамики вращательного движения
твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

, (1.6)

где F – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Рис. 1.5. Твердое тело, вращающееся под действием силы F около оси ОО

Для каждой материальной точки можно записать:

, где ,

поэтому

, (1.7)

где m_i – масса i-й точки; – угловое ускорение;
r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую часть уравнения (1.7) на r_i­, получают

, (1.8)

где – момент силы – это произведение силы на ее плечо r_i­.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения ОО (рис. 1.5) до линии действия силы .

– момент инерции i-й материальной точки.

Выражение (1.8) можно записать так:

. (1.9)

Просуммируем левую и правую часть (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через М, а через J, тогда

. (1.10)

Уравнение (1.10) – основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина – геометрическая сумма всех моментов сил, т.е. момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение . – алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела.
Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени t , т.е.

, (1.11)

где – элементарное изменение угловой скорости тела за элементарный промежуток времени dt.

Если в выражение основного закона (1.10) поставить значение мгновенного ускорения (1.11), то

или , (1.12)

где – импульс момента силы – это произведение момента силы М на промежуток времени dt .

– изменение момента импульса тела,

– момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть dL.

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: «Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса dL»:

, или = dL. (1.13)