ЗАДАНИЕ ПО УНИРС

Сделать программу для расчета скорости во второй части работы. Расчетная формула: .

Формулировка задачи № 1.

Для определенной силы натяжения струны, взяв значения длин волн и частот из табл. 2 работы, определить среднее значение скорости распространения стоячей волны.

Формулировка задачи № 2.

Для различных сил натяжения струны, зная длины волн и частоты (взять из табл. 2 работы), определить среднее значение скоростей распространения стоячих волн по струне.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется волной?

2. Какие волны называются стоячими?

3. При каких условиях возникают стоячие волны?

4. От чего зависит скорость распространения волн в упругой среде?

5. Записать условия для образования узлов и пучностей стоячей волны.

Лабораторная работа 17М «ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ С УЧЕТОМ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ» (Н.М. Киреева, Д.С. Фалеев, 2014 г.)

В лабораторной работе на примере вращательного движения и соударения шаров теоретически изучаются основные законы природы: закон сохранения импульса и энергии. Экспериментальная проверка этих законов позволяет уяснить смысл идеализации физических явлений. В эксперименте предлагаются тела, изготовленные из различных материалов, что позволяет определить степень упругости тел, вычислить коэффициент упругости и сделать соответствующие выводы. . При подготовке к выполнению и защите лабораторной работы могут быть использованы учебники [1, 2, 7, 9 ].

Цель работы: изучить законы сохранения энергии и импульса с учетом вращательного движения, вычислить коэффициент восстановления и потери энергии шаров при соударении.

Приборы и принадлежности: установка для изучения центрального удара шаров при вращательном движении; штангенциркуль; шары (металлические, резиновые, деревянные).

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Импульс. Закон сохранения импульса

Рассмотрим совокупность материальных точек, составляющих одно целое, механическую систему. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Если на механическую систему не действуют внешние силы, она называется замкнутой. Физической величиной, характеризующей механическое состояние при движении тела, является импульс – векторная величина, численно равная произведению массы тела и его скорости и совпадающая по направлению с направлением скорости

(1.1)

При рассмотрении системы тел импульс этой системы определяется как векторная сумма импульсов тел, входящих в эту систему. Из второго закона динамики: скорость изменения импульса тела равна по величине действующей силе и совпадает с ней по направлению

или . (1.2)

Таким образом, любое изменение импульса этого тела может происходить только при действии на него сил.

В замкнутой системе внешние силы не действуют = 0, тогда уравнение (1.2) принимает вид

= 0, (1.3)

т.е. производная по времени от импульса равна нулю, а следовательно, импульс есть постоянная величина:

. (1.4)

Полученное выражение является законом сохранения импульса: в замкнутой системе тел суммарный импульс системы не изменяется с течением времени.

Этот закон носит универсальный характер, т.е. закон сохранения импульса – фундаментальный закон природы. Следует отметить, что импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

1.2. Энергия. Закон сохранения энергии

Энергия – это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные виды энергии: механическую, тепловую, звуковую, электромагнитную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется, в других – переходит в иную форму. При этом во всех случаях энергия, отданная одним телом, равна энергии, полученной другим телом.

Как показывает опыт, тела часто оказываются в состоянии совершать работу над другими телами. Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией. Энергия тела может быть обусловлена причинами двоякого рода: во-первых, движением тела с некоторой скоростью – это кинетическая энергия и, во-вторых, нахождением тела в потенциальном поле действия сил – это потенциальная энергия. Таким образом, можно говорить, что кинетическая энергия является энергией движения, а потенциальная – энергией взаимодействия. Кинетическая энергия определяется по формуле

. (1.5)

Выражение для определения потенциальной энергии определяется видом взаимодействия. Для тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h, потенциальная энергия определяется по формуле .

Величина E, равная сумме кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией тела

(1.6)

Если система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют, то получим
= 0, откуда следует, что

. (1.7)

В этой формуле заключается один из основных законов механики – закон сохранения энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. В замкнутых системах, где кроме консервативных сил действуют также неконсервативные силы, выполняется более общий закон сохранения энергии – в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и немеханические).

1.3. Центральный удар шаров. Теория удара

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар (столкновение) двух шаров – кратковременное взаимодействие соприкасающихся тел, при котором значительно изменяется состояние их движения.

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации; этот процесс можно разделить на две фазы: 1) сближение тел – возникновение деформаций; 2) разлет – полное или частичное исчезновение деформаций. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела до удара частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации (внутреннюю энергию). Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры. Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами. Однако относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что не существует идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после V* и до удара V называется коэффициентом восстановления

. (1.8)

Величина ε может принимать значения .

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Различают три вида удара: абсолютно упругий, абсолютно неупругий и частично упругий удары. Первые два вида являются предельными случаями.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. Для абсолютно упругого удара коэффициент восстановления ε = 1. Следует подчеркнуть, что это идеализированный случай. Наиболее приближенным вариантом абсолютно упругого удара можно считать столкновении шаров из слоновой кости на бильярдном столе (

Обозначим массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара и , а после удара и соответственно.

Законы сохранения энергии и импульса примут вид:

; (1.9)

. (1.10)

Выполнив некоторые математически преобразования, получим

. (1.11)

Решая совместно уравнения (1.9) и (1.10) найдем формулы для определения скоростей:

; (1.12)

. (1.13)

Рассмотрим несколько вариантов для значений скоростей и масс:

1. Если скорости шаров до удара отличны от нуля V₁≠ 0, V₂≠ 0.

Преобразуем равенство (1.11) или

, (1.14)

где есть относительная скорость шаров до удара; – относительная скорость шаров после удара, таким образом: относительная скорость шаров после удара остается по абсолютной величине, равной относительной скорости шаров до удара, но меняет знак на противоположный.

2. Если до удара второй шар неподвижен V₂ = 0

; (1.15)

; (1.16)

а) m₁ = m₂. Первый шар после удара остановится ( ), а второй шар будет двигаться с то же скоростью и в том же направлении, что и первый шар до удара ( ); при упругом центральном ударе двух шаров одинаковой массы шары обмениваются скоростями;

б) m₁ ˃ m₂. После удара первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью ( ), а скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара ( );

в) m₁˂ m₂. Направление движения первого шара при ударе изменяется на противоположное, а второй шар после удара движется в ту же сторону, что первый шар до удара, но с меньшей скоростью ( );

г) m₂˃˃ m₁. Из уравнений (1.12) и (1.13) следует , ; при ударе шара о массивную стенку его скорость меняется на противоположную, скорость стенки не изменяется.

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются и либо покоятся, либо двигаются с одинаковой скоростью как единое целое (например, пластилиновые шарики). Шары претерпевают деформацию (форма и размеры изменяются), их скорости выравниваются, суммарная кинетическая энергия шаров после удара уменьшается по сравнению с первоначальной (до удара), так как часть ее переходит в другие формы энергии – тепловую, звуковую, пластических деформаций и т.д.

Для этого случая закон сохранения энергии запишем в виде

. (1.17)

В этом выражении слагаемое Q есть потери механической энергии, которое называется энергией диссипации, а система, в которой происходит потеря механической энергии – диссипативной. Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит потеря механической энергии под действием диссипативных сил. Для абсолютно неупругого удара коэффициент восстановления ε = 0.

Воспользовавшись законом сохранения импульса, определим скорости шаров после удара , откуда

. (1.18)

Следует отметить некоторые практические выводы для абсолютно неупругого удара.

1. Если удар применяется для изменения формы неподвижного тела (ковка металла, дробление), то желательно как можно большую часть кинетической энергии подвижного тела (например, молотка) превратить в работу деформации. Для этого необходимо увеличить массу неподвижного тела.

2. При использовании удара для перемещения неподвижного тела с целью преодоления сопротивления (вбивание гвоздей, свай в землю) желательно уменьшить работу деформации и максимально сохранить кинетическую энергию обоих тел после удара. Этого можно достичь путем увеличения массы ударяющего тела (например, молотка) и уменьшения массы неподвижного тела (например, гвоздя).

При частично упругом ударе скорость после удара будет составлять некоторую долю относительной скорости шаров до удара

,

отсюда, коэффициент восстановления

. (1.19)

1.4. Момент инерции и кинетическая энергия вращения

При изучении вращения твердых тел необходимо определить понятие момента инерции, который является мерой инерции вращающегося тела.

Моментом инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения называется физическая величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния до этой оси

. (1.20)

Всякое физическое тело состоит из материальных точек и момент инерции физического тела определяется как алгебраическая сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих физическое тело

(1.21)

Для тел правильной геометрической формы (шар, цилиндр) можно определить центральную ось вращения – это ось, проходящая через центр масс тела и момент инерции для таких тел описывается точным выражением:

· для шара, радиусом r

(1.22)

· для сплошного цилиндра с радиусом основания r

. (1.23)

При изменении положения оси вращения относительно центра масс изменяется и момент инерции тела. Если известен момент инерции тела относительно центральной оси, то момент инерции относительно любой другой параллельной ей оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J, относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции J₀ относительно центральной оси тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 1.1)

Если тело движется поступательно, то оно обладает кинетической энергией , где m – масса тела; V – линейная скорость этого тела. Движение вращающегося тела характеризуется угловой скоростью ω, а мерой его инертности является момент инерции J, связь линейной и угловой скорости . Запишем формулу для i-й точки, вращающейся вокруг неподвиж­ной оси z:

, (1.25)

то есть кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна той работе, которое может совершить это тело до полной остановки.

1.5. Основной закон динамики вращательного
движения твердого тела

Если к твердому телу массой m в точке А приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F₁, F₂,…, F_n. Для каждой материальной точки можно записать выражение второго закона Ньютона: , где линейное ускорение a_i можно представить через угловое ускорение и тогда

, (1.26)

где m_i – масса i-й точки; ε – угловое ускорение; r_i – расстояние от точки до оси вращения. Умножив правую и левую части уравнения на множитель r_i, получим

, (1.27)

здесь левая часть равенства есть момент силы M_i– произведение силы F_i на плечо r_i. Запишем выражение (1.27) с учетом момента инерции i-той материальной и, просуммировав его левую и правую части по всем точкам тела, получим

. (1.28)

Этим уравнением описывается основной закон динамики вращательного движения твердого тела: момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.

1.6. Силы трения

При перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга возникают силы трения. Если трение возникает между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа), то его называют внутренним, если трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, то внешним. Силу трения, возникающую при движении твердого тела относительно жидкостей или газообразной среды, следует отнести к внутреннему трению.

Выделяют также сухое и вязкое трение. Применительно к сухому трению выделяют трение скольжения и трение качения. Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям (или слоям), причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев). В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое скольжение, и тогда она называется силой трения покоя.

Законы сухого трения таковы: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от величины поверхности соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давления f_n прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

(1.29)

Безразмерный коэффициент пропорциональности k в выражении (1.29) называют коэффициентом трения (соответственно трения или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости. В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости.

В повседневной жизни трение может быть как полезным так и крайне отрицательным и приходится принимать меры к его ослаблению. Так обстоит, например, дело с трением в подшипниках или с трением между втулкой колеса и осью. Наиболее радикальным способом уменьшения сил трения является замена трения скольжения трением качения, которое возникает, например, между цилиндрическим или шарообразным телом, катящимся по плоской или изогнутой поверхности. Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньше.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Конструкция установки (рис. 2.1, 2.2) представляет собой четыре желоба, расположенных попарно под углами 30° и 40° соответственно к металлической опоре, жестко с ней соединенных. В основании желобов имеются горизонтальные стартовые площадки. Парные желобы имеют общее соединение на уровне металлической опоры. Для фиксации отклонения шаров после соударения на боковых поверхностях желобов имеется измерительная шкала.

Рис. 2.1. Лабораторная установка

Рис. 2.2. Схема установки: 1 – левый же­лоб; 2 – правый желоб; 3 – основание;

4 – общая нижняя под­ложка; 5 – стартовая площадка; 6 – шарик

3. МЕТОД РАБОТЫ

3.1. Определение скорости с учетом вращательного движения

Согласно закону сохранения энергии

(3.1)

и зная формулы для определения потенциальной и кинетичес­кой энергии для вращательного движения

(3.2)

перепишем выражение (3.1) в виде:

,

учитывая, что момент инерции для шара и связь угловой и линейной скоростей

,

отсюда выражение для линейной скорости

(3.3)

Выражение для h найдем из соотношения из прямоугольного треугольника АВС (см. рис. 2.2). Если подставить данное выражение в (3.3), то конечная формула для определения скорости примет вид:

. (3.4)

3.2. Определение энергии скатывающегося шарика

Для определения энергии скатывающегося шарика (с учетом вращательного движения) формулу (3.2) преобразуем в следующее выражение:

. (3.5)

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. С помощью штангенциркуля измерить диаметр одного металлического шарика три раза (считаем массу и радиус шариков одинаковыми); вычислить среднее значение; вычислить средний радиус и занести значение в таблицу.

Таблица

m =

до удара

после удара

r =

левый

правый

левый

правый

значения

l1

V1

m1V1

l2

V2

m1V1

среднее

Импульс

Энергия

2. Установить один шарик на общую подложку, а другой шарик на левую стартовую площадку желоба с углом наклона 30°.

3. Записать значение длины левого желоба по шкале в таблицу – столбец l₁.

4. Отпустить левый шарик свободно скатываться по желобу до соударения с правым шариком; после соударения заметить по шкале поднятие правого шарика по правому желобу и занести значение .

5. Повторить п. 1–4 три раза и занести полученные значения в таблицу.

6. Переложить правый шарик на общую подложку, а левый шарик на левую стартовую площадку желоба с углом наклона 40°.

7. Повторить эксперимент для этого случая по тому же принципу три раза.

8. Вычислить среднее значение длин l₁, и занести в таблицу.

9. Вычислить значение скоростей для левого шарика V₁ и правого шарика , используя (расчетную) формулу (3.4).

10. Вычислить значение скорости правого шарика после удара ,
используя (теоретическую) формулу (1.16).

11. Сравнить полученные значения и определить тип взаимодействия.

12. Определить импульсы левого и правого шаров до и после удара.

13. Проверить выполнение закона сохранения импульса по формуле (1.4).

14. Вычислить коэффициент восстановления по формуле (1.19).

15. Вычислить энергию скатывающегося по левому желобу левого шарика W и поднимающегося по правому желобу правого шарика W¢ по формуле (3.5).

16. Проверить закон сохранения энергии по формуле (1.7).

17. Определить потери энергии .

18. Повторить все пункты для резиновых и деревянных шариков.

5. ЗАДАНИЕ ПО УИРС (опыт с тремя шариками)

1. Поместите на общую подложку два шарика последовательно впритык друг к другу, а на стартовую площадку левого желоба один шарик; запишите значение длины левого желоба l₁.

2. Отпустите левый шарик свободно скатываться по желобу до соударения и зафиксировать отклонение правого шарика по шкале правого желоба; повторите опыт три раза и запишите значение .

3. Вычислите скорость левого V₁ и правого шарика по формуле (1.16).

4. Определите потери энергии , используя для нахождения W и W¢ формулу (3.5).

5. Сделайте вывод по работе – сравнительный анализ значений потерь энергии ΔW для различных пар шариков.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется импульсом? Сформулируйте закон сохранения импульса.

2. Дайте понятие энергии. Назовите виды механической энергии. Сформулируйте закон сохранения энергии.

3. Опишите условия упругого и неупругого ударов.

4. Что определяет коэффициент восстановления?

5. Что называется моментом инерции тела? Сформулируйте теорему Штейнера.

6. Выведите формулу кинетической энергии вращающегося тела.

7. Выведите формулу для определения энергии тела при скатывании
(с учетом вращательного движения).

8. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

9. Что такое сила трения. Назовите виды трения.

10. Как можно уменьшить действие силы трения?