Математическая модель задачи

Лабораторная работа № 1

Методы линейного программирования и оптимизации в экономике

Цель работы: научиться решать экономические задачи оптимизации средствами линейного программирования в Excel.

Постановка задачи. 1

Математическая модель задачи. 1

Образец решения. 2

Оформление результатов решения задачи. 6

Задания для самостоятельного решения. 9

Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решенияэкстремальных задач, характеризующихсялинейной зависимостьюмеждупеременными.

Линейными называются такие зависимости, в которые переменные входят в первой степени и с ними выполняются только действия сложения или вычитания. Если же переменныe в зависимости входят не в первой степени или с ними выполняются другие действия, то функции являются нелинейными. При этом следует иметь в виду, что если в задаче хотя бы одна зависимость нелинейная, то и вся задача является нелинейной.

Задача оптимизации формулируется как нахождение оптимального значения целевой функции для определенной области изменения ее аргументов, которая задается системой ограничений. Для решения задачи формируется ее математическая модель, в электронную таблицу вносятся нужные данные, осуществляется поиск оптимального решения.

Для решения оптимизационных задач строят математические (функциональные) модели, которые решаются методами линейного программирования.

Постановка задачи

Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта представлены в таблице

· Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида соответственно на 4 и 3 ед. и уменьшении на 3 ед. сырья III вида?

· Целесообразно ли включить в план изделие Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья.

Математическая модель задачи

Задача принятия решения по оптимальному использованию ресурсов предприятия при производстве товаров постановке описывается следующим образом. Требуется определить такой план производства товаров, реализация которого обеспечит предприятию максимальный валовой доход.

Рассмотрим предприятие, выпускающее n видов товаров: Для производства этих товаров имеется m видов сырья:

При производстве товаров затрачивается: - единиц сырья, где ресурс, затрачиваемый на j-тый товар. Стоимости товаров равны соответственно

Найтиоптимальный план по выпуску товаров, т.е. количество товаров, которое обеспечивает максимальный доход.

Обозначим количество выпускаемых товаров n-ого вида при оптимальном плане: Опишем целевую функцию:

Данная целевая функция с учетом исходных данных перепишется:

Из-за ограниченности ресурсов в любой экономической системе, необходимо на целевую функцию наложить соответствующие ограничения. Количество ресурса первого вида, затрачиваемого на всю продукцию товаров, ограничивается фактическим количеством этого ресурса:

Аналогично, получим для всех видов ресурсов:

…………………………………..

Так как количество выпускаемого товара каждого вида не может быть меньше нуля, то наложим ещё одно условие: