УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

уметь:

- Решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

- Составлять уравнения и неравенства по условию задачи;

- Использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

- Изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизнидля:

- Построения и исследования простейших математических моделей;

- Выполнять арифметические действия, сочетания устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональными показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

- Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

- Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- Практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы простейшие вычислительные устройства;

Практическая работа № 1

Тема: Действия с действительными числами

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы.

Теоритическое обоснование:

Понятия числа являются первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел

появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа

и рациональные числа

где .

Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел – иррациональных. Произвольные числа – рациональные или иррациональные - называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через .

Текст задания:

Вариант 1
1)
2)
3)
4)
Ответы:
Вариант 2
1)
2)
3)
4)
Ответы:
Вариант 3.
1)
2)
3)
4)
Ответы:
Вариант 4.
1)	2)
3)	4)
Ответы:
Вариант 5.
1)
2)
3)
4)
Ответы:
Вариант 6.
1)
2)
3)
4)
Ответы:
Вариант 7.
1)
2)
3)
4)
Ответы:
Вариант 8.
1)
2)
3)
4)
Ответы:

Практическая работа № 2

Тема: Приближенные вычисления

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению приближенных вычислений, определению абсолютной и относительной погрешности.

Теоритическое обоснование:

Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найти сумму приближенных чисел 127,42; 67,3; 0,12 и 3,03.

Решение: 127,42 + 67,3 + 0,12 + 3,03 = 197,87 197,9

Пример. Найти разность чисел: 418,7 - 39,832 = 378,868 378,9

II. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть в данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32.

Решение: 3,4 х 12,32 = 41,888 42

Задача. Площадь прямоугольной грядки приближенно равна 7,6 кв. м, ширина -2,38 м. Чему равна ее длина?

Решение. Длина грядки равна частному от деления 7,6 на 2,38.

Действие деления выполняют так: 7,60 : 2,38 = 3,19 3,2(м)

Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком.

III. При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры.

2,3² = 5,29 ≈ 5,3;

0,8³ = 0,512 ≈ 0,5.

IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I - IV k + 1 цифру в результате.

3. Применение правил. Применение вычислений способом подсчета цифр рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение , если а ≈ 9,31, b ≈ 3,1, с ≈ 2,33.

Решение.

а - b = 9,31 - 3,1 = 6,21;

( а - b ) с = 6,21 · 2,33 ≈ 14,5;

а + b = 9,31 + 3,1 = 12,4;

х = 14,5 : 12,4 ≈ 1,2.

Ответ. х ≈ 1,2.

Примечание. Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр - самый грубый способ оценки погрешности результатов действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.

В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей.

Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа:

х ≈ 3,2 (±0,05) и y ≈ 7.9 (±0,05).

Имеем: 3,15< х < 3,25, 7,85< у < 7,95, откуда 11,00< х + у < 11,20.

Итак, х + у ≈ 11,1 (±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ ( x + у ) = НГ х + HГ y ; ВГ ( х + у ) = ВГ х + ВГ y .

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ ( ху ) = НГ х · НГ у ; ВГ ( х у) = ВГ х · ВГ y .

Для обратных действий - вычитания и деления - соответствующие правила имеют такой вид:

НГ ( х - у ) = НГ х - ВГ у ; ВГ ( х - у ) = ВГ х - НГ у.

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ - по избытку;

2) чем меньше разность ВГ х - НГ х, тем точнее определяется х ;

3) в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ х и ВГ х или число, близкое к нему.

Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение

если а ≈ 9,21 (±0,01); b ≈ 3,05 (±0,02), с ≈ 2,33 (±0,01).

Решение. Определяем НГ и ВГ каждого из чисел а , b , c и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.

Запись удобно оформить в виде такой таблицы:

1,15< x < 1,19,

1,15 + 1,19 = 2,34; 1,19 – 1,15 = 0,04

2,34 : 2 = 1,17; 0,04 : 2 = 0,02

x ≈ 1,17 (±0,02).

Текст задания

1. 1) Площадь океанов равна:

Тихого........................ ..179 679 тыс. кв. км

Атлантического.............93 363 » » »

Индийского ..................74 917 » » »

Северного Ледовитого..13 100 » » »

Вычислить общую площадь этих океанов в миллионах квадратных километров, округлив данные в условии числа.

2) Округлить до тысяч следующие числа: 10 834 650; 4 354 160; 4 793 500; 6 381 480. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

3) Округлить до целых единиц следующие дробные числа: 228,7; 142,61; 374,4; 92,5; 93,5; 7²/₃; 4¹/₅. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

4) Округлить до десятых долей следующие дробные числа: 12,39; 87,15; 279,68; 156,44; 60,52; 3,25; 1,408. Вычислить погрешность, допущенную при округлении.

2.1) Вычислить приближённые частные с точностью до целой единицы:

15139 : 25; 78,66 : 0,13; 78,66 : 0,013.

2) Вычислить приближённые частные с точностью до 0,1:

14 : 3; 5,4 : 1,7; 15,4 : 4.

3) Вычислить приближённые частные с точностью до 0,01 :

417 : 35; 17,51 : 6; 2,25 : 0,07; 39,5 :1,3.

3. Сколько квадратных километров площади приходится на одного жителя каждой из указанных частей света, если:

в Азии на 43 883 тыс. кв. км площади приходится 1 535 000 тыс. человек,

в Африке на 30 284 тыс. кв. км площади приходится и 224 000 тыс. человек,

в Европе на 10 498 тыс. кв. км площади приходится 569 000 тыс. человек.

Вычисления произвести с точностью до 0,01 кв. км.

4. Древнегреческий учёный Архимед установил, что отношение длины окружности к её диаметру больше числа 3¹⁰/₇₁ и меньше 3¹/₇. Вычислить значения этих дробей с точностью до 0,01.

5. Выразить приближённо десятичной дробью число 5²/₇ с тремя верными цифрами. Вычислить абсолютную погрешность полученного приближённого значения.

6. Сравним время на стенных и ручных часах. Пусть стенные часы показывают 2 часа 14 мин. (пополудни). Можно ли считать цифру 4 верной?

Пусть ручные часы в тот же момент показали 2 часа 13 мин. 15 сек. Можно ли считать цифру 5 верной? При решении задачи предполагается, что те и другие часы правильны.

7. 1) Одна из старых русских мер длины—аршин (1 аршин ≈ 71,12 см) выражала приближённо длину шага взрослого человека. Если принять 1 аршин приближённо за 71 см, то какова получится абсолютная погрешность? (Значение 71,12 см при решении задачи примите за точное выражение аршина в метрических мерах.)

2) Одна из старых русских мер веса — пуд — приближённо равна 16,38 кг. Если принять, что 1 пуд ≈ 16,4 кг, то чему равна абсолютная погрешность? (Число 16,38 кг при решении задачи примите за точное выражение пуда в метрических мерах.)

8. Чтобы найти количество зёрен в 1 кг ржи, берут пять проб по 10 г каждую, и подсчитывают в каждой количество зёрен. Пусть при подсчетах получились числа: 308, 336 327, 343 и 316. Подсчитайте среднее количество зёрен в 10 г ржи. Установите верные цифры полученного среднего значения. Для проверки верных цифр числа зёрен в 10 г ржи вычислите разность между значениями каждой пробы и найденным средним. Найдите среднее арифметическое этих разностей и по цифре старшего разряда его проверьте правильность взятых верных цифр в среднем значении числа зёрен в 10 кг ржи. Чему считается равной в данном случае абсолютная погрешность результата? Сколько зёрен ржи содержится в 1 кг ржи?

9. Ученик решил подсчитать число шагов, которое он делает на пути из дома в школу. Один раз он насчитал 950 шагов, другой 938 и в третий—965 шагов. Найдите среднее арифметическое этих чисел. Вычислите разность между каждым значением слагаемых и средним. Найдите среднее арифметическое вычисленных разностей. Укажите верные цифры приближённого значения числа шагов.

Практическая работа № 3

Тема: Действия над комплексными числами

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению действий с комплексными числами.

Теоритическое обоснование: