Логарифмическая функция.

Определение. Функцию, заданную формулой y =log_ax, называют логарифмической функцией с основанием а.

1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R₊, т. е. D(log_a)=R₊.
2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; log_a 1 =0 при любом а>0, так как а⁰ = 1.

Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные.

Если 0<а<1, то y=log_ax убывает на R₊, поэтому log_a x>0 при 0<x<1 и log_ax<0 при х>1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = log_a х при а>1 (рис. 1, а) и0<а<1 (рис. 1,б).

Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х

Текст задания

1. Выполните действия:

Свойства логарифмов Вариант 1
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Упростите:	1) 2) 3) 4)
А3	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А6	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А8	Вычислите	1) 2) 3) 4)
Свойства логарифмов Вариант 2
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Упростите:	1) 2) 3) 4)
А3	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А6	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А8	Вычислите	1) 2) 3) 4)

Свойства логарифмов Вариант 3
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Упростите:	1) 2) 3) 4)
А3	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А6	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А8	Вычислите	1) 2) 3) 4)
Свойства логарифмов Вариант 4
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А2	Упростите:	1) 2) 3) 4)
А3	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А6	Вычислите:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите значение выражения:	1) 2) 3) 4)
А8	Вычислите	1) 2) 3) 4)

2.Определите множество значений функции:

А1	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)
А2	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)
А3	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)
А4	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)
А5	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)
А6	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)
А8	Определите множество значений функции:	1) 2) 3) 4)

Практическая работа № 8

Тема: Решение логарифмических уравнений и неравенств

Цель работы: закрепить знания и умения студентов при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Теоритическое обоснование:

Логарифмическое уравнение

Определение: Логарифмическое уравнение – это уравнение вида

log_a b(x) = log_a c(x), где а > 0, a ≠ 1.

Уравнения, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими уравнениями.

Пример.

Решим уравнение

log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение.

1) Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов и прийти к уравнению вида b(x) = c(x):

x² – 3x – 5 = 7 – 2x

2) Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x – 5 – 7 + 2x = 0

x² – x – 12 = 0

Решив квадратное уравнение, находим его корни:

x₁ = 4, x₂ = –3.

3) Проверим, при каком из двух значений х уравнение имеет смысл.

Мы уже знаем, что логарифмическое уравнение равносильно уравнению b(x) = c(x) только в том случае, если b(x) > 0 и c(x) > 0. Следовательно, выводим два неравенства:

x² – 3x – 5 > 0,

7 – 2x > 0.

При х = 4 неравенства неверны. Значит, 4 не является решением уравнения.

При х = –3 неравенства верны. Значит, 3 является единственным решением уравнения.

Логарифмическое неравенство

Определение: Логарифмическое неравенство – это неравенство вида

log_a b(x) > log_a c(x), где а > 0, a ≠ 1.

Неравенства, сводящиеся к этому виду, также называются логарифмическими неравенствами.

Если b(x) > 0 и c(x) > 0, то:

- при a > 1 логарифмическое неравенство log_a b(x) > log_a c(x) равносильно неравенству b(x) > c(x);

- при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log_a b(x) > log_a c(x) равносильно неравенству с противоположным смыслом b(x) < c(x)

Пример.

Решим неравенство log₃ (2x – 4) > log₃ (14 – x).

Решение.

1) В основании обеих частей уравнения – одно и то же число 3. Значит, можем убрать значки логарифмов. Поскольку 3 больше 1, то, следуя правилу, составляем следующую систему неравенств:

│ 2x – 4 > 0
│14 – x > 0
│2x – 4 > 14 – x.

Решаем неравенства и получаем:

│x > 2
│x < 14
│x > 6

Мы видим, что х больше не только двух, но и больше шести. Значит, неравенство x > 2 мы уже в расчет не берем: если х больше 6, то естественно и больше 2. Таким образом, для нас важны только два других неравенства, согласно которым х больше 6, но меньше 14. Это и есть ответ:

6 < x < 14.

Текст задания:

Решение логарифмических уравнений и неравенств Вариант 1
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Если - корень уравнения , то значение выражения равно	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите произведение корней уравнения	1) 2) 3) 4)
А3	Найдите сумму корней уравнения	1) 2) 3) 4)3
А4	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите область определения функции	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Найдите произведение корней уравнения
В2	Укажите количество целых решений неравенства:
В3	Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	При каких значениях параметра уравнение не имеет корней
Решение логарифмических уравнений и неравенств Вариант 2
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Если - корень уравнения , то значение выражения равно	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите произведение корней уравнения	1) 2) 3) 4)
А3	Найдите сумму корней уравнения	1) 2) 3) 4)3
А4	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Найдите область определения функции	1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1	Найдите наименьший корень равнения
В2	Укажите количество целых решений неравенства
В3	Если и - решение системы уравнений то значение выражения равно
С) Приведите подробное решение данного задания.
С	При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два корня

Практическая работа № 9

Тема: Решение квадратных, показательных и логарифмических неравенств.

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы корни и степени.

Текст задания:

Решение неравенств Вариант 1
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите сумму целых решений неравенства	1) 2) 3) 4)
А3	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А6	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А8	Найдите область определения функции	1) 2) 3) 4)
Решение неравенств Вариант 2
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите сумму целых решений неравенства	1) 2) 3) 4)
А3	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А6	Решите неравенство:	1 ) 2) 3) 4)
А7	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А8	Найдите область определения функции	1) 2) 3) 4)

Решение неравенств Вариант 3
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите сумму целых решений неравенства	1) 2) 3) 4)
А3	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите наименьшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А6	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4) 1
А8	Найдите область определения функции	1) 2) 3) 4)
Решение неравенств Вариант 4
А) Выберите номер правильного ответа
А1	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А2	Найдите сумму целых решений неравенства	1) 2) 3) 4)
А3	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А4	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А5	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А6	Решите неравенство:	1) 2) 3) 4)
А7	Найдите наибольшее целое решение неравенства	1) 2) 3) 4)
А8	Найдите область определения функции	1) 2) 3) 4)

Практическая работа № 10

Тема: Определение тригонометрических функций. Преобразование простейших тригонометрических выражений

Цель работы: закрепить знания и умения студентов применять основные тригонометрические формулы.

Теоритическое обоснование: