КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Практическая работа № 4. Численное интегрированиеДля студентов специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» отведено 6 часов практических занятий, а для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» - 2 часа. План занятий: 1. Актуализация понятий неопределенного, определенного, несобственных и кратных интегралов, сходимости несобственных интегралов, свойств определенных и несобственных интегралов. 2. Повторение квадратурных формул Ньютона-Котеса, Гаусса, оценок погрешностей и порядков точности квадратурных формул. 3. Повторение метода повторного счета (правила Рунге) 4. Повторение первой и второй схем метода Монте-Карло. 5. Повторение алгоритма вычисления приближенных значений первообразной, методов приближенного вычисления несобственных и кратных интегралов. 6. Решение примеров. 7. Консультирование студентов по выполнению домашней работы. Рассматриваемые примеры: 1. Для вычисления приближенного значения интеграла используется метод средних прямоугольников. Пользуясь оценкой погрешности для формулы средних прямоугольников, подобрать число отрезков разбиения n и шаг интегрирования h так, чтобы абсолютная погрешность приближенного значения интеграла не превышала . Решение: Приближенное значение интеграла вычисляется по следующей обобщенной формуле средних прямоугольников: . Здесь n – заданное число отрезков разбиения, - шаг интегрирования, ( ) – узлы квадратуры. Запишем оценку погрешности приближенного значения : . Здесь - положительная постоянная, такая, что на . В нашем случае , , , . Найдем постоянную . Для этого вычислим вторую производную подынтегральной функции: . Эта производная, очевидно, убывает на и положительна. Поэтому на . Таким образом, . Учитывая это, оценку погрешности можно записать в виде: . Ее удобнее выражать через n. Значение n будем выбирать исходя из требования: , обеспечивающего для приближенного значения интеграла заданную точность. Решим это неравенство относительно n: . Наименьшее целое значение n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 7. Итак, , . 2. Составить алгоритм вычисления приближенного значения интеграла методом Симпсона с погрешностью, не превышающей заданного положительного числа . Значение m подбирается методом повторного счета с использованием асимптотической оценки погрешности по правилу Рунге. Записать алгоритм на алгоритмическом языке. Решение: Исходными данными для алгоритма являются значения a, b, и функция . Приближенное значение интеграла вычисляется по формуле: . Здесь - шаг интегрирования, ( ) – узлы квадратуры. В обозначении приближенного значения интеграла подчеркнута зависимость его от параметра m. Подставляя значения узлов, получим: . Значение параметра m подбирается методом повторного счета так, чтобы абсолютная погрешность не превышала . При этом используется асимптотическая оценка погрешности по правилу Рунге . Здесь - порядок точности обобщенной формулы Симпсона. Метод повторного счета представляет собой цикл, в котором последовательно вычисляются значения при На каждом шаге этого цикла, начиная со второго, проверяется условие достижения заданной точности: . Как только это условие выполнится, цикл свою работу закончит и в качестве искомого приближенного значения интеграла выбирается последнее вычисленное значение . На каждом шаге цикла используются только два приближенных значения интеграла. Поэтому мы введем две переменные и , которые в цикле должны принимать попарно следующие значения: = , = ; = , = ; = , = и так далее. Заметим, что значение на всех шагах цикла, кроме первого, совпадает со значением на предыдущем шаге цикла. Поэтому в цикле мы будем вычислять только значение = , а значение = мы будем передавать с предыдущего шага цикла: . Условие окончания цикла в этом случае примет вид: . Если используется цикл с постусловием, то для того, чтобы цикл мог начать работу, необходимо до цикла вычислить начальное значение: = = . Введем в алгоритмический язык цикл с постусловием, аналогичный циклу repeat в языке Паскаль
|