Решение. Вычислить обобщенные импульсы материальной точки массой m и выразить обобщенные скорости в зависимости от обобщенных импульсов и обобщенных координат

Задача 1.

Вычислить обобщенные импульсы материальной точки массой m и выразить обобщенные скорости в зависимости от обобщенных импульсов и обобщенных координат, если движение задано: а) в декартовых координатах, б) в полярных координатах, в) в сферических координатах.

Решение.

а) При движении материальной точки массой m в декартовых координатах ее обобщенными координатами являются q₁=x, q₂=y, q₃=z. При этом обобщенные скорости равны , , , а кинетическая энергия имеет вид

. (1)

Обобщенным координатам x, y, z соответствуют обобщенные импульсы

, , , (2)

т.е. обобщенные импульсы равны проекциям количеств движения материальной точки на соответствующие оси координат.

Решая систему уравнений (2) относительно обобщенных скоростей, имеем

(3)

В данном случае обобщенные скорости являются линейными функциями обобщенных импульсов и не зависят от обобщенных координат x, y, z.

б) При движении материальной точки массой m в полярных координатах ее обобщенными координатами являются q₁ = r, q₂ = j. При этом обобщенные скорости равны , . Учтя, что , запишем кинетическую энергию в виде

. (4)

Обобщенным координатам r и j соответствуют обобщенные импульсы p_r и p_j..

Используя выражение (4), получим

, (5)

Решая систему уравнений (5) относительно обобщенных скоростей, имеем

, (6)

В данном случае обобщенная скорость зависит не только от обобщенного импульса, но также от обобщенной координаты.

в) При движении материальной точки массой m в сферических координатах ее обобщенными координатами являются q₁ = r, q₂ = j, q₃=q. При этом обобщенные скорости равны

Учтя, что , запишем кинетическую энергию в виде

(7)

Обобщенным координатам r, j, q соответствуют обобщенные импульсы p_r, p_j, p_q.

Используя выражение (7), найдем

, (8)

Решая систему уравнений (8) относительно обобщенных скоростей, получим

, , (9)

В данном случае обобщенные скорости и зависят не только от обобщенных импульсов, но также от обобщенных координат.

Задача 2.

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z по закону j = f(t). Момент инерции относительно оси z равен . Приняв угол поворота j за обобщенную координату, определить обобщенный импульс.

Решение. Кинетическая энергия твердого тела , вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет вид

Использовав это выражение, вычислим обобщенный импульс .

В данном случае обобщенный импульс является главным моментом количеств движения твердого тела относительно его оси вращения z.

Задача 3.

Найти функции Гамильтона для одной материальной точки в декартовых (x,y,z), цилиндрических (r,j,z) и сферических (r,q,j) координатах .

1)

2)

3)

Задача 4.

Составить функцию Гамильтона для свободной материальной точки массы m, движущейся в поле силы тяжести.

а) В качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точки.

Решение. Потенциальная энергия свободной материальной точки равна П = mgz.

Так как связь стационарна, функция Гамильтона равна полной механической энергии

Н=Т + П = +mgz.

, ,

Заменим с помощью , , . Искомая функция Гамильтона получит вид .

б) В качестве обобщенных координат примем сферические координаты точки.

Потенциальная энергия свободной материальной точки равна П = mgz. Учтя, что z= rcosq, имеем П = mgrcosq.

Материальная точка свободна, поэтому функция Гамильтона равна ее полной механической энергии Н = Т + П. Воспользовавшись формулой из задачи 17.7

получим

+ mgrcosq.

Заменим обобщенные скорости на обобщенные импульсы:

, ,

и получим функцию Гамильтона в обобщенных сферических координат

.

________________________________