Определение параметров парной линейной регрессии

Определение параметров линейной регрессии – одна из задач регрессионного анализа. Она решается способом наименьших квадратов, основанным на требовании, чтобы сумма квадратов отклонений вариант от линии регрессии была наименьшей. Этому требованию удовлетворяет следующая система нормальных уравнений:

Ряды регрессии - это ряды усредненных значений (yx и xy) варьирующих признаков Y и X, соответствующих значениям аргументов xi и yi. Поэтому эмпирические уравнения регрессии следует записывать так:

yx = ay/x + by/x*x

и xy = ax/y + bx/y*y (9)

Формулы для определения параметров а и b принимают следующие выражения:

и . (10)

Уравнение линейной регрессии можно выразить в виде отклонений вариант от их средних арифметических:

и . (11)

В таком случае система нормальных уравнений для определения параметров а и b будет следующая:

Поскольку и , то параметр b выразится в виде приведенной формулы (2.3); параметр а легко найти по формуле (2.4).
Если средние и перенести в правую часть уравнения (2.11), то при система нормальных уравнений принимает следующий вид:

и , (12)

Заменив в формуле (11) параметры by/x и bx/y на их значения из формулы (3), получим систему уравнений парной линейной регрессии:

(13)

Эти уравнения удобны для определения параметров при отыскивании эмпирических уравнений регрессии в практической работе для точности прогнозирования результатов.