Имитационное моделирование методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло заключается в том, что при помощи датчика или генератора случайных чисел разыгрываются вероятности события. Что это может дать? Один розыгрыш не даст ничего. А если розыгрышей много, то в результате мы получим большое количество различных вариантов решения, и то, что чаще всего выпадает, – это вероятность, а среднее значение – матожидание. В данном случае случайность является не результатом наших расчетов, а инструментом. Причем такая постановка вопроса очень напоминает опытного специалиста (эксперта), который проработал в данной области несколько десятков лет. Весь его опыт случайных отклонений можно реализовать на компьютере за несколько минут.

Надо иметь в виду, что метод Монте-Карло все-таки рекомендуется использовать в тех случаях, когда неопределенность не позволяет применять традиционные или аналитические методы.

Также этот метод применяется при проверке более простых аналитических методов и выяснения условий их применимости. Также он применяется в целях поправок к аналитическим формулам, т.е. для привнесения в эти расчеты элементов случайности.

Основным элементом, из совокупности которых складывается статическая модель, является одна случайная реализация моделируемого явления (например, один случай работы машины до ее отказа или один день работы цеха). Реализация – это один экземпляр случайного явления со всеми присущими ему случайностями. Реализации отличаются друг от друга за счет этих случайностей. Отдельная реализация разыгрывается с помощью жребия. Под жребием понимается момент, когда дальнейшее развитие процесса, а значит, и результат, зависит от того, произошло или нет событие А (например, купили ли единицу товара, устранили ли неисправность и т.д.). Тогда нужно бросанием жребия решить вопрос: произошло событие или нет?

Условимся называть единичным жребием любой опыт со случайным исходом, который отвечает на один из следующих вопросов:

- произошло или нет событие А?

- какое из событий А1, А2... Аn произошло?

- какое в связи с этим приняла значение случайная величина х?

- какую совокупность значений приняли случайные величины х1 , х2 ... хn?

Любая реализация случайного явления методом Монте-Карло строится из цепочки единичных жребиев, перемежающихся с обычными расчетами, или учитывается влияние исхода жребия на дальнейший ход событий. В частности, на условия, в которых будет разыгран жребий. Жребий может быть разыгран разными способами, но есть один стандартный механизм, с помощью которого можно осуществить любую разновидность жребия. А именно: для каждой из реализаций достаточно уметь получить случайное число R, все значения которого от 0 до 1 равновероятны, т.е. обладают одинаковой плотностью вероятности. Условимся кратко называть величину R – случайное число от 0 до 1. Покажем, что с помощью такого числа можно разыграть любой из четырех видов единичного жребия.

- Произошло или нет событие А? Надо знать вероятность р события А. Разыграем случайное число R от 0 до 1. Если оно окажется меньше р, будем считать, что событие А произошло, если нет – не произошло.

- Какое из нескольких событий А1, А2... Аn появилось? Пусть события А1, А2... Аn не совместны и образуют полную группу. Тогда сумма вероятностей р1 + р2 + ... + рn = 1. Тогда разделим промежуток от 0 до 1 на n участков:

Тогда куда попадет вероятность, то событие и произошло.

- Какое значение приняла случайная величина х? Если случайная величина дискретна, т.е. имеет значение х1, х2... хn с вероятностями р1, р2... рn, то очевидно, что случай сводится ко второму случаю. Если случайная величина непрерывна и имеет заданную плотность вероятности f (x), тогда, чтобы разыграть ее значение, достаточно перейти от плотности вероятности f (x) к функции распределения:

Затем надо найти для функции F (x) обратную ей функцию Ψ. Затем разыграть случайное число R и взять от него обратную функцию х = Ψ (R). Существуют доказательства, что полученные значения х имеют нужное распределение f (x).

На практике часто приходится разыгрывать значение случайной величины, имеющей нормальное распределение. Для нормального распределения, как для любой непрерывной случайной величины, правило розыгрыша R остается справедливым, но, чтобы найти нужное нам значение х, можно поступить проще. Известно, что согласно центральной предельной теореме теории вероятностей при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин с одинаковыми распределениями получается случайная величина, имеющая приближенно нормальное распределение. Считается, что, чтобы получить нормальное распределение, достаточно 6 раз кинуть жребий, т.е. получить 6R: (R1, R2, R3, R4, R5, R6). Для того чтобы получить х, нам достаточно знать стандартное отклонение процесса или задать его самим, а также необходимо знать среднюю ошибку выборки для средней величины (μ (х)). Тогда:

x = σ_x √z (z – 3) + μ_x

z = R1 + R2 + R3 +... + Rn

Какую совокупность значений приняли случайные величины х1, х2... хn? Если случайные величины независимы, то достаточно n раз повторить процедуру, как в предыдущем случае. Если же они зависимы, то разыгрывать надо каждую последующую на основе ее условного распределения. При условии, что все предыдущие значения приняли те значения, которые дал розыгрыш.

Таким образом, во всех четырех случаях все сводится к розыгрышу случайного числа R от 0 до 1. Первоначально для розыгрыша использовали барабан. Например, надо разыграть случайное число R от 0 до 1 с точностью до 0,001. Заложим в барабан 1000 пронумерованных шариков, вытащим 1 из них и разделим на 1000. Так получится R.

Таким образом, этот метод объединяет в себе анализ чувствительности и анализ распределения вероятностей входных переменных.

У метода имитационного моделирования существуют свои достоинства и недостатки.

Основные достоинства:

- моделирование позволяет оценить эксплуатационные показатели существующей системы при некоторых проектных условиях эксплуатации;

- моделирование позволяет изучить длительный интервал функционирования системы в сжатые сроки или, наоборот, изучить более подробно работу системы в развернутый интервал времени;

- путем моделирования можно сравнить предлагаемые альтернативные варианты проектов системы, чтобы определить, какой из них больше соответствует указанным требованиям.

Недостатки метода:

- разработка имитационной модели дорого стоит и требует много времени. Каждый прогон стохастической имитационной модели позволяет получить лишь оценки настоящих характеристик модели для определенного набора входных параметров. То есть для каждого изучаемого набора входных параметров понадобится несколько независимых прогонов модели. Поэтому если может быть легко разработана аналитическая модель, адекватная системе, то лучше воспользоваться ею;

- если модель не является адекватным представлением изучаемой системы, результаты моделирования будут содержать мало полезной информации о действительной системе. Поэтому необходимо привлекать квалифицированных специалистов в тех областях, исследование которых происходит;

- моделирование сложных систем часто требует много компьютерного времени.