На основании чего синусоидальные электрические величины (ЭДС, напряжение, ток) при анализе и в расчётах заменяют комплексными числами?

Ответ: Комплексное число (соответствующее точке ) имеет вещественную (ОС) и мнимую (ОВ) составляющие на комплексной плоскости.

Перевод комплексных чисел из одной формы в другую можно производить по следующим формулам:

Для напряжения и тока аналогично. При расчетах цепей синусоидального тока целесообразно перейти от гармонических функций времени к их изображениям в комплексной форме и производить все расчеты, используя комплексные числа. Конечный результат может быть представлен снова в виде синусоидальной функции времени.

11)Записать комплексную амплитуду и комплекс действующего значения синусоидального напряжения u=U_msin(wt+Ѱ_u) В.

Ответ: Если к конденсатору емкостью C подключить синусоидальное напряжение, то в цепи протекает синусоидальный ток

;

. (5.13)

Из анализа выражений 5.13 следует, что ток опережает напряжение по фазе на 90^o. Выражение (5.13) в комплексной форме записи имеет вид:

, (5.14)

Где: - емкостное сопротивление, фиктивная расчетная величина, имеющая размерность сопротивления. Если комплексное сопротивление индуктивности положительно , то комплексное сопротивление емкости отрицательно: . На рис. 6.7 изображена векторная диаграмма цепи с емкостью. Вектор тока опережает вектор напряжения на 90^o. Рис. 5.7: .

12)Записать комплекс и сопряжённый комплекс действующего значения тока, соответствующего синусоидальной функции i=I_msin(wt+Ѱ_i) А.

Ответ: Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени. Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния. Но физические процессы, происходящие в цепях переменного тока, сложнее, чем в цепях постоянного тока из-за наличия переменных магнитных и электрических полей. Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i. Мгновенный ток называется периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени: Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом. Период T измеряется в секундах. Периодические токи, изменяющиеся по синусоидальному закону, называются синусоидальными. Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле: ,где: I_m - максимальное, или амплитудное, значение тока. Аргумент синусоидальной функции называют фазой; величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину, обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах. В Западном полушарии и в Японии используется переменный ток частотой 60 Гц, в Восточном полушарии - частотой 50 Гц. Величину называют круговой, или угловой, частотой. Угловая частота измеряется в рад/c. Если у синусоидальных токов начальные фазы при одинаковых частотах одинаковы, говорят, что эти токи совпадают по фазе. Если неодинаковы по фазе, говорят, что токи сдвинуты по фазе. Сдвиг фаз двух синусоидальных токов измеряется разностью начальных фаз: . С помощью осциллографа можно измерить амплитудное значение синусоидального тока или напряжения. Амперметры и вольтметры электромагнитной системы измеряют действующие значения переменного тока и напряжения. Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды: )

.

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений: . Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз. Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных значений токов и напряжений. Закон Ома для мгновенных значений: . (6.1)

Законы Кирхгофа для мгновенных значений: . (6.2)

. (6.3)

13)Привести комплексную форму записи производной di/dt, где i=I_msin(wt+ Ѱ_i) А.

Ответ: Если напряжение подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток: (5.7) Анализ выражения (5.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе. Формула (5.7) в комплексной форме записи имеет вид: (5.8) ,где: и - комплексные амплитуды тока и напряжения.
Комплексному уравнению (5.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 5.4).

Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению. Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением. Рис. 5.4: Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.

14)Привести комплексную форму записи интеграла , где i=I_msin(wt+ Ѱ_i) А.

Ответ: Переменным называется электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени. Область применения переменного тока намного шире, чем постоянного. Это объясняется тем, что напряжение переменного тока можно легко понижать или повышать с помощью трансформатора, практически в любых пределах. Переменный ток легче транспортировать на большие расстояния. Но физические процессы, происходящие в цепях переменного тока, сложнее, чем в цепях постоянного тока из-за наличия переменных магнитных и электрических полей. Значение переменного тока в рассматриваемый момент времени называют мгновенным значением и обозначают строчной буквой i. Мгновенный ток называется периодическим, если значения его повторяются через одинаковые промежутки времени: . Наименьший промежуток времени, через который значения переменного тока повторяются, называется периодом. Период T измеряется в секундах. Периодические токи, изменяющиеся по синусоидальному закону, называются синусоидальными. Мгновенное значение синусоидального тока определяется по формуле: ,где: I_m - максимальное, или амплитудное, значение тока. Аргумент синусоидальной функции называют фазой; величину φ, равную фазе в момент времени t = 0, называют начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах. Величину, обратную периоду, называют частотой. Частота f измеряется в герцах. В Западном полушарии и в Японии используется переменный ток частотой 60 Гц, в Восточном полушарии - частотой 50 Гц. Величину называют круговой, или угловой, частотой. Угловая частота измеряется в рад/c. Если у синусоидальных токов начальные фазы при одинаковых частотах одинаковы, говорят, что эти токи совпадают по фазе. Если неодинаковы по фазе, говорят, что токи сдвинуты по фазе. Сдвиг фаз двух синусоидальных токов измеряется разностью начальных фаз: . С помощью осциллографа можно измерить амплитудное значение синусоидального тока или напряжения. Амперметры и вольтметры электромагнитной системы измеряют действующие значения переменного тока и напряжения. Действующим значением переменного тока называется среднеквадратичное значение тока за период. Действующее значение тока (для синусоиды: )

.

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжений: . Действующие значения переменного тока, напряжения, ЭДС меньше максимальных в √2 раз. Законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных значений токов и напряжений. Закон Ома для мгновенных значений: . (6.1)

Законы Кирхгофа для мгновенных значений: . (6.2)

. (6.3)