Заміна змінної.

Нехай функція неперервна на відрізку . Вводячи нову змінну величину за рівністю , де

1) і неперервні на відрізку ;

2) , ;

3) визначена і неперервна на відрізку , отримаємо:

. (7.9)

Зауваження. При обчисленні визначеного інтеграла за формулою (7.9) не треба (на відміну від невизначеного інтеграла) повертатися до старої змінної величини.

Поряд з (7.9) можливий і такий варіант заміни змінної:

.

Вибір нової змінної інтегрування визначається ефективністю обчислення отриманого в результаті заміни змінної інтеграла.

Приклад 7.5. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язок. Обчислимо інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування.

Приклад 7.6. Обчислити визначений інтеграл .

Розв’язок. Обчислимо інтеграл, зробивши заміну змінної інтегрування.

.

При застосуванні формули заміни змінної у визначеному інтегралі треба: 1) визначити співвідношення між старою й новою змінними та їхніми диференціалами; 2) знайти границі інтегрування нової змінної величини.