Теория вопроса

Формирование представления о двузначных числах строится на основе понятия «разряд».

Понятие разряда является базовым в десятичной системе счис­ления. Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд — это позиция цифры в записи числа).

Каждая позиция в этой системе имеет свое название и свое условное значение: цифра, стоящая на первой позиции справа, означает количество единиц в числе; цифра, стоящая на второй по­зиции справа, означает количество десятков в числе и т. д.

Цифры от 1 до 9 называют значащими, а нуль является не­значащей цифрой. При этом его роль в записи двузначных и дру­гих многозначных чисел очень важна: нуль в записи двузначного (и т. д.) числа означает, что число содержит обозначенный нулем разряд, но значащих цифр в нем нет, т. е. наличие нуля справа в числе 20, обозначает, что цифра 2 должна восприниматься как символ десятков, и при этом число содержит только два целых де­сятка; запись 23 будет означать, что кроме 2 целых десятков число содержит еще 3 единицы, дополнительно к целым десяткам.

Понятие «разряд» играет большую роль в системе изучения ну­мерации, а также является основой для освоения так называемых «нумерационных» случаев сложения и вычитания, в которых дей­ствия производятся целыми разрядами:

27 – 20 365 – 300

27 – 7 365 – 60

20 + 7 305 + 60

Умение узнавать и выделять в числах разряды является основой умения раскладывать числа на разрядные слагаемые: 34 = 30 + 4.

Для чисел второго десятка понятие «разрядный состав» совпада­ет с понятием «десятичный состав». Для двузначных чисел, содер­жащих более одного десятка — эти понятия не совпадают. Для числа 34 десятичный состав — это 3 десятка и 4 единицы. Для числа 340 разрядный состав — это 300 и 40, а десятичный — это 34 десятка.

Десять десятков — это сотня. Числа от 11 до 100 называют чис­лами первой сотни. Все числа первой сотни - двузначные.

Двузначные числа записывают двумя цифрами: 37, 45, 64, 40. Первая цифра справа в записи двузначного числа называется циф­рой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа - цифрой второго разряда или разряда десятков.

Целые десятки (10 20 30 40 50 60 70 80 90) иногда именуются разрядными числами.

Читают двузначные числа слева направо. Для чисел 21-100 порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи совпадает: 21 (два-дцать один).

Понятие «разряд» является базовым для образования чисел пер­вой сотни.

Разрядный состав — выделение разрядных чисел в двузначном числе:

На основе разрядного состава рассматриваются случаи разряд­ного сложения и вычитания:

30 + 4 34 - 4 34 - 30

При нахождении значений этих выражений ссылаются на раз­рядный состав двузначных чисел: число 34 состоит из 30 и 4. Вычитая 30, получаем 4.

Разрядные слагаемые - сумма разрядных чисел двузначного числа:

47 = 40 + 7 68 = 60 + 8

Десятичный состав — выделение десятков и единиц в дву­значном числе: 26 - это 2 дес. и 6 ед.

Схема десятичного состава:

На основе схемы десятичного состава можно рассмотреть та­кие случаи сложения и вычитания:

26 - 6 26 - 20 26 -10 26 -16 20 + 6

При изучении нумерации двузначных чисел рассматривают так­же случаи сложения и вычитания, базирующиеся на принципе по­строения последовательности натуральных чисел: 43 + 1; 43 - 1; 40 + 1; 40 - 1.

При нахождении значения этих выражений, ссылаются на прин­цип построения натурального ряда чисел: прибавляя к числу 1, получаем число следующее (последующее). Вычитая из числа 1, получаем число предыдущее.

Завершает изучение чисел первой сотни знакомство с числом 100.

Десять десятков — это сотня.

Число 100 завершает изучение чисел первой сотни.

Сотня (100) — первое трехзначное число в ряду натуральных чисел.

Сотня — наименьшее трехзначное число.

Сотня — новая счетная единица в десятичной системе счисления.

В записи числа 100 цифра 1 обозначает, что в III разряде (раз­ряде сотен) — одна единица, а разрядах десятков и единиц нули означают, что в этих разрядах нет значащих цифр.

Содержание концентра:

1. Нумерация чисел в пределах 100.

2. Сложение и вычитание.

3. Табличное умножение и деление.

4. Внетабличное умножение и деление.

5. Деление с остатком.

6. Правила порядка действий.

7. Работа над простыми задачами на умножение и деление и др.

Нумерация чисел в пределах 100

Устная нумерация Письменная нумерация

Ц Е Л И : 1) Научить детей считать предметы в пределах 100 на основе знаний натурального следования.

2) Научить образовывать числа из десятков и единиц и раскладывать их на разрядные слагаемые.

3) Научить читать и записывать двузначные числа.

Особенность изучения нумерации: она изучается в д в а э т а п а: I этап –11 – 20;

II этап – 21 – 100.

Это обусловлено различием в образовании, названии и записи числительных этих этапов:

13 - три - на - дцать

3 ед. десяток

30 – три – дцать

3 дес.

Числительные 11-20 труднее записывать, поэтому их изучают отдельно.

I этап - 11 – 20

На каждом этапе сначала изучается устная нумерация, а затем письменная.

УСТНАЯ НУМЕРАЦИЯ

1. Образование новой счетной единицы «десяток».

Для этого десять палочек связываем в пучок и называем его «десятком», говорим, что десятками можно считать, складывать и вычитать как простые единицы: 1 дес., 2 дес., 3 дес.

или

2. Образование чисел 11-20 из десятка и единиц.

Раскрываем особенность названия этих чисел и порядок следования при счете (прямой и обратный).

С этой целью используем различные модели разрядных единиц:

· пучок и отдельные палочки

· полоски из десяти квадратов

и отдельные квадраты

· полоски из десяти кружков

и отдельные кружки

· бруски и кубики

из арифметического ящика

Учитель ставит на стол 10 кубиков.

- Сколько кубиков перед вами? (10 или 1 десяток). Учитель кладет на 10 кубиков еще 1 кубик. Сколько стало кубиков? (11)

- Сколько перед вами десятков кубиков и сколько отдельных единиц (1 десяток и еще 1 единица).

Учитель записывает на доске "один-на-дцать" и обращает внимание на то, что слово одиннадцать состоит из слов один, на, дцать. Словом "дцать" раньше называли число десять. Следовательно. Слово одиннадцать можно прочитать современным языком так: "один на десять".

Аналогичная работа выполняется с другими числами второго десятка.

10 и 1 – один – на – дцать

10 и 2 – две – на – дцать, …

У п р а ж н е н и я:

1. Составить число из 1 дес. и 6 ед. В каком числе 1 дес. и 6 ед.?

2. Сколько десятков и единиц в числе 18?

3. Прямой и обратный счет в пределах 20 с любого числа (отвлеченный и предметный), при этом можно использовать индивидуальные пособия (палочки, из приложения к учебнику – красные и синие квадраты).

ПИСЬМЕННАЯ НУМЕРАЦИЯ

Ц е л ь : научить читать и записывать числа.

1. Обучение чтению чисел, записанных в нумерационной таблице с двумя разрядами – единицы, десятки – и двумя рядами карманов, верхний ряд – для палочек, нижний – для цифр.

Десятки	Единицы

Число набираем с помощью палочек и обозначаем соответствующими цифрами в нижнем ряду.

При этом выясняем принцип поместного значения цифры в записи числа:

Первая цифра справа – налево обозначает единицы, а вторая – десятки.

- В числе 13 один десяток палочек. Обозначим это цифрой.

Учитель ставит в нижний левый карман карточку с цифрой 1.

- Что обозначает цифра 1? (1 десяток). Сколько отдельных единиц в числе 13? (Три единицы). Обозначим это цифрой.

Учитель ставит в правый нижний карман карточку с цифрой 3.

- Что обозначает цифра 3? (Три единицы). Мы записали число 13: на первом месте, считая справа налево, записали количество отдельных единиц, а на втором месте, считая справа налево – количество десятков. Сколько всего единиц в написанном числе? (13).

- Как разложить в карманы 15 палочек, 17 палочек и т.д.? Сколько в них десятков и отдельных единиц? Сколько всего единиц в каждом числе? Что обозначает каждая цифра в записи этих чисел?

Учитель должен обратить внимание детей на новый случай применения нуля.

- Цифра 0 обозначает отсутствие отдельных, не завязанных в пучки единиц в числах 10 и 20. Например, положим в левый верхний карман 1 пучок-десяток палочек, а правый карман оставим пустым. Один десяток в нижнем ряду обозначим цифрой 1, а отсутствие единиц в правом кармане обозначим цифрой 0. Сколько всего единиц в числах 10, 20? Что обозначает цифра 0 в записи этих чисел?

Особое внимание следует уделить записи числа 11.

Под руководством учителя учащиеся записывают числа в тетрадь по порядку и объясняют значение каждой цифры в записи чисел.

- Что обозначает цифра 5? цифра 1?

- Какое это число? и л и

- Сколько единиц в числе? Сколько десятков?

- Какое это число?

3. Обучение записи чисел под диктовку.

«Семнадцать» - Сколько десятков в числе? Сколько единиц?

- Какими цифрами запишем это число? (1, 7).

- Назовите цифру единиц.

- Назовите цифру десятков.

- С какой цифры начнем писать число? (С цифры десятков).

В о п р о с ы,

изучаемые одновременно с нумерацией

1. Знакомство с единицей длины дециметром и измерением длины.

Знакомство с дециметром предполагает формирование знания соотношения между дециметром и сантиметром, умений измерять длину отрезка с помощью сантиметра и дециметра, чертить отрезки заданной длины и сравнивать соответствующие величины.

2. Действия, основанные на знании нумерации:

а) 1 – назвать последующее или предыдущее;

б) сложение разрядных чисел и обратное ему вычитание

10 + 8, 18 – 8, 18 – 10

При изучении детьми чисел второго порядка можно использовать следующие в и д ы з а д а н и й:

1) на способ образования чисел второго десятка:

Покажи тринадцать палочек. Сколько это десятков и сколь­ко еще отдельных палочек?

2) на принцип образования натурального ряда чисел:

Сделай рисунок к задаче и реши ее устно. «В городе было 10 кинотеатров. Построили еще 1. Сколько кинотеатров стало в городе?»

Уменьши на 1: 16, 11, 13, 20

Увеличь на 1: 19, 18, 14, 17

Найди значение выражения: 10 + 1; 14 + 1; 18 – 1; 20 – 1.

(Во всех случаях можно ссылаться на то, что добавление 1 ве­дет к получению числа последующего, а уменьшение на 1 – к по­лучению числа предыдущего.)

3) на поместное значение цифры в записи числа:

Что обозначает каждая цифра в записи числа: 15, 13, 18, 11, 10, 20?

(В записи числа 15 цифра 1 обозначает количество де­сятков, а цифра 5 - количество единиц. В записи числа 20 цифра 2 обозначает, что в числе 2 десятка, а цифра 0 обоз­начает, что в первом разряде единиц нет.)

4) на место числа в ряду чисел:

Вставь пропущенные числа: 12… … … 16 17 ... 19 20

Вставь пропущенные числа: 20 ... 18 17 … … … 13 ... 11

(При выполнении задания ссылаются на порядок чисел при счете.)

5) на разрядный (десятичный) состав:

10 + 3 = ... 13 – 3 = ... 13 – 10 = ...

12 = 10 + ... 15 = ... + 5

При выполнении задания ссылаются на разрядную (деся­тичную) модель числа из десятка (пучка палочек) и единиц (от­дельных палочек).

6) на сравнение чисел второго десятка:

Какое из чисел больше: 13 или 15? 14 или 17? 18 или 14? 20 или 12?

При выполнении задания можно сравнивать две модели чисел из палочек (количественная модель), или ссылаться на порядок следования чисел при счете (меньшее число называют при счете раньше), или опираться на процесс присчитывания и отсчитывания (присчитывая к 13 две единицы получим 15, значит 15 боль­ше, чем 13).

Сравнивая числа второго десятка с однозначными числами, сле­дует ссылаться на то, что все однозначные числа меньше, чем дву­значные:

Назови самое большое и самое маленькое из этих чисел: 12 6 18 10 7 20.

При сравнении чисел второго десятка удобно пользоваться ли­нейкой.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Сравнивая длины соответствующих отрезков, ребенок нагляд­но определяет постановку знака сравнения: 17 < 19.

II этап – 21 – 100

Нумерация на этом этапе изучается по тому же плану.

УСТНАЯ НУМЕРАЦИЯ

1. Счет десятков, образование и название разрядных чисел: 10, 20, 30, …, 90, 100.

2. Образование неразрядных чисел от 21 до 100 из десятков и единиц. Обратная задача – выяснение десятичного состава двузначных чисел.

Н а г л я д н о с т ь – палочки и другие модели разрядных единиц.

3. Усвоение натурального следования чисел первой сотни.

Н а г л я д н о с т ь – «лента ста» (или метровая лента).

ПИСЬМЕННАЯ НУМЕРАЦИЯ

1. Обучение чтению чисел, записанных в таблице.

2. 2. Обучение чтению чисел, записанных вне таблицы.

3. 3. Запись чисел под диктовку.

В о п р о с ы,

изучаемые одновременно с нумерацией

1. Знакомство с метром.

Как 10 единиц составляют 1 десяток, так 10 дм составляют 1 м.

Дети преобразуют длины из одних единиц в другие.

2. Действия, основанные на знании нумерации:

а) 1 – назвать последующее или предыдущее;

б) сложение разрядных чисел и обратное ему вычитание

30 + 8, 38 – 8, 38 – 30

Приведем основные в и д ы з а д а н и й, выполняемых детьми при изучении чисел первой сотни:

1) на способ образования чисел первой сотни:

Назови число, в котором 1 дес. 9 ед., 2 дес. 7 ед., 9 дес. 2 ед.

Запиши числа, в которых 3 дес. 7 ед., 7 дес. 3 ед., 7 дес. О ед.

2) на соотнесение количественной модели, названия и записи числа:

Сколько кубиков на каждом рисунке?

Прочитай и запиши число по модели:

Десятки	Единицы

3) на принцип образования натурального ряда чисел:

Уменьши на 1: 20, 47, 32, 50, 70

Увеличь на 1: 19, 28, 44, 67, 40, 90

Найди значение выражения: 50 + 1; 44 + 1; 68 – 1; 90 – 1.

Во всех случаях можно ссылаться на то, что добавление 1 ведет к получению числа последующего, а уменьшение на 1 – к по­лучению числа предыдущего.

4) на поместное значение цифры в записи числа:

Что обозначает каждая цифра в записи числа: 72, 20, 70, 27?

(В записи числа 72 цифра 7 обозначает количество де­сятков, а цифра 2 - количество единиц. В записи числа 20 цифра 2 обозначает, что в числе 2 десятка, а цифра 0 обоз­начает, что в первом разряде единиц нет.)

5) на место числа в ряду чисел:

Вставь пропущенные числа: 40 41 ... 43… … … 47… … 50

Вставь пропущенные числа: 70 69 … … … … 64 … … 61 ...

При выполнении задания ссылаются на порядок чисел при счете.

6) на разрядный состав:

20 + 3 = 23 23 – 3 = ... 23 – 20 = ...

37 = 30 + 7 37–30 = ... 37–7 = ...

При выполнении задания ссылаются на разрядную модель чис­ла из десятков и единиц.

7) на сравнение чисел первой сотни:

Какое из чисел больше: 23 или 32? 44 или 47? 28 или 54? 20 или 4?

При выполнении задания можно сравнивать две модели чисел из палочек (количественная модель), или ссылаться на порядок следования чисел при счете (меньшее число называют при счете раньше), или опираться на процесс присчитывания и отсчитывания (присчитывая к 44 три единицы, получим 47, значит 47 боль­ше, чем 44).

Более соответствующим данному этапу изучения нумерации считается способ сравнения чисел с опорой на разрядный состав. При этом сравнивать числа начинают со старших разрядов:в чис­ле 23 — два десятка, а в числе 32 - три десятка, значит 32 > 23. Если количество десятков одинаковое, то сравнивают цифры раз­ряда единиц: в числе 44 и числе 47 по 4 десятка, сравним разряд единиц - 7 больше, чем 4, значит 47 > 44.

Сравнивая двузначные числа с однозначными числами, следу­ет ссылаться на то, что все однозначные числа меньше, чем дву­значные.

При сравнении чисел вида:

99 ...100 67 ... 68

98 ... 99 59 ... 60

100...101 20 ... 21

следует ссылаться на порядок следования чисел при счете: следую­щее число всегда больше, чем предыдущее.

Для наглядного сравнения чисел первой сотни можно исполь­зовать портновскую ленту.

8) на десятичный состав двузначных чисел:

Сколько десятков в числе 56, 78, 92?

Комплексное задание на нумерацию двузначных чисел включает полную характеристику заданного числа.

Что можно рассказать о числе 33? (57, 62)

(Это число двузначное, записано с помощью двух цифр. В этом числе 3 десятка и 3 единицы или 3 единицы II разря­да и 3 единицы I разряда; при счете его называют после числа 32 и перед числом 34 (или — его соседи 32 и 34); оно больше, чем число 30 и меньше, чем число 40; его можно представить в виде суммы 30 и 3.)

П е р е ч е н ь

наглядных пособий и виды упражнений с ними

Итак, работа по нумерации ведется в трех направлениях:

- натуральное следование;

- разрядный состав;

- поместное значение цифр.

При достижении каждой цели используются специальные наглядные пособия и специальные упражнения:

1. «Лента ста» - это метровая линейка или самодельная бумажная (плотная) лента длиной 1 метр с делениями на дециметры и сантиметры.

Упражнения

1) 1;

2) заполнение числовых промежутков;

3) сравнение чисел по их месту в ряду и др.

2. Модели разрядных единиц – десятков и отдельных единиц (демонстрационные и индивидуальные).

С их помощью иллюстрируется десятичный состав чисел, поэтому их используют и в следующей теме «Сложение и вычитание».

3. Карточки с разрядными числами – для письменной иллюстрации десятичного состава.

+ = =

Их используют с той же целью, что и модели разрядных единиц.

4. Нумерационная таблица с двумя разрядами для усвоения позиционного принципа.

5. Вертикальные счеты –

отражают условный характер счета, поместное

значение цифры в записи числа.