Система, как отношение на абстрактных множествах

Одним из центральных понятий теории систем является поня­тие системы, определенное в теоретико-множественных терминах:

где V, — вес компоненты; iÎI — декартова произведения ÄV_i , называемые объектами системы S; I — множество индексов. В кибернетике наибольший интерес представляют системы с дву­мя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y:

(3.1)

Основными причинами определения системы как теоретико-множественного отношения являются следующие:

1. Система определяется в терминах ее наблюдаемых свойств или, точнее говоря, в терминах взаимосвязей между этими свой­ствами, а не тем, что они на самом деле собой представляют (т. е. не с помощью физических, химических, биологических, социа­льных или других явлений).

2. Определение системы как отношения вида (3.1) является предельно общим.

3. Системы часто задаются с помощью некоторых уравнений относительно соответствующих переменных. Каждой такой пере­менной можно поставить в соответствие некоторый объект систе­мы, описывающей область значений соответствующей перемен­ной.

Для построения теории систем на теоретико-множественном уровне, исходя из определения (3.1), необходимо наделить систе­му как отношение некоторой дополнительной структурой. Это можно сделать двумя способами: ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы; например, рассматривать сам элемент v_i,Î V_i как некото­рое множество с подходящей структурой; ввести структуру непосредственно для самих объектов систе­мы V_i, iÎI.

Первый способ приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраических систем.

«ВХОД — ВЫХОД»

Система функционирует во времени. Множество моментов времени t, в которые рассматривается функционирование системы, обозначим Т, t ∈Т.

Входные сигналы системы. Второе и третье предположения о характере функционирования систем направлены на описание взаимодействия системы с внешней средой. На вход системы могут поступать входные сигналы хÎХ, где X — множество входных сигналов системы. Входной сигнал, поступивший в мо­мент времени t, обозначается x(t).

Входные сигналы могут описываться некоторым набором ха­рактеристик. Например, если входными сигналами АСУ аэро­дромом считать самолеты, поступившие в зону аэродрома, то каждый из них может быть описан: 1) координатами точки взлета (I, a, e) (I-наклонная дальность, а - азимут и e - угол места); 2) вектором скорости (I, а, e); 3) признаками, характеризующими тип самолета (V), массу груза (G), требованиями к аэродромному обслуживанию (d)

В общем случае будем предполагать, что входной сигнал X1ÎXi, где X, — заданные множества (i= 1, n).

Прямое произведение X=X1´X2´.... ´.Хn называется прост­ранством входных сигналов. Xi - элементарные оси, входной сигнал х представляет собой точку пространства X, описываемую координатами x1, x₂, ..., хn. В общем случае ХÌХ.

Выходные сигналы системы. Система способна выдавать вы­ходные сигналы yÎY, где Y — множество выходных сигналов системы. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент вре­мени tÎТ, обозначается y(i).

Если выходной сигнал у описывается набором характеристик y₁, y₂, . . . y_m, таких, что уÎY_j, j=l, m, Y_j — заданные множества, то прямое произведение Y=Y₁´ Y₂´ . . . ´ Ym

называется пространством выходных сигналов системы. По ана­логии с входным процессом введем понятие выходного процесса y=N(t), а также определим выходное сообщение (t, y_N)_T и его отрывок (t, y_N]_t1^t2 на полуинтервале (t₁, t₂].

Модель «черный ящик»:входы и входы системы задаются в виде двух множеств, никаких других отношений между этими множествами фиксировать нельзя (иначе это уже будет не "черный", а прозрачный ящик). Построение модели "черного ящика" не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель, ответ не прост и не всегда однозначен. Главной причиной множественности входов и выходов в модели "черного ящика" является то, что всякая реальная система, как и любой объект, взаимодействует с объектами окружающей среды неограниченным числом способов. Строя модель системы, мы из этого бесчисленного множества связей отбираем конечное их число для включения в список входов и выходов.

В пространстве состоянийсоздаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме.