ОБРАЗЕЦ ТЕСТА ТЕКУЩЕЙ АТТЕСТАЦИИ

Специальность

050201.65 Математика (Информатика)

код наименование

Барнаул

ТЕСТ

Дифференциальная геометрия

1. Сумма ограниченного числа бесконечно малых векторов

A. бесконечно большой вектор

B. бесконечно малый вектор

C. конечный вектор

D. предел переменного вектора

E. производная векторной функции скалярного аргумента

2. Предел переменного вектора, это

A. вектор

B. бесконечно малый вектор

C.число

D. бесконечно малое число

E. бесконечно большое число

3. Предел постоянного вектора равен

A. нулю

B. конечному числу

C. самому вектору

D. скалярному аргументу

E. векторной функции скалярного аргумента

4. Векторная функция называется непрерывной, если

A. ее предел есть бесконечно малая величина

B. если ее приращение, соответствующее бесконечно большому аргументу, бесконечно большое

C. если ее приращение, соответствующее бесконечно малому аргументу, бесконечно большое

D. если ее приращение, соответствующее бесконечно большому аргументу бесконечно мало

E. если ее приращение, соответствующее бесконечно малому аргументу бесконечно мало

5. Для непрерывности векторной функции скалярного аргумента

A. необходима и достаточна непрерывность ее координат

B. необходимо существование предела функции

C. необходима непрерывность ее координат

D. достаточна непрерывность ее координат

E. необходимо существование предела слева функции в точке

6. Производная вектор-функции постоянной длины

A. параллельна координатным плоскостям

B. принадлежит соприкасающейся плоскости

C. ортогональна вектор-функции

D. коллинеарна вектор-функции

E. лежит в нормальной плоскости

7. Производная вектор-функции постоянного направления

A. коллинеарна вектор-функции

B. перпендикулярна вектор-функции

C. компланарна вектор-функции и второй производной вектор-функции

D. коллинеарна второй вектор-функции

E. ортогональна касательной годографа вектор-функции

8. Вектор-функция, параллельная постоянной плоскости

A. коллинеарна производной вектор-функции

B. ортогональна производной вектор-функции

C. компланарна второй производной векторной функции

D. компланарна первой и второй производной векторной функции

E. коллинеарна первой и второй производной векторной функции

9. Чтобы кривая была параметризованной, необходимо, чтобы существовало соответствие между значениями параметра и точками кривой, это соответствие должно быть

A. взаимно-однозначным

B. непрерывным

C. взаимно-однозначным и непрерывным

D. дифференцируемым

E. непрерывным и дифференцируемым

10. Касательной к параметризованной кривой называется

A. прямая, занимающая предельное положение секущей, проходящей через данную точку и точку кривой, неограниченно приближающуюся к данной

B. хорда, соединяющая две бесконечно близкие точки кривой

C. прямая, параллельная производной вектор-функции в точке

D. прямая, перпендикулярная производной вектор-функции в точке

E. прямая, занимающая предельное положение секущей, проходящая через две точки на кривой

11. Особой точкой параметризованной кривой заданной вектор-функцей называется точка, в которой:

A. вектор первой производной кривой равен вектору второй производной кривой

B. вектор первой производной кривой равен нулю

C. вектор первой производной кривой коллинеарен вектору второй производной кривой

D. вектор второй производной кривой равен нулю

E. вектор первой производной кривой ортогонален вектору второй производной кривой

12. Прямая называется касательной прямой к поверхности

A. если она касается любой замкнутой кривой на поверхности

B. если она пересекает поверхность только в одной точке

C. если она принадлежит поверхности

D. если она касается какой-либо кривой на поверхности

E. если она касается какой-либо прямой на поверхности

13. Нормалью поверхности называется

A. прямая, перпендикулярная касательной прямой и проходящая через точку прикосновения

B. прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости и проходящая через точку прикосновения

C. прямая, лежащая в нормальной плоскости и проходящая через точку прикосновения

D. прямая, лежащая в нормальной плоскости и перпендикулярная какой-либо касательной кривой

E. прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости

14. Касательной плоскостью поверхности называется

A. геометрическое место прямых, касающихся поверхности в обыкновенной точке

B. геометрическое место прямых, касающихся поверхности в особой точке

C. геометрическое место прямых, имеющих единственную точку пересечения с поверхность

D. плоскость, в которой лежат прямые, имеющие бесконечно удаленные точки пересечения с поверхностью

E. плоскость, содержащая нормаль и касательную к поверхности

15. Соприкасающейся плоскостью кривой называется

A. предельное положение плоскости проходящей через три неограниченно сближающиеся точки этой линии

B. предельное положение плоскости проходящей через две неограниченно сближающиеся точки кривой

C. плоскость, образованная касательным вектором кривой и радиус-вектором

D. плоскость, образованная касательным вектором кривой и соприкасающимся вектором кривой

E. плоскость, образованная касательным вектором кривой и любым нормальным вектором кривой

16. Точками спрямления параметризованной кривой называются точки в которых

A. вектор второй производной равен нулю

B. вектор первой производной кривой коллинеарен вектору второй производной кривой

C. вектор первой производной кривой ортогонален вектору второй производной кривой

D. вектор второй производной кривой коллинеарен радиус-вектору кривой

E. вектор второй производной кривой ортогонален радиус-вектору кривой

17. Нормалью пространственной кривой называется

A. всякая прямая перпендикулярная касательной и проходящая через точку прикосновения

B. прямая перпендикулярная соприкасающейся плоскости

C. прямая, принадлежащая соприкасающейся плоскости

D. всякая прямая, перпендикулярная касательной

E. прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку прикосновения

18. Нормальной плоскостью пространственной кривой называется

A. плоскость, проходящая через три неограниченно сближающиеся точки кривой

B. плоскость, перпендикулярная соприкасающейся плоскости кривой

C. плоскость, образованная касательным вектором и нормальным вектором кривой и проходящая через точку касания

D. плоскость, перпендикулярная касательной к кривой и проходящая через точку касания

E. плоскость, коллинеарная касательной к кривой и проходящая через точку касания

19. Главной нормалью пространственной кривой называется

A. прямая пересечения нормальной плоскости кривой и спрямляющей плоскости кривой в данной точке

B. прямая, перпендикулярная касательной к кривой и проходящая через точку касания

C. нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости

D. нормаль, расположенная в спрямляющей плоскости

E. прямая пересечения соприкасающейся и спрямляющей плоскостей

20. Бинормалью пространственной кривой называется

A. нормаль поверхности на которой лежит пространственная кривая

B. прямая пересечения касательной и нормальной плоскостей

C. прямая пересечения касательной и соприкасающейся плоскостей

D. нормаль, коллинеарная соприкасающейся плоскости

E. нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости

21. Спрямляющей плоскостью пространственной кривой называется

A. плоскость, содержащая бинормаль и касательную к кривой

B. плоскость, содержащая главную нормаль и касательную к кривой

C. плоскость содержащая главную нормаль и бинормаль к кривой в точке касания

D. предельное положение плоскости, проходящей через неограниченно сближающиеся точки кривой

E. предельное положение плоскости, проходящей через две неограниченно сближающиеся точки кривой

22. Длиной дуги кривой называется

A. интеграл от модуля радиус-вектора данной кривой

B. предел периметра ломанной линии, вписанной в данную дугу, если число звена ломанной неограниченно возрастает, а длина каждого звена стремится к нулю

C. предел периметра ломанной линии, вписанной в дугу, соединяющую эту точку с началом координат

D. длина дуги окружности, проходящей через две данные точки с центром в начале координат

E. интеграл от модуля производной радиус-вектора данной кривой по натуральному параметру

23. Параметр кривой называется натуральным,

A. если его предел, при неограниченном сближении точек кривой равен нулю

B. если его предел при неограниченном сближении точек кривой равен единице

C. если его значение для точки кривой равно длине дуги кривой от начальной точки кривой до данной точки

D. его значение для точки кривой равно длине дуги кривой от начало координат до данной точки

E. если производная радиус-вектора кривой по этому параметру перпендикулярна касательной

24. Первая производная радиус-вектора кривой по натуральному параметру, есть

A. единичный вектор направленный по нормалям к кривой

B. единичный вектор направленный по касательной к кривой

C. единичный вектор направленный по бинормали к кривой

D. вектор принадлежащий нормальной плоскости к кривой

E. вектор принадлежащий касательной плоскости к кривой

25. Вектор второй производной от радиус-вектора кривой по натуральному параметру направлен

A. по главной нормали

B. по бинормали кривой

C. по касательной к кривой

D. по спрямляющей плоскости кривой

E. под прямым углом к главной нормали кривой

26. Матрица разложения производных векторов сопровождающего трехгранника по векторам этого же трехгранника

A. симметричная

B. кососимметричная

C. диагональная

D. скалярная

E. единичная

27. Кривизна кривой в данной точке есть

A. предел периметра ломанной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев ломанной неограниченно возрастает, а длина каждого звена стремится к нулю

B. предельное положение прямой, проходящей через две неограниченно сближающиеся точки кривой

C. радиус окружности, проходящей через две неограниченно сближающиеся точки кривой с центром в начале координат

D. предел отношения угла поворота касательной на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги

E. предел отношения угла поворота бинормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги

28. Кручения кривой в данной точке кривой есть

A. предел периметра ломанной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев ломанной неограниченно возрастает, а длина каждого звена стремится к нулю

B. предельное положение прямой, проходящей через две неограниченно сближающиеся точки кривой

C. радиус окружности, проходящей через две неограниченно сближающиеся точки кривой с центром в начале координат

D. предел отношения угла поворота касательной на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги

E. предел отношения угла поворота бинормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги

29. Под углом между двумя кривыми на поверхности понимают

A. угол между векторами вторых производных кривых в точке пересечения

B. угол между нормалями кривых в точке пересечения

C. угол между главными нормалями кривых в точке пересечения

D. угол между бинормалями кривых в точке пересечения

E. угол между касательными к кривым в точке пересечения

30. Нормальное сечение поверхности образуется плоскостью, проходящей через данную точку поверхности и

A. содержащей нормаль поверхности в этой точке

B. содержащей главную нормаль поверхности в этой точке

C. содержащей все касательные к кривым, проходящим через эту точку

D. содержащей бинормаль поверхности в этой точке

E. и пересекающей поверхность под прямым углом с любой кривой, проходящей через данную точку

31. Линия на поверхности называется асимптотической, если

A. если она является прямой, целиком лежащей на поверхности

B. если ее касательная перпендикулярна главной нормали в каждой точке кривой

C. если касательная плоскость поверхности совпадает с соприкасающейся плоскостью этой линии в каждой точке линии

D. если касательная плоскость поверхности совпадает с нормальной плоскостью этой линии в каждой точке линии

E. если касательная плоскость поверхности совпадает со спрямляющей плоскостью этой линии в каждой точке линии

32. Линия на поверхности называется линией кривизны

A. если она является прямой, целиком лежащей на поверхности

B. если эта линия в каждой своей точке направлена по главному направлению поверхности

C. если эта линия в каждой своей точке перпендикулярна асимптотическому направлению на поверхности

D. если касательная плоскость поверхности совпадает с нормальной плоскостью этой линии в каждой точке линии

E. если касательная плоскость поверхности совпадает со спрямляющей плоскостью этой линии в каждой точке линии

33. Две поверхности называются наложимыми, если

A. поверхности пересекаются под прямым углом

B. поверхности пересекаются по прямой

C. поверхности пересекаются по асимптотической линии

D. между их точками можно установить взаимно-однозначное соответствие при котором длины соответствующих дуг линий, расположенных на этих поверхностях, равны между собой

E. между точками поверхностей и точками плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие

34. Геодезической кривизной линии на поверхности в некоторой ее точке называется

A. модуль проекции вектора кривизны этой линии на касательную плоскость поверхности в этой точке

B. предел отношения угла поворота касательной на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги

C. предельное положение угла между касательными плоскостями в неограниченно сближающихся точках линии

D. предел отношения угла поворота бинормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги

E. предел отношения угла поворота главной нормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к данной длине этой дуги

35. Линия на поверхности называется геодезической, если

A. ее кривизна равна нулю во всех ее точках

B. ее геодезическая кривизна равна нулю во всех ее точках

C. ее кручение равно нулю во всех ее точках

D. ее геодезическое кручение равно нулю во всех ее точках

E. ее кривизна равна кручению во всех ее точках

36. Производная векторной функции по ее скалярному аргументу

A. равна нулю

B. равна скалярному произведению вектора на его длину

C. есть вектор, направленный по касательной годографа в его соответствующей точке

D. перпендикулярна векторной функции

E. коллинеарна векторной функции

37. Производная суммы векторов равна

A. сумме произведений производной первого вектора на длину второго вектора и производной второго вектора на длину первого вектора

B. равна нулю

C. скалярному произведению производных данных векторов

D. векторному произведению производных данных векторов

E. сумма производных слагаемых

38. Производная произведения вектора на скаляр равна

A. сумме произведений производной скаляра на вектор и производной вектора на скаляр

B. сумме производных сомножителей

C. произведению производной вектора на производную скаляра

D. произведению производной вектора на скаляр

E. произведению вектора на производную скаляра

39. Производная скалярного произведения двух векторов равна

A. скалярному произведению производных каждого вектора

B. сумме двух скалярных произведений: производной первого вектора на второй и производной второго вектора на первый

C. сумме двух векторных произведений: производной первого вектора на второй и первого вектора на производную второго

D. перпендикулярна каждому из сомножителей

E. равна нулю

40. Производная векторного произведения двух векторов равна

A. векторному произведению производных каждого вектора

B. равна нулю

C. сумме двух скалярных произведений: производной первого вектора на второй и производной второго вектора на первый

D. сумме двух векторных произведений: производной первого вектора на второй и первого вектора на производную второго вектора

E. скалярному произведению производных каждого вектора

41. Производная смешанного произведения трех векторов равна

A. векторному произведению производных каждого вектора

B. скалярному произведению производных каждого вектора

C. смешанному произведению производных каждого вектора

D. равна нулю

E. сумме трех смешанных произведений: производной первого вектора на второй и третий, первого вектора на производную второго и третий вектор и, наконец, произведению первого и второго вектора на производную третьего вектора

42. Производная постоянного вектора

A. перпендикулярна направлению вектора

B. коллинеарна направлению вектора

C. равна нулю

D. направлена по касательной к годографу векторной функции

E. имеет направление противоположное постоянному вектору

43. Координаты производной векторной функции равны

A. координатам единичного вектора, направленного по касательной к годографу векторной функции

B. производным координат векторной функции

C. скалярному произведению координат векторной функции на координаты единичного вектора

D. векторному произведению координат векторной функции на координаты единичного вектора

E. нулю

44. Нормалью плоской кривой называется

A. прямая, перпендикулярная касательной

B. прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания

C. прямая, лежащая в плоскости кривой, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания

D. прямая, перпендикулярная плоскости кривой и проходящая через точку касания

E. любая прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания

45. Асимптотой плоской кривой называется

A. предельное положение касательной, точки касания которой неограниченно сближаются

B. предельное положение касательной, точки касания которой неограниченно удаляются по кривой

C. прямая, обе точки пересечения которой с кривой удалены в бесконечность

D. прямая, одна точка пересечения которой с кривой удалена в бесконечность

E. прямая, лежащая в плоскости кривой, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания

46. Дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция r = r(t) называется бирегулярной если

48. Какое условие должно выполняться для того, чтобы заданная на отрезке [a, b] векторная функция была постоянного модуля

A.r'(t) = 0 ;

B. r'(t) и r(t) ортогональны ;

C.(r(t) , r'(t)) ≠ 0 ;

D. [r(t) , r'(t)] = 0 ;

E. r'(t) и r''(t) параллельны

F. .

49. Найти точку кривой x = 3t - t ³, y = 3t ², z = 3t + t ³ в которой касательная параллельна плоскости 3x + y + z + 2 = 0

A. (2; 3; 4) ;

B. (-2; -3; 4) ;

C. (0; 4; 6) ;

D. (2; -3; 4) ;

E. (-2; 3; -4) .

50. Кривизна пространственной кривой в точке M ₀ определяется пределом при Δs → 0 отношения φ/Δs где Δs - длина дуги M ₀M, а φ - это

A. Угол между касательной в точке M ₀ и секущей M ₀M

B. Угол между касательными в точке М и в точке M ₀

C. Угол между главными нормалями в точке М и в точке M ₀

D. Угол между бинормалями в точке М и в точке M ₀

E. Угол между радиус-векторами в точке М и в точке M ₀

51. Кручение пространственной кривой в точке M ₀ определяется пределом при Δs → 0 отношения φ/Δs где Δs - длина дуги M ₀M, а φ - это

A. Угол между касательной в точке M ₀ и секущей M ₀M

B. Угол между касательными в точке М и в точке M ₀

C. Угол между главными нормалями в точке М и в точке M ₀

D. Угол между бинормалями в точке М и в точке M ₀

E. Угол между радиус-векторами в точке М и в точке M ₀

52. Укажите условие регулярности векторной функции

A. r(t) непрерывно и отличнa от нуля ;

B. r(t) отлично от нуля ;

C. r'(t) непрерывно и отличнa от нуля ;

D. r'(t) отлично от нуля ;

E. |r'(t)| = 1.

53. Чему равна кривизна окружности радиуса R в произвольной точке

A. k = 0 ;

B. k = R ;

C. k = R ² ;

D. k = 1/R ;

E. k = 1/R ² .

54. Укажите направляющий вектор главной нормали бирегулярной кривой r(t)

A. dr/dt ;

B. d ²r/dt ² ;

C. d ³r/dt ³ ;

D. [dr/dt , d ²r/dt ²]

E. [[dr/dt , d ²r/dt ²], dr/dt]

55. Укажите направляющий вектор главной бинормали бирегулярной кривой r(t)

A. d ²r/dt ² ;

B. [dr/dt , d ²r/dt ²]

C. d ²r/dt ³ ;

D. [[dr/dt , d ²r/dt ²], dr/dt]

E. [[dr/dt , d ²r/dt ²], d ²r/dt ²]

56. Найти длину дуги s кривой x = 4 cos³t , y = 4 sin³t от точки A(t = 0) до точки B(t = π/2)

A. s = 2 ;

B. s = 4 ;

C. s = 6 ;

D. s = 8 ;

E. s = - 8 .

57. Укажите условие регулярности вектор-функции r (u , v)

A. (r _u , r _v ) = 0 ;

B. r _u ≠ 0 , r _v ≠ 0 ;

C. [r _u , r _v ] = 0 ;

D. ранг матрицы из координат векторов r _u и r _v равен единице

E. r _u = 0 , r _v ≠ 0 ;

58. Укажите первую квадратную форму регулярной поверхности

A. du ² + 4dudv + 4dv ² ;

B. du ² - 4dudv + 6dv ² ;

C. du ² + 6dudv + 4dv ² ;

D. du ² - dudv - 2dv ² ;

E. du ³ + du ² .

59. Какое из выражений является 1-ой квадратной формой для сферы x = R cos u cos v , y = R cos u sin v , z = R sin u

A. R ² (du ² + dv ²) ;

B. R ²(du ² + cos ² u du ²) ;

C. du ² + sin ² u dv ² ;

D. du ² + cos ² u dudv + R cos ² v dv ² ;

E. du + du ² .

60. Найти 1-ю квадратичную форму плоскости в полярных координатах

A. dp ² + dφ ² ;

B. dp ² + 2pφ dpdφ + dφ ² ;

C. φ ² dp ² + dφ ² ;

D. dp ² + p ² dφ ² ;

E. φ ² dp ² + p ² dφ ² .

61. Найти 1-ю квадратичную форму прямого геликоида x = u cos v , y = u sin v , z = av

A. du ² + (u ² + a ²)dv ² ;

B. (v ² + a ²)du ² + dv ² ;

C. v ² du ² + a dudv + u ² dv ² ;

D. a ² (du ² + dv ²) ;

E. du ² + dv ² .