Решение. 1) уравнение стороны АВ можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через две точки А (1,2)

1) уравнение стороны АВ можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через две точки А (1,2) , В (2,-2). Полагая х₁ = 1 , y₁ = 2 , х₂ = 2 , y₂ = -2 и подставляя в уравнение

, получаем или . Данное уравнение можно преобразовать к общему уравнению прямой - 4 ( х - 1 ) = y – 2 ⇒ - 4 х + 4 – y + 2 = 0 ⇒ 4 x + y – 6 = 0 ,

где нормальный вектор . Из общего уравнения прямой можно прийти к уравнению прямой с угловым коэффициентом y = - 4 x + 6 , где k = - 4.

2) уравнение высоты CD можно рассматривать как прямую, проходящую через точку С параллельно нормальному вектору и прямой АВ, т.е. вектор является направляющим вектором для прямой CD . Тогда, пользуясь уравнением , получим , или в общем виде x – 4 y – 2 = 0 .

Длину высоты CD находим как расстояние от точки С до прямой АВ :

.

3) Для того, чтобы найти уравнение медианы ВМ , найдем координаты точки М , как середины стороны АС .

.

Уравнение медианы ВМ получим как уравнение прямой, проходящей через две точки В и М .

или .

Для нахождения угла между высотой CD и медианой ВМ найдем их угловые коэффициенты. Из уравнения CD находим угловой коэффициент , а из уравнения ВМ - . Тогда угол между двумя прямыми равен

.

Пример. Составить уравнение прямой , проходящей через точку А(1,2) и параллельно прямой 3 х + 2 y + 2 = 0 . Найти координаты точки М , расположенной симметрично точке А относительно данной прямой.

Решение . Так как прямая, проходящая через точку А, должна быть параллельна прямой 3 х + 2 y + 2 = 0 , нормальные вектора у них одни и те же, тогда искомая прямая запишется как прямая , проходящая через точку А перпендикулярно вектору , т.е.

3( х – 1) + 2 ( y – 2) = 0 или 3 х + 2 y - 7 = 0 .

Для нахождения точки М , симметричной точке А , найдем уравнение прямой , проходящей через точку А перпендикулярно прямой 3 х + 2 y + 2 = 0 . Это уравнение прямой , проходящей через точку А параллельно нормальному вектору , т.е.

или 2 х - 3 y + 4 = 0 .

Найдем точку пересечения данных прямых , т.е. решим систему .

Эта точка является серединой отрезка АМ , поэтому справедливы соотношения , откуда и найдем координаты точки М : .