Задача 7. Найти с помощью канонических уравнений Гамильтона закон движения свободного тела, совершающего по инерции движение в плоскости xy

Найти с помощью канонических уравнений Гамильтона закон движения свободного тела, совершающего по инерции движение в плоскости xy. Даны начальные условия движения: при t = 0 имеем x = 0, y = 0, j = 0, = v_Ox, = v_Oy, = w₀. (C – центр масс твердого тела).

Решение. Для определения положения твердого тела зададим три обобщенныхкоординаты: x, y, j. Кроме этих обобщенных координат, каноническими переменными являются обобщенные импульсы p_x, p_y, p_j.

Кинетическая энергия твердого тела равна .

Потенциальная энергия свободного твердого тела, движущегося по инерции равна нулю.

Внеся результаты в функцию Лагранжа, получим .

Вычислим обобщенные импульсы

В данном случае все три обобщенных координаты не входят в функцию Лагранжа и являются циклическими.

Поэтому все обобщенные импульсы постоянны, т.е. три первых интеграла канонических уравнений равны

, , .

Используя в этих уравнениях начальные условия движения: при t=0 дано = v_Ox, = v_Oy, = w_0, найдем:

Проинтегрировав эти дифференциальные уравнения и применив начальные условия движения: при t=o x = 0, y = 0, j = 0, получим еще три первых интеграла канонических уравнений – искомые уравнения движения

x= v_Oxt, x= v_Oyt, j= v_Ojt,

Наличие трех циклических координат дало возможность, минуя составление канонических уравнений, легко получит шесть первых интегралов.