Задача.8

Найти гамильтониан и составить канонические уравнения движения плоского математического маятника. Длина подвеса маятника .

Решение. Примем в качестве обобщенной координаты угол .

Координаты массы m: , .

Кинетическая энергия в декартовых координатах . Подставив производные, получим в полярных координатах. Потенциальная энергия .

Функция Лагранжа .

Функция Гамильтона . Обобщенный импульс . Отсюда . Подставим величины и в выражение функции Гамильтона, получим .

Другой способ: Выразим кинетическую энергию через обобщенный импульс и подставим в выражение .

Канонические уравнения имеют вид , .

Подставим в уравнение Лагранжа ( ) величины и и получим - нелинейное уравнение второго порядка. При малых значениях угла можно принять и линейное уравнение второго порядка.

------------------------------------

Задача 9. Два одинаковых шарика массы, связанные между собой пружиной жесткости (длина ), могут скользить без трения по трубе, вращающиеся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Найти гамильтониан системы и составить канонические уравнения.

Решение.

, , , .

Связь нестационарная, поэтому .

------------------------------------

Задача10.

По гладкой горизонтальной трубке, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, может двигаться шарик массы m. Составить канонические уравнения движения шарика.

Решение.

, , , , ( ).

------------------------------------

Задача11.

Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в фазовом пространстве.

Решение. Функция Гамильтона . Из закона сохранения энергии получим уравнение фазовой траектории .

Это есть эллипс с полуосями и

.

------------------------------------

Задача 12.

Мат. точка движется в поле притяжения к неподвижному центру. Составить канонические уравнения движения точки, если сила является функцией расстояния от центра.

Решение. + .

--------------------------------------

Задача 13.

Мат. точка движется по гладкой поверхности кругового конуса с вертикальной осью; раствор конуса направлен вверх, угол раствора .

Решение. Поместим начало цилиндрических координат в вершине конуса, а ось направим вертикально вверх. Тогда

Замечая, что , перепишем это выражение в виде

.

Потенциальная энергия равна .

Циклический интеграл и интеграл энергии могут быть записаны в форме

( интеграл площадей на горизонтальную плоскость),

.

_________________________

Задача 14.

Определить канонические уравнения движения точки, движущейся по инерции.

Решение. Функция Лагранжа имеет вид: . Все координаты являются циклическими. В этом случае обобщенные импульсы имеют вид:

, , .

Функция Гамильтона имеет вид

. Тогда , , .

Уравнения движения точек в декартовых координатах:

, , .

Задача 15.

Составить канонические уравнения движения мат. точки, движущейся по гладкой сфере радиуса r в однородном поле тяжести.

Решение. Связь стационарная, время явно в функцию Гамильтона не входит, поэтому