Теорема доказана.

Определим теперь кручение кривой. Из параллельности векторов и следует, что при движении вдоль кривой в сторону возрастания соприкасающаяся плоскость поворачивается около касательной.

В связи с этим определим кручение = и будем брать знак “плюс”, если вращение соприкасающейся плоскости происходит в направлении от вектора к вектору , и знак “минус“, если в противоположном направлении. Если так определить знак, то кручение .

Выясним геометрический смысл кручения. Для этого найдём все кривые, для которых º0.

Имеем: , . Значит, вектор ортогонален трем взаимно перпендикулярным векторам. Следовательно, и .

Так как , то, интегрируя это равенство, получим, , т.е. кривая лежит в соприкасающейся плоскости.

Таким образом, кривые, для которых кручение тождественно равно нулю – плоские. Верно и обратное.