Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными с помощью средства Поиск решения 3 страница

Обычно взаимосвязь между выборками носит не функциональный, а вероятност­ный (или стохастический) характер. В этом случае нет строгой однозначной зави­симости между величинами. При изучении стохастических зависимостей разли­чают корреляцию и регрессию.

Регрессионный анализ устанавливает фор­мы зависимости между случайной величиной Yи значениями одной или несколь­ких переменных величин.

Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя слу­чайными величинами Х иY. В качестве меры такой связи используется коэффи­циент корреляции. Коэффициент корреляции оценивается по выборке объема n связанных пар наблюдений (x_i, y_i) из совместной генеральной совокупности Х и Y.

Существует несколько типов коэффициентов корреляции, применение которых зависит от предположений о совместном распределении величин Х и Y.

Для оценки степени взаимосвязи наибольшее распространение получил коэффи­циент линейной корреляции (Пирсона), предполагающий нормальный закон рас­пределения наблюдений.

Коэффициент корреляции (R, r) – параметр, характеризующий степень линей­ной взаимосвязи между двумя выборками. Коэффициент корреляции изменяется от -1 (строгая обратная линейная зависимость) до 1 (строгая прямая пропорцио­нальная зависимость). При значении 0 линейной зависимости между двумя вы­борками нет. Здесь под прямой зависимостью понимают ту, при кото­рой увеличение или уменьшение значения одного признака ведет, соответственно, к увеличению или уменьшению второго. Например, при увеличении температуры возрастает давление газа, а при уменьшении – снижается (при постоянном объе­ме). При обратной зависимости увеличение одного признака приводит к умень­шению второго и наоборот. Примером обратной корреляционной зависимости может служить связь между температурой воздуха на улице и количеством топли­ва, расходуемого на обогрев помещения.

На практике коэффициент корреляции принимает некоторые промежуточные зна­чения между 1 и -1. Для оценки степени взаимосвязи можно руковод­ствоваться следующими эмпирическими правилами. Если коэффициент корреля­ции (r) по абсолютной величине (без учета знака) больше, чем 0,95, то принято считать, что между параметрами существует практически линейная зависимость (прямая – при положительном r и обратная – при отрицательном r). Если коэф­фициент корреляции |r| лежит в диапазоне от 0,8 до 0,95, говорят о сильной степе­ни линейной связи между параметрами. Если 0,6 < |r| < 0,8, говорят о наличии ли­нейной связи между параметрами. При |r| < 0,4 обычно считают, что линейную взаимосвязь между параметрами выявить не удалось.

В MS Excel для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции исполь­зуется специальная функция КОРРЕЛ. Параметры функции КОРРЕЛ (масcuв 1; мaccuв 2), где: массив 1 – это диапазон ячеек первой случайной величины; массив 2 – это второй интервал ячеек со значениями второй случайной величины.

Пример 8.Имеются результаты семимесячных наблюдений реализации минеральных удобрений вида А и вида В.

Необходимо определить, имеется ли взаимосвязь между количеством продаж удобрений обоих видов.

Решение.Для выявления степени взаимосвязи прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Откройте новую рабочую таблицу. Введите в ячейку А1 слова Вид удобрения А. Затем в ячейки А2:А8 – соответствующие значения числа продаж.

В ячейки В1:В8 введите название и значения для Вид удобрения В. Затем вычисляется значение коэффициента корреляции между выборками. Для этого табличный курсор установите в свободную ячейку (А9). На панели инструментов нажмите кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функцию КОРРЕЛ, после чего нажмите кнопку ОК. Появившееся диалоговое окно КОРРЕЛ за серое поле мышью отодвиньте вправо на 1-2 от данных (при нажатой левой клавише). Указателем мыши введите диапазон данных Тур А в поле Массив 1 (А2:А8). В поле Массив 2 введите диапазон данных Тур В (В2:В8). Нажмите кнопку ОК. В ячейке А9 появится значение коэффициента корреляции – 0,995493. Значение коэффициента корреляции больше, чем 0,95. Значит, можно говорить о том, что в течение периода наблюдения имелась высокая степень прямой линейной взаимосвязи между количествами проданных удобрений обоих видов (r = 0,995493).

Корреляционная матрица

При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять из нескольких рядов числовых данных, для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами.

Корреляционная матрица – это квадратная (или прямоугольная) таблица, в которой на пересечении соответствующих строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами.

В MS Excel для вычисления корреляционных матриц используется процедура Корреляция. Процедура позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами.

Для реализации процедуры необходимо:

- выполнить команду Сервис → Анализ данных;

- в появившемся списке Инструменты анализа выбрать строку Корреляция и нажать кнопку ОК;

- в появившемся диалоговом окне указать Входной интервал, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие анализируемые данные. Для этого следует навести указатель мыши на левую верхнюю ячейку данных, нажать левую кнопку мыши, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к правой нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши. Входной интервал должен содержать не менее двух столбцов;

- в разделе Группировка переключатель установить в соответствии с введенным данными;

- указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить флажок в левое поле Выходной интервал (навести указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верхнюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные (рис. 39);

- нажать кнопку ОК.

Результаты анализа. В выходной диапазон будет выведена корреляционная мат­рица, в которой на пересечении каждых строки и столбца находится коэффи­циент корреляции между соответствующими параметрами. Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат зна­чение 1, так как каждый столбец во входном диапазоне полностью коррелирует с самим собой.

Рис. 39. Пример установки параметров корреляционного анализа

Интерпретация результатов.Рассматривается отдельно каждый коэффици­ент корреляции между соответствующими параметрами. Его числовое значе­ние оценивается по эмпирическим правилам, изложенным в разделе «Коэффи­циент корреляции». Отметим, что хотя в результате будет получена треугольная матрица, корреляционная матрица симметрична, и коэффициенты корреляции r_ij= r_{ji .}

Пример 9.Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.

Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.

Решение.Для выполнения корреляционного анализа введите в диапазон A1:G3 исходные данные (рис. 40).

Рис. 40. Исходные данные из примера. Результаты вычисления корреляционной матрицы

Затем в меню Сервис выберите пункт Анализ данных и далее укажите строку Корреляция. В появившемся диалоговом окне укажите Входной интервал В1:G3. Укажите, что данные рассматриваются по строкам. Укажите выходной диапазон. Для этого поставьте флажок в левое поле Выходной интервал и в правое поле ввода Выходной интервал введите В6(рис. 40). Нажмите кнопку ОК.

Результаты анализа. В выходном диапазоне получаем корреляционную матрицу (рис. 40).

Интерпретация результатов.Из таблицы следует, что корреляция между со­стоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,92, а между состоянием по­годы и посещаемостью парка – 0,97, между посещаемостью парка и музея r = – 0,92.

Таким образом, в результате анализа выявлены зависимости: сильная степень об­ратной линейной взаимосвязи между посещаемостью музея и количеством сол­нечных дней (r = –0,92) и практически линейная (очень сильная прямая) связь между посещаемостью парка и состоянием погоды (r = 0,97). Между посещаемостью музея и парка имеется сильная обратная взаимосвязь (r = – 0,92). Подразумевается, что в пустых клетках в правой верхней половине таблицы нахо­дятся те же коэффициенты корреляции, что и в нижней левой (симметрично рас­положенные относительно диагонали).

6.4. Регрессионный анализ

Регрессия используется для анализа воздействия на отдель­ную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. Соответственно, наряду с корреляционным анализом еще одним инструментом изучения стохастических зависимостей является регрессионный анализ. Регрессионный анализ устанавливает формы зависимости между случайной ве­личиной Y (зависимой) и значениями одной или нескольких переменных величин (независимых), причем значения последних считаются точно заданными. Такая зависимость обычно определяется некоторой математической моделью (уравне­нием регрессии), содержащей несколько неизвестных параметров. В ходе регрес­сионного анализа на основании выборочных данных находят оценки этих пара­метров, определяются статистические ошибки оценок или границы доверительных интервалов и проверяется соответствие (адекватность) принятой математической модели экспериментальным данным.

В линейном регрессионном анализе связь между случайными величинами пред­полагается линейной. В самом простом случае в линейной регрессионной модели имеются две переменные Xи Y. И требуется по п парам наблюдений (Χ₁,Υ₁), (Х₂, Y₂), ...,(X_n, Υ_n) построить (подобрать) прямую линию, называемую линией рег­рессии, которая «наилучшим образом» приближает наблюдаемые значения. Урав­нение этой линии Y = аХ + b является регрессионным уравнением. С помощью регрессионного уравнения можно предсказать ожидаемое значение зависимой ве­личины Y₀, соответствующее заданному значению независимой переменной Х₀.

Таким образом, линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика и его уравнения для набора наблюдений. В регрессионном ана­лизе все признаки (переменные), входящие в уравнение, должны иметь непрерыв­ную, а не дискретную природу.

В случае, когда рассматривается зависимость между одной зависимой переменной Y и несколькими независимыми X₁, X₂, ..., Х_n, говорят о множественной линейной регрессии. В этом случае регрессионное уравнение имеет вид

Y = а₀+ а₁Х₁ +a₂X₂ ... + а_пХ_n,

где а_1, а₂, …, a_n – требующие определения коэффициенты при независимых пере­менных X₁, X₂, ..., Х_n;

а₀ – константа.

Мерой эффективности регрессионной модели является коэффициент детермина­ции R² (R-квадрат). Коэффициент детерминации (R-квадрат) определяет, с какой степенью точности полученное регрессионное уравнение описывает (аппроксими­рует) исходные данные.

Исследуется также значимость регрессионной модели с помощью F- критерия (Фишера). Если величина F-критерия значима (р < 0,05), то регрессионная модель является значимой.

Достоверность отличия коэффициентов а₀, a₁, а₂ ..., а_n от нуля проверяется с помощью критерия Стьюдента. В случаях, когда р > 0,05, коэффициент может считаться нулевым, а это означает, что влияние соответствующей независимой переменной на зависимую переменную недостоверно, и эта независимая переменная может быть исключена из уравнения.

В MS Excel экспериментальные данные аппроксимируются линейным уравнением до 16-го порядка:

Y= а₀ + а₁Х₁ + a₂X₂ + a₁₆X₁₆,

где Y – зависимая переменная, Х₁, ..., Х₁₆ – независимые переменные, а₀, а₁, …, a₁₆ – искомые коэффициенты регрессии.

Для получения коэффициентов регрессии используется процедура Регрессияиз Пакета анализа. Кроме того, могут быть использованы функция ЛИНЕЙН для получения параметров регрессионного уравнения и функция ТЕНДЕНЦИЯ для получения предсказанных значений Y требуемых точках.

Для реализации процедуры Регрессия необходимо:

- выполнить команду Сервис → Анализ данных;

- в появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать строку Регрессия, указав курсором мыши и щелкнув левой кнопкой мыши. Затем нажать кнопку ОК;

- в появившемся диалоговом окне задать Входной интервал Y, то есть ввести ссыл­ку на диапазон анализируемых зависимых данных, содержащий один столбец данных. Для этого следует навести указатель мыши на верхнюю ячейку столб­ца зависимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней ячейке, содержащей анализируемые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

- указать Входной интервал X, то есть ввести ссылку на диапазон независимых данных, содержащий до 16 столбцов анализируемых данных. Для этого следует навести указатель мыши на поле ввода Входной интервал X и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем навести указатель мыши на верхнюю левую ячейку диа­пазона независимых данных, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протянуть указатель мыши к нижней правой ячейке, содержащей анализируе­мые данные, затем отпустить левую кнопку мыши;

- указать выходной диапазон, то есть ввести ссылку на ячейки, в которые будут выведены результаты анализа. Для этого следует поставить переключатель в положение Выходной интервал (навести указатель мыши и щелкнуть левой кнопкой), далее навести указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и щелкнуть левой кнопкой мыши, затем указатель мыши навести на левую верх­нюю ячейку выходного диапазона и щелкнуть левой кнопкой мыши (рис. 41). Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные;

- если необходимо визуально проверить отличие экспериментальных точек от предсказанных по регрессионной модели, следует установить флажок в поле График подбора;

- нажать кнопку ОК.

Рис. 41. Пример заполнения диалогового окна Регрессия

Результаты анализа. Выходной диапазон будет включать в себя результаты дис­персионного анализа, коэффициенты регрессии, стандартную погрешность вычис­ления Y, среднеквадратичные отклонения, число наблюдений, стандартные погреш­ности для коэффициентов.

Интерпретация результатов.Значения коэффициентов регрессии находятся в столбце Коэффициенты и соответствуют:

- Y-пересечение – a₀;

- переменная X1 – а₁;

- переменная X2 – a₂ и т.д.

В столбце Р-Значение приводится достоверность отличия соответствующих коэф­фициентов от нуля. В случаях, когда Р > 0,05, коэффициент может считаться ну­левым, что означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную.

Приводимое значение R-квадрат (коэффициент детерминации) определяет, с ка­кой степенью точности полученное регрессионное уравнение аппроксимирует исходные данные. ЕслиR-квадрат > 0,95, говорят о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает явление). Если R-квадрат лежит в диапазоне от 0,8 до 0,95, говорят об удовлетворительной аппроксимации (модель в целом адекват­на описываемому явлению). Если R-квадрат < 0,6, принято считать, что точность аппроксимации недостаточна, и модель требует улучшения (введения новых неза­висимых переменных, учета нелинейностей и т. д.).

Пример 10. В отделе снабжения агрохолдинга имеется информация об изменении стоимости удобрений за длительный период времени. Сопоставляя его с изменениями курса доллара за этот же период времени, можно построить рег­рессионное уравнение. Ниже приведены стоимость одной тонны удобрений (в тыс. руб.) и соответствующий курс доллара (руб/USD).

Необходимо на основании этих данных построить регрессионное уравнение, по­зволяющее по курсу доллара определять предполагаемую стоимость одной тонны удобрений.

Решение:

1. Введите данные в рабочую таблицу: стоимость пачки порошка – в диапазон А1:А8; курс доллара – в диапазон В1:В8 (заметим, что знаку запятой, отделяющей целую часть от дробной, соответствует «запятая»).

2. В пункте меню Сервис выберите строку Анализ данныхи далее укажите курсо­ром мыши на строку Регрессия.

3. В появившемся диалоговом окне (рис. 10) задайте Входной интервал Y. Для этого наведите указатель мыши на верхнюю ячейку столбца зависимых данных (А1), нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, протяните указатель мыши к нижней ячейке (А8), затем отпустите левую кнопку мыши (обратите внима­ние, что зависимые данные – это те данные, которые предполагается вычис­лять).

4. Также укажите Входной интервал X, то есть введите ссылку на диапазон неза­висимых данных В1:В8 (независимые данные – это те данные, которые будут измеряться или наблюдаться).

5. Установите флажок в поле График подбора.

6. Далее укажите выходной диапазон. Для этого поставьте переключатель в поло­жение Выходной интервал (наведите указатель мыши и щелкните левой кноп­кой), затем наведите указатель мыши на правое поле ввода Выходной интервал и, щелкнув левой кнопкой мыши, указатель мыши наведите на левую верхнюю ячейку выходного диапазона (С1). Щелкните левой кнопкой мыши (рис. 41). Нажмите кнопку ОК.

Результаты анализа. В выходном диапазоне появятся следующие результаты и гра­фик подбора (рис. 42).

Рис. 42. Результаты анализа и график соответствия экспериментальных точек и предсказанных по регрессионной модели из примера 10

Интерпретация результатов.В таблице Дисперсионный анализ оценивается общее качество полученной модели: ее достоверность по уровню значимости критерия Фишера – р, который должен быть меньше, чем 0,05 (строка Регрессия, столбец Значимость F, в примере – 1,58Е-07 (0,000000158), то есть р = 0,000000158 и мо­дель значима) и степень точности описания моделью процесса R-квадрат (вто­рая строка сверху в таблице Регрессионная статистика, в примере R-квадрат = 0,992). Поскольку R-квадрат > 0,95, можно говорить о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает явление (рис. 42).

Далее необходимо определить значения коэффициентов модели. Они определя­ются из таблицы в столбце Коэффициенты – в строке Y-пересечение приводится сво­бодный член; в строках соответствующих переменных приводятся значения коэффициентов при этих переменных. В столбце р-значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля. В случаях, когда р > 0,05,коэффициент может считаться нулевым. Это означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную, и коэффициент может быть убран из уравнения.

Отсюда выражение для определения стоимости пачки порошка в рублях будет иметь следующий вид: -0,83 + 0,847*(Курс доллара, руб./USD). Полученная модель с высокой точностью позволяет определять стоимость пачки стирального порошка (R² = 99,2%).

Воспользовавшись полученным уравнением, можно рассчитать ожидаемую стоимость пачки стирального порошка при изменениях курса доллара. Например, для расчета при курсе доллара 35 руб/USD необходимо поставить табличный курсор в любую свободную ячейку (А10); ввести с клавиатуры знак =, щелкнуть указателем мыши по ячейке D17, ввести с клавиатуры знак +, щелкнуть по ячейке D18, ввести с клавиатуры знак * и число 35. В результате в ячейке А10 будет получена ожидаемая стоимость пачки порошка 28,8 руб.

7. Возможные ошибки при вводе условий задач линейного программирования

Если при решении задачи ЛП выдается сообщение, что решение не может быть найдено, то, возможно, причина за­ключается в ошибках, возникших при вводе условий задачи в Excel. Поэтому, прежде чем делать вывод об отсутствии оптимального решения задачи, ответьте на вопросы из таблицы 11.

Таблица 11

Список вопросов, позволяющих выявить ошибки ввода

условия задачи в Excel

ГЛОССАРИЙ

Абсолютный прирост	показатель, определяемый как разность между двумя уровнями динамического ряда; показывает, на сколько данный уровень превышает уровень, принятый за базу сравнения
Адекватность модели	соответствие модели реальному процессу по свойствам которые считаются существенными для исследования
Анализ чувствительности решения	необходимый этап применения количественных методов в менеджменте. Отвечает на вопрос, как изме­нения параметров модели (считавшихся постоянны­ми и «не зависящими» от менеджера в процессе поис­ка решения) влияют на полученное оптимальное ре­шение
Балансовые модели	модели, которые требуют соответствия наличия ресурсов и их использования
Булевые (логические) переменные	переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1. Эти значения можно сопоставить с ответом на некоторый вопрос типа «да-нет», «брать-не брать» и т. п. Используются, когда требуется решить, какие из большого набора элементов нужно выбрать, чтобы опти­мизировать целевую функцию и удовлетворить задан­ным ограничениям, а какие отбросить
Вершинная сетевая диаграмма	Сетевая диаграмма, в которой каждая стадия соответствует узлу, астрелки используются только для обозначения связей и последовательности стадий. Представление о фиктивных стадиях (работах) в этом случае излишне.
Временной (динамический) ряд	ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистических показателей
Временной резерв	допустимый временной интервал, в котором можно изменять длительность или моменты начала работ некритических стадий без изменения длительности проекта. Временной резерв критических стадий ра­вен нулю. Они не могут быть отсрочены или удлине­ны без соответствующего удлинения проекта в целом
Время поставки	время от подачи заявки до поступления запаса на склад
Вторая теорема двойственности –	компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения
Двойственная задача	Для любой ЛП-задачи можно сформулировать двойственную задачу, тесно связанную с исходной ЛП-задачей. При решении исходной задачи одновременно может быть получено и решение ее двойственной задачи. Решением двойственной задачи являются теневые цены для ресурсов исходной задачи
Детерминированные модели	модели, которые предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели, результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями
Диаграмма Гантта	диаграмма, в которой стадии проекта изображаются прямоугольниками, длины которых пропорциональны длительности стадий, причем прямоугольник, отвечающий стадии, последовательно откладывают в момент окончания самого позднего предшественника. Позво­ляет определить длительность проекта
Динамическое программирование (ДП)	метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги)
Дисперсия (D)	характеристика значений показателя, отражающая степень разброса отдельных значений показателя от среднего значения
Дисперсия регрессии –	характеристика отклонения расчетных значений результативного признака от его среднего значения
Допустимое базисное решение	решение, которое удовлетворяет всем условиям ограничениям
Допустимое решение (план)	набор значений переменных решения, удовлетворя­ющий всем наложенным на процесс управления ограничениям
Зависимые факторы (элементы решения)	факторы, которые в известных пределах можно выбирать по своему усмотрению. Обозначаются как неизвестные х1, х2, ...
Задача динамического программирования	задача математического программирования, в которой имеется пе­ременная времени, и критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие протекание операции во времени
Задача линейного программирования –	задача, в которой критерий эффективности представляет ли­нейную функцию и функции в системе ограничений также линейны
Задача о назначениях	частный случай ЛП-задачи. Наиболее распространенный вариант задачи состоит в выборе такого распре­деления работ между исполнителями, который мини­мизирует суммарные временные затраты на выполне­ние работ или другие характеристики эффективности работ
Задача о раскрое материалов	задача, целью которой является составление плана раскроя, обеспе­чивающего получение максимального числа комплектов заготовок
Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)	задача, целью которой является составление такого плана работы станков (т.е. распределение выпуска продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минималь­ными
Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)	задача, целью которой является составление такого плана произ­водства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной
Задача составления рациона (задача о диете, задачао смесях)	задача, целью которой является составление дневного рациона кормления, имеющего минимальную стоимость, в котором содер­жание каждого вида питательных веществ было бы не менее уста­новленного предела
Издержки размещения заказа	второй обязательный параметр в моделях управления запасами. Представляет собой издержки, связанные с подачей заказа, оформлением заявки, расходами на связь, получением и размещением заказа на складе. Не зависит от размера заказа
Издержки хранения запаса	первый обязательный параметр в моделях управления запасами. Обычно выражается в процентах от стоимости запаса, поскольку включает неполученные проценты на инвестированный в запас капитал. Также может содержать прямые издержки на страховку, содержание склада, охрану и т.д. Обычно относится к хранению единицы запаса в течение года
Интервал устойчивости оптимального решения	интервал, в котором изменение коэффициентов целевой функции не приводит к изменению оптимального решения, или интервал, в котором изменение правых частей ограничений не приводит к изменению теневых цен
Интервальный ряд динамики	ряд числовых значений определенного статистического показателя, характеризующего размеры изучаемого явления за определенные промежутки (периоды, интервалы) времени
Исследование операций	научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различ­ными организационными системами
Каноническая задача линейного программирования	задача, в которой все переменные неотрицательны и система ограничений состоит лишь из одних уравнений
Канторович Л.В.	российский ученый, академик, лауреат Нобелевской премии, поло­жил начало новому направлению прикладной математики – линей­ному программированию
Корреляционное отношение ŋ	характеристика тесноты связи результативного и факторного признаков при криволинейной зависимости
Корреляционный момент (ковариация)	характеристика тесноты связи показателей у и х, значения которых yi, xi, i = содержат случайные составляющие. Вычисляется по формуле:
Коэффициент парной корреляции	показатель тесноты связи для линейных однофакторных зависимостей:
Коэффициент регрессии	коэффициент а1уравнения линейной однофакторной регрессии выражающий величину изменения результативного признака при изменении фактора на единицу собственного измерения
Коэффициент частной корреляции	характеристика тесноты связи между двумя признаками при фиксированном значении остальных факторных признаков
Коэффициент эластичности	коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится величина результативного признака Y при изменении факторного признака х на один процент
Критерий Фишера (F)	критерий оценки соответствия уравнения регрессии реальной статистике где п – число наблюдении, k – число факторных признаков в уравнении
Критическая стадия	стадия, для которой изменение моментов начала и конца работ обязательно приведет к изменению длительности всего проекта. Для некритических стадий существует некоторый временной резерв, в котором моменты начала и конца работ можно изменять без изменения длительности проекта
Критический путь	Непрерывная последовательность критических стадий от начала к концу проекта. На сетевой диаграмме критический путь имеет наибольшую длительность, равную продолжительности проекта
Линейная многофакторная модель	модель вида
Линейная однофакторная регрессия	уравнение связи результативного показателя и фактора в виде линейного уравнения: , где – результирующий показатель, х – фактор
Линейный тренд	уравнение прямой линии, выражающее тенденцию изменения временного ряда
Линия уровня линейной функции	линия, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение
Метод «северо-западного угла»	один из возможных методов нахождения первоначального базисно­го распределения поставок в транспортной задаче начиная с верхней левой клетки и заканчивая нижней правой
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений	метод, основанный на последовательном исключении неизвестных
Метод критического пути	определяет последовательность стадий на сетевой диаграмме с максимальной суммарной длительностью (критический путь). Позволяет также определить временные резервы не­критических стадий. Используется для оценки соот­ношения «длительность проекта – издержки» и для оптимизации длительности проекта. Основан на предположении о том, что длительность каждой стадии проекта строго определена и не под­вержена случайным изменениям
Метод наименьших квадратов	метод определения зависимости результирующего показателя от факторов путем минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя от значений, определяемых уравнением регрессии
Множественный коэффициент корреляции	характеристика тесноты связи между результативным инесколькими факторными признаками
Модель операции	достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода систем уравнений и неравенств)
Моментный временной ряд динамики	ряд числовых значений определенного статистического показателя, характеризующего размеры изучаемого явления на определенные моменты времени
Мультиколлинеарность	тесная связь факторов между собой в экономических процессах, описываемых многофакторными зависимостями
Нормированная (редуцированная) стоимость	величина, выдаваемая отчетом по устойчивости MS-Excel, показывает, насколько нужно увеличить прибыль па единицу данного продукта, чтобы он во­шел в оптимальный план. Для продукта, входящего в оптимальный план, редуцированная стоимость равна 0
Общая задача линейного программирования	задача, формулирующаяся таким образом: дана система m линей­ных уравнений и неравенств с n переменными (условия-ограничения) и линейная целевая функция. Необходимо найти та­кое решение системы, при котором целевая функция принимает оптимальное (т.е. максимальное или минимальное) значение
Ограничения	математически выражаются в виде неравенств или равенств для переменных решения, включающих параметры, которые отражают реальные пределы использования доступных ресурсов в процессе управления или внешние ограничения на изменения переменных решения
Однофакторная параболическая модель второй степени	модель вида
Операция	любое управляемое мероприятие, направленное на достижение це­ли. Результат операции зависит от способа ее проведения, органи­зации, иначе – от выбора некоторых параметров
Опорный план	допустимый план перевозок для транспортной задачи, в котором число ненулевых перевозок равно сум­ме числа поставщиков и потребителей минус 1. Оптимальный план перевозок нужно искать только сре­ди множества опорных планов
Оптимальное решение (план)	набор значений переменных решения, удовлетворяющий всем наложенным на процесс управления ограничениям и обращающий целевую функцию в максимум или минимум
Оптимизационная задача в общем виде	найти переменные x1, x2, ..., xn, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений) ωi(x1, x2, ..., xn) ≤ bj, i = 1,2,...,m и обращающие в макси­мум (минимум) целевую функцию, т.е. Z = f(x1, x2, ..., xn) → max (min)
Основная (первая) теорема двойственности	если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их целевых функции равны
Остаточная дисперсия	характеристика отклонения фактических значений результативного показателя от расчетных, полученных с помощью уравнения регрессии
Открытая модель транспортной задачи	модель транспортной задачи, в которой сумма запасов поставщиковне равна сумме заявок потребителей; для поиска решения задачи необходимо предварительно представить ее в виде закрытой моде­ли (сумма запасов равна сумме заявок)
Отчет по устойчи­вости	один из отчетов, выдаваемый надстройкой «Поиск решения», содержащий информацию об интервалах устойчивости при изменении коэффициентов целе­вой функции и правых частей ограничений, а также информацию о теневых ценах
Параметры модели	величины, количественно характеризующие условия функционирования управляемой системы, организа­ции или процесса, которые при поиске оптимального решения менеджер должен считать неизменными
Переменные решения	величины, количественно характеризующие управляемую систему, организацию или процесс, которые ме­неджер может непосредственно изменять, с целью до­биться максимально эффективного управления (получить оптимальное значение целевой функции)
Поиск решения	надстройка MS Exсel, позволяющая осуществить по­иск оптимального решения для задач линейной (и нелинейной) оптимизации с ограничениями. Число переменных решения не может превышать 200. Для каждой изменяемой ячейки (переменной) может быть за­дано по 2 ограничения (снизу и сверху). Кроме того, можно задать 100 дополнительных ограничений
Показатель	количественное представление признака
Постоянные факторы (условия проведения операции)	факторы, входящие в описание операции, на которые влиять невоз­можно. Обозначаются a1, a2, …
Признак	основная отличительная черта, особенность изучаемого явления или процесса
Принцип оптимальности	принцип, формулирующийся так: каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах включая дан­ный
Проблема постоян­ных издержек	если оптимизируется строго линейная модель, то можно учесть лишь переменные издержки, т.е. те, которые пропорциональны количеству произведенной про­дукции. Для учета постоянных операционных издержек необ­ходимо введение булевой (логической) переменной в ЛП-задачу
Регрессионная модель	запись выявленной связи между результативным показателем и факторами в виде уравнения в постановке, когда реализация результирующего показателя имеет случайную составляющую, а факторы – детерминированные
Результативный признак	исследуемый показатель экономического процесса, как правило, характеризующий эффективность процесса
Решение	всякий определённый выбор параметров операции
Свободный член регрессии	коэффициент а0 уравнения регрессии, выражающий совокупное влияние всех неучтенных факторов; его вклад в значение результирующего показателя не зависит от изменения факторов
Сетевое планирование	количественный метод планирования и анализа сложных проектов. Включает в себя разбиение проекта на отдель­ные стадии (работы), установление связей между ними, графическое отображение этих связей с помо­щью сетевых диаграмм (графов) и анализ сетевых диаграмм с целью определения средней длительнос­ти и распределения вероятностей для времени выпол­нения проекта, допустимого временного интервала выполнения каждой стадии, возможных результатов и стоимости удлинения или сокращения отдельных стадий проекта
Симплекс	геометрическая область в многомерном пространстве, каждая точка которой является образом допустимого решения ЛП-задачи
Симплекс-метод	1) эффективный метод перебора угловых точек области допустимых решений с целью нахождения оптимального решения ЛП-задачи. Предложен Дж. Данцигом в 1947 г. Метод (или его последующие модификации) лежи в основе всех компьютерных алгоритмов для решения ЛП-задач; 2) метод, основанный на последовательном улучшении решения, являющийся универсальным методом решения задач линейного про­граммирования
Симплексная таблица	таблица, используемая для решения задач линейного программирования без ЭВМ
Среднее квадратическое отклонение (σ)	отклонение, представляющее собой корень квадратный из дисперсии
Средний абсолютный прирост	средняя величина изменения показателя за интервал времени
Средняя относительная ошибка аппроксимации	характеристика точности модели временного ряда. Определяется формулой *100%, где yt – фактическое значение признака; –расчетное значение признака, полученное с помощью уравнения тренда
Стандартная задача линейного программирования	задача, в которой все переменные неотрицательны и система ограничений состоит лишь из одних неравенств
Стохастические (вероятностные) модели	модели с неизвестными факторами - случайными величинами, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики
Темп прироста	показатель, характеризующий, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня
Темп роста	характеристика скорости изменения показателя в единицу времени, выраженная в процентах
Теневая цена	показывает, как изменится целевая функция ЛП-задачи, если количество соответствующего дефицитного ресурса увеличить на единицу. Для недефицнтного ресурса теневая цена равна нулю
Транспортная задача	частный случай задачи линейного программирования, формули­рующийся так: заданы поставщики и размеры их запасов, потреби­тели и размеры их заявок; известна стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика до каждого потребителя; требуется найти объёмы перевозок для каждой пары «поставщик-потребитель» так, чтобы: 1) мощности всех поставщиков были реализованы; 2) спросы всех потребителей были удовлетворены; 3) суммарные затраты на перевозку всех грузов были бы мини­мальны
Тренд	функция от времени, определяющая основную тенденцию развития показателя во времени
Трендовая модель	экономико-математическая динамическая модель, в которой развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд ее основных показателей
Фактор (факторный признак)	показатель, влияющий на значение результативного показателя
Фиктивный поставщик (потребитель)	в правильно поставленной транспортной задаче сум­ма запасов поставщиков должна быть равна сумме заказов потребителей (условие сбалансированности). Если в реальности это не так, следует добавить фик­тивного поставщика (или потребителя), запас (или заказ) которого восстанавливает баланс, а стоимость перевозок запасов от него (к нему) нулевая. То, что «получают» реальные потребители от фиктивного поставщика, – это их дефицит. То, что «отправляют» реальные поставщики фиктивному потребителю, – это запасы, оставшиеся на их складах
Целевая функция	количественный показатель эффективности управле­ния, зависящий от переменных решения и от параметров. При оптимальном выборе переменных решения достигает максимального или минимального значения (в зависимости от целей управления). Записывается в виде Z = (x1, x2, ..., a1, a2, ...)
Целочисленное программирование	методы решения ЛП-задач с дополнительным огра­ничением: все или часть переменных могут принимать только целые значения. По форме ЛП-задачн и ЦЛП очень похожи. Однако задачи ЦЛП гораздо более сложны, их решение тре­бует использования гораздо более сложных алгорит­мов и больших переменных затрат
Циклические перестановки	метод оптимизации плана перевозок транспортной задачи посредством преобразования опорных планов
Эконометрика	наука, исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики
Экономические методы	методы исследования экономики, изучающие экономическиепроцессы с количественной стороны
Экономический смысл основной (первой) теоремы двойственности	план производства X* = (х*1,х*2, ..., х*n) и набор цен (оценок) ресурсов Y* = (у*1, у*2, …, у*n) оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль (выручка) от продукции, найденная при «внешних» известных заранее ценах с1, с2, ..., сn, равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) це­нам у1, у2, ..., уn. Для всех других планов прибыль (выручка) от про­дукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы
Эффективность операции	степень ее приспособленности к выполнению задачи; количествен­но выражается в виде критерия эффективности

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК