Разложение вектора сигнала в ортогональном базисе

Рассмотрим векторное представление сигналов. Определим N-мерное ортогональное пространство как пространство, определяемое набором N линейно независимых функций , называемых базисными. Любая функция этого пространства может выражаться через линейную комбинацию этих базисных функций, которые должны удовлетворять условию

(2.1)

где оператор является дельта-функцией Кронекера

При ненулевых константах пространство называется ортогональным, если же базисные функции нормированы так, что все =1, то пространство называется ортонормированным.

Одна из причин внимания к ортогональному сигнальному пространству – то, что в нем проще всего определяется Евклидова мера расстояния, используемая в процессе детектирования.

Произвольный конечный набор сигналов , где каждый элемент имеет длительность Т можно выразить как линейную комбинацию N ортогональных сигналов , :

(2.2)

Эти соотношения можно записать в более компактной форме:

(2.3)

где

– коэффициенты при разложения сигнала по базисным функциям.

Набор сигналов при этом можно рассматривать как набор векторов . Приемник априори знает местонахождение в пространстве всех векторов-прототипов, принадлежащих М- мерному множеству. В процессе передачи сигналы искажаются. Приемник или детектор должен решить, какой из прототипов сигнального пространства ближе всего к принятому сигналу.