Доходность и риск инвестиционного портфеля

В теории портфельного инвестирования исходят из того, что значения доходности r отдельной ценной бумаги портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону.

Чтобы определить распределение вероятностей случайной величины доходности r необходимо знать:

- фактические значения доходности r_t , которые принимает данная величина,

- вероятность Р_t реализации каждого из результатов.

Инвестора интересует доходность инвестиций в конце инвестиционного, холдингового периода, то есть будущиезначения r_T, которое в начальный момент инвестирования неизвестно. Значит, инвестор должен оперировать ожидаемым, будущимраспределением случайной величины r .

Существуют два подхода к построению распределения вероятностей – субъективныйи объективный, или исторический.

При использовании субъективного подхода инвестор, прежде всего, должен определить возможные сценарии развития экономической ситуации в течение холдингового периода, оценить вероятность каждого результата и ожидаемую при этом доходность ценной бумаги. Субъективный подход имеет важное преимущество, поскольку позволяет оценивать сразу будущие значение доходности. Однако, он не находит широкого применения, поскольку для обычного инвестора очень трудно сделать оценку вероятностей экономических сценариев и ожидаемую при этом доходность.

Чаще используется объективный, или исторический подход. В его основе лежит предложение о том, что распределение вероятностей будущих (ожидаемых) величин практически совпадает с распределением вероятностей уже наблюдавшихсяфактических, исторических величин. Значит, чтобы получить представление о распределении случайной величины rв будущем достаточно построить распределение этих величин за какой-то промежуток времени T в прошлом.

Как показывают исследования западных экономистов, для рынка акций наиболее приемлемым является промежуток времени T равный 710 шагов расчета. В отличие от субъективного подхода, который предполагает разную вероятность различных значений доходности, при объективном подходе каждый результат имеет одинаковую вероятность, поскольку при T наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата составляет величину . Например, если исследуется доходность акции за предшествующие 10 лет, то вероятность каждой годовой доходности r_tсоставляет .

Для отдельной взятой ценной бумаги в качестве показателя доходности (на некотором периоде времени T) наиболее часто используют среднее арифметическоезначение доходности.

Так, если r_t( t = 1,2,…, T ) являются значениями доходности этой ценной бумаги в конце каждого t– го периода, а P_t– вероятность этого значения доходности r_t, то ожидаемый показатель доходности этой ценной бумаги будет равен:

где E(r_T ) –среднее арифметическое значение доходности этой ценной бумаги за T – шагов (лет), в течении которых велись наблюдения.

В случае объективного подхода , поэтому выражение примет вид:

Пример.

Рассмотрим показатель доходности E(r_T ) для отдельной акции А, применив объективный, или исторический подход. Выберем отрезок времени T, разобьём его на шаги расчёта (рекомендуемые 720 шагов) на которых курс акции А представлен графиком рис.

Рис.

Полагая, что K₀ цена покупки акции найдём все значения доходности r_t , обусловленные изменением курса акции

и ожидаемый показатель доходности

.

Вкачестве показателя рискапо ценной бумаге наиболее часто используют значения дисперсии σ² и стандартного отклонения σ

Доходность портфеля. Под ожидаемой доходностьюпортфеля из n ценных бумаг понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом “вес” каждой ценной бумаги определяется относительным количеством денег, направленных инвестором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля E(r_n ) равна:

где W_i - доля в общих инвестиционных расходах, идущая на приобретение i –ой ценной бумаги («вес» i –ой ценной бумаги в данном портфеле);

E(r_i ) – значение доходности i –ой ценной бумаги, n – число ценных бумаг в портфеле.

Измерение риска портфеля. При определении риска портфеля следует учитывать, что дисперсию портфеля нельзянайти как средневзвешенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений доходности по одной акции на изменения доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.

Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции.Положительнаяковариацияозначает, что в изменение доходности двух ценных бумаг осуществляется в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой акции также возрастет (уменьшится). Если же просматривается обратная тенденция, то есть увеличению (уменьшению) доходности акций соответствует снижение (увеличение) доходности акций, то между доходностями рассматриваемых акций существует отрицательная ковариация.

Ковариация σ_i,j доходности i – ой ценной бумаги c доходностью j – ой ценной бумаги портфеля за период T, подсчитывается по формуле:

где E(r_i ), E(r_j ) ожидаемая (средняя арифметическая) доходность ценных бумаг i и j, T – общее число периодов наблюдения, r_i,t,r_j,tзначения доходности ценных бумаг( t = 1,2,…, T ).

Часто при определении степени взаимосвязи (корреляции) двух случайных величин (в данном случае ожидаемой доходности ценных бумаг) используют относительную величину – коэффициент корреляции ρ_i,j

Коэффициент корреляции между доходностью ценных бумаг i и j равен отношению ковариации доходности этих ценных бумаг к произведению их стандартных отклонений. Значения ρ_i,j изменяются в пределах: -1< ρ_i,j<+1 и не зависят от способов подсчета величин σ_i,j и σ_i,, σ_,j. Это позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходности двух ценных бумаг: если ρ_i,j > 0, то доходность ценных бумаг i и j имеет тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях, то есть, когда доходность i- ой ценной бумаги возрастает (снижается), то и доходность j- ой ценной бумаги также возрастает (снижается). Чем ближе значение ρ_i,j к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда ρ_i,j = +1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значение годовой доходности r_i,t и r_j,t связаны положительной линейной зависимостью, то есть любым изменениям r_i,t всегда соответствуют пропорциональные изменения r_j,t в тех же направлениях.

Если значение коэффициента корреляции ρ_i,j отрицательное, то r_i,t и r_j,t имеют тенденцию изменяться в разных направлениях: когда r_i,t возрастает (снижается), r_j,t уменьшается (повышается). Чем ближе в этом случае ρ_i,j к величине - 1, тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При ρ_i,j = - 1 наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда r_i,t и r_j,t связаны отрицательной линейной зависимостью. При ρ_i,j = 0 отсутствует какая либо взаимосвязь между величинами доходности двух ценных бумаг.

Коэффициент корреляции очень важен для формирования портфеля. Чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, составляющих портфель, тем ниже и риск инвестиционного портфеля.

Количественно, риск инвестиционного портфеля определяется с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:

Если вспомнить, что коэффициент корреляции , то эту формулу можно представить в виде