Метод Монте-Карло на примере вычисления площадей

Простейшей иллюстрацией метода Монте-Карло [1] является вычисление площади плоской фигуры (S) по принципу, показанному на рис. 1.1 [2].

Рис. 1.1. Вычисление площади плоской фигуры с криволинейной границей
методом Монте-Карло [2].

Фигура заключена в квадрат, по которому случайным образом «разбрасывается» большое количество точек. Если число точек достаточно велико, то отношение площади S к площади квадрата L² будет с заданной точностью равняться отношению количества точек , попавших внутрь фигуры, к полному количеству точек N:

.

Точность оценки площади возрастает вместе с количеством точек N. Погрешность вычислений обычно пропорциональна .

Площадь фигуры можно интерпретировать как её объём в двухмерном пространстве. Очевидно, что метод, показанный на рис. 1.1, может быть применён и для вычисления объёма трёхмерной фигуры, заключённой внутрь куба. Аналогично можно рассчитывать объёмы многомерных фигур в пространствах бόльшей размерности. Этот подход может быть без модификации применён и для многомерного численного интегрирования, поскольку определённые интегралы могут быть представлены как объёмы многомерных тел.