Об исходном раздвоении нового мира

Мир Галилея "предельным переходом" сменяет мир Аристотеля. Но и сам этот вновь изобретенный (открытый?) мир не прост, не однозначен, это — кентавр двух миров, двух логик (= двух форм понимания всеобщего).

В итоге "выталкивания сил самодействия" за пределами теории предполагается, обнаруживается особый мир, существующий вне логики эксперимента, вне "предметов возможного опыта" — мир "Natura naturans", "вещей в себе", абсолютных "причин-сил".

Внутри механической теории Галилеевых "Бесед..." этот потусторонний, вне-положный познанию мир анализируется и превращается дважды: в форме "мира идеальных снарядов" и в форме "мира конических сечений". Эти два вторичных, аналитически представленных мира находятся в антиномическом сопряжении и парадоксальном превращении. Один мир существует, лишь исчезая, только превращаясь в иной...

Мир "идеальных снарядов" — это сфера, где — пусть идеально, в пустоте, материальной точкой — совершается "выстрел — полет — удар", с учетом всех позднейших, послегалилеевских усложнений этого мира в идеализациях классической механики.

Этот мир, в свою очередь, воспроизводится в "мире конических сечений", специально исследуемых Галилеем. В этом мире уже нет движения (физического, а в пределе — и механического), а есть только Конус, рассекаемый в разных направлениях, разных плоскостях сечения и дающий разные кривые. В мире конических сечений существуют только застывшие интегральные образы, проекции, отображения завершенных физических движений. Перед нами — мир "фигур, некогда, в ином мире, бывших движениями". Параболы, полупараболы, гиперболы и т.д. соотносятся с выводным движением функциональных отношений (когда-то, в мире "идеальных снарядов", это были причинные связи). Одновременный (единый!) генезис "фигурного синтеза" и "таблицы рассудочных категорий" достигает здесь особой развернутости и конкретности.

Вот как этот одновременный генезис "форм" и "причин" осуществляется в третьем и четвертом днях Галилеевых "Бесед...".

В основу математических размышлений о полете снарядов Автор зачитываемой Сальвиати рукописи, то есть Галилей, положил труды Аполлония "о параболах и других конических сечениях" (II 305).

Полет, совершаемый по параболе, может быть понят — без всяких динамических представлений — одним лишь представлением конуса и его возможных сечений. Тогда возможно "сократить путь и вывести первое свойство (полета. — В.Б.) из самого способа образования параболы, а на основании этого первого свойства тотчас же доказать второе" (II 306).

И затем все доказательства ведутся при помощи аналогий "из области конических сечений" (7/308).

Вот один достаточно типичный фрагмент Галилея:

"Из тел, описывающих полупараболы с равными амплитудами, то, которое движется по полупараболе с амплитудою, равной удвоенной высоте, требует меньшего импульса, нежели всякое иное. Пусть дана полупарабола bd (рис. I⁹⁶), амплитуда которой со равна двойной высоте cb; на продолженной вверх оси ее отложим отрезок Ьа, равный высоте be, и проведем линию ad, которая будет касаться полупараболы в точке d и пересекать горизонталь be в точке е; таким образом, be будет равняться be или же Ьа. Известно, что парабола описывается телом, равномерный горизонтальный импульс которого равен приобретаемому в b при падении из точки покоя а, а импульс естественного падения равен приобретаемому в с при падении из точки покоя b. Отсюда следует, что составленный из них импульс в точке d выражается диагональю ае, в потенции равной обоим слагаемым" (// 328). (Я пропускаю детали и даже сам механизм доказательства.)

"Из сказанного следует, что, обратно, подъем тела по полупараболе db из конечной точки ее d требует меньшего импульса, чем подъем по полупараболе, имеющей болышую или меньшую высоту по сравнению с полупараболой bd, касательная к которой ad образует с горизонтом угол, равный половине прямого. Далее ясно, что если мы будем бросать тела с одним и тем же импульсом из конечной точки d под разными углами, то наибольшую дальность полета и амплитуду полупараболы или целой параболы мы получим при наклоне, равном половине прямого угла; при больших или меньших углах наклона таковые будут меньше.

Сагредо. Удивительна и вместе с тем восхитительна сила убедительности доказательств, которая присуща одной лишь математике... понимание причины, по которой это (наибольшая дальнобойность выстрела при угле, равном половине прямого. — В.Б.) происходит, дает неизмеримо больше, чем простое сведение, взятое из показаний других лиц или даже из многократно повторенного опыта.

Сальвиати. Ваше замечание, синьор, совершенно справедливо. Познание причины одного только явления дает. возможность нашему уму постичь и установить другие явления без необходимости прибегать к помощи опыта, и точно так получилось в настоящем случае. Получив путем доказательного рассуждения, что наиболее далекий полет тела получается при наклоне, равном половине прямого угла, Автор устанавливает, далее, то, что, пожалуй, не было наблюдено опытным путем, а именно что выстрелы, произведенные под углами возвышения, большими или меньшими половины прямого на одну и ту же величину, дают одинаковые результаты, так что ядра, выпускаемые из орудия при подъеме его в одном случае на пять, а в другом на семь делений угломера, пролетают по горизонтали одно и то же расстояние..." (//330 — 331. Курсив мой. — В.Б.).

Вдумаемся в схематизм этого "причинного объяснения".

В "эмпирическом смысле" причиной такой-то формы полета выступает определенное соотношение (взаимодействие) импульсов (силовой аспект) — "горизонтального импульса" и "импульса естественного падения". В итоге полет проходит по параболе с той или другой кривизной. Далее начинается обращение метода. На чертеже парабола той или иной формы (феномен "фигурного синтеза", если использовать терминологию Канта) может быть разложена на геометрические "составляющие" — высоту и амплитуду. Определенная форма параболы дает (задает) некие соотношения, в которых всякие динамические характеристики уже сняты. А затем включается "динамика" метода. Причиной формирования (логической "причиной" — основой определения) того или другого вида параболы выступает теперь функциональная связь, потенция ряда, алгебраическое соотношение чисто количественных определений, существенных для вычерчивания параболы (в течение определенного времени) и — только в этом смысле — динамических." Парабола здесь существует как цель, как задача, как то, что необходимо построить, а формула ее (аналитическая) выступает схемой ее построения. Здесь уже нет ни полета, ни импульса. Здесь только прошлое, которое надо понять, воспроизвести (на чертеже) и — в этом смысле — построить.

Причинность теперь обретает а) всеобщий логический характер, б) этой всеобщей "причиной" (того, что наиболее дальнобойный полет обеспечивается таким-то подъемом орудия) оказывается функциональное отношение. Заметим, если обычно подчеркивается, что причинная связь снимается в функциональном отношении, то здесь выявляется другая особенность логики теоретизирования Нового времени: сама функциональная связь (алгебраическое отношение переменных) выступает причиной, определяющей ту или другую форму параболы (вообще "фигуры" как образа движения). Так отсекается исходный, "метафизический" силовой аспект.

Функциональное отношение, в котором исходная причина, т.е. сила, снята, во-первых, во взаимодействии, во-вторых, в алгебраизации самого взаимодействия, есть "причина" (здесь причина совпадает с логическим понятием основания) движения, в нашем случае — полета снаряда.

Существенно, что в экспериментах Галилея одновременно формируются, говоря в терминах Канта, и "формы созерцания", и "формы суждения". Больше того, здесь раскрывается, что именно в такой одновременности и взаимообосновании — во взаимообосновании новых идей пространства (и времени) и новых понятий причинности, необходимости, то есть на основе нового образа движения, — возможно понять реальный генезис Разума Нового времени. И только затем — уже в механике Ньютона — этот единый парадоксальный образ распадается на антиномически противопоставленные понятия причинности и пространства-времени.

Таким образом, "мир конических сечений" позволяет — не обращаясь к опыту — заранее, "в уме", "на конусе" построить любую траекторию (кривую) и рассчитать ее формулу. Опыт уже не нужен. Все определения затаены в самом бытии конуса, имеют строго априорный смысл, если отсечь (а это вполне возможно благодаря полной изоморфности "двух миров") всякое напоминание о происхождении мира конических сечений из мира идеальных снарядов. Правда, вне такого напоминания мир конических сечений теряет свой общий методологический замысел, но это уже — в логическом плане — не суть важно. Замечу, что "конические сечения" тут только удобный парафраз, исходный, еще носящий следы своего происхождения образ для всего мира аналитической механики, созданной после Галилея и на основе его "конического мира".

В своем полном развитии — это произошло уже после Галилея — "мир конических сечений" превращается уже в некий "математический континуум", находящийся в антиномическом сочетании и парадоксальном обращении с "континуумом физическим". Если отвлечься от генетических связей "математического континуума" с "миром идеальных снарядов", то возможно (и логически необходимо) рассмотреть формирование этих континуумов только через их взаимопревращение.

Силовые и далее (после Галилея) энергетические определения физического континуума воспроизводятся в математическом континууме как определения квазигеометрические и алгебраически выводные (предполагающие друг друга). "Материальные точки" физического мира имеют свой аналог и свое отрицание в "математических точках" континуума математического. Но это особый аналог и особое отрицание.

В процессе исследования движения (а это и есть сверхзадача бытия обоих миров) одно определение движущегося тела (как "материальной точки", как "средоточия сил, действующих на нечто иное") жестко отделено от определения этого же тела как точки математической (точки, проходимой телом). Один логический субъект определяется как два квазисамостоятельных и независимых логических субъекта (как движущийся предмет и как место пространства, которое этот предмет проходит).

В итоге здесь выявляются не просто самостоятельные теоретические определения двух континуумов, но две особые логики, два различных понимания всеобщего. Это именно две особые логики, поскольку они основываются на различных пониманиях того, что есть бытие, что означает "быть". Одна логика исходит из определения: "быть" означает "быть в самом себе", быть тождественным себе... Другая — из определения: "быть" означает "быть в ином", в действии на иное. В этих разных определениях бытия скрываются, далее, различные определения логической неделимости, элементарности, то есть различные определения "понятия" в отличие от "суждения". В конечном счете из этих неделимых "логических атомов" строятся (в двух противоположных логиках) все вторичные логические реалии.

Но как раз благодаря расщеплению двух логик между пространственно-временными и энергетически-импульсными характеристиками не могли (вплоть до 20-х годов XX в.) возникнуть отношения "дополнительности". Между ними существовали кантовские антиномические отношения, которые регулировались (вспомните первую часть этой книги) жестким нормативом: если не относить эти определения к одному логическому субъекту, если не брать их в одном логическом смысле, то они не будут аннигилировать между собой, не будут противоречить друг другу, во всяком случае, не будут аннигилировать в их позитивном и регулятивном применении, то есть в их применении к отдельным, особенным "предметам возможного опыта". Такая аннигиляция могла бы произойти, если применить (соединить) две эти логики по отношению к "миру в целом". Но тут уж необходимо удерживаться, знать край и не падать в пропасть "космологических идей...".

* * *

Рассмотрим проблему детальнее, уже не в галилеевском контексте, но в контексте классической науки XVII — XIX вв.

Построение механической модели любого процесса (в классической теории "понять предмет — значит построить его механическую модель") требует, чтобы исследуемый процесс (будь это повышение температуры или течение времени...) был интерпретирован как механическое движение (перемещение) "материальной точки" в некоем искусственном пространстве (функций, состояний и т.д.).

Здесь сразу же возникают трудности, вскрытые еще в апориях Зенона⁹⁷. За, казалось бы, безобидным чисто условным понятием материальной точки ("материальной точкой" "можно считать" любое тело исчезающе малых размеров или центр тяжести какой-то сложной системы) скрываются — в логическом плане — два определения, неявно отождествляемые друг с другом: "материальная точка" понимается -- одновременно — как "точка" математического континуума и как "точка" континуума физического, а сама теоретическая механика есть антиномическое сопряжение этих двух радикально противоречивых теоретических представлений. Вкратце дело в следующем.

Процесс движения должен быть понят в теоретической механике — одновременно и в том же отношении — как континуум точек определенной идеальной, положенной линии, кривой такого-то порядка — эллипса, гиперболы, параболы, синусоиды — и как "точка-континуум", как конечный точечный эффект этого движения (...такая-то температура, такая-то "сила тока", такая-то сила падения снаряда...), как "сила" движения, его "энергия", его "импульс", его способность вызвать движение другого предмета или превратиться в движение иного типа.

Почему же два эти утверждения исключают (и "дополняют") друг друга?

Рассмотрим этот решающий вопрос. Чтобы определить положение какой-то точки движущегося тела, эту точку необходимо отождествить с точкой того пространства (системы координат), которое им (телом) проходится. В этом отождествлении точка "пространства" есть точка "математического континуума", и определяется она именно как редукция физических определений.

В замечательной работе "Здравый смысл точных наук" (первое издание вышло в 1885г.) Вильям Клиффорд пишет: "Точка — не линия очень малой длины, как линия — не очень узкая полоска поверхности. Точка служит местом разделения двух частей линии, которые лежат рядом друг с другом, так что точка не занимает на линии никакого протяжения". (Если согнуть "линию", то точка — вершина этого сгиба — не будет относиться ни к одному, ни к другому отрезку.) "Точка представляет собой границу между двумя смежными частями линии, являющейся границей между двумя смежными участками поверхности, которая, в свою очередь, служит границей между двумя смежными долями пространства"⁹⁸. "Линия не очень тонкая полоска поверхности, все равно как поверхность не будет очень тонким слоем тела"⁹⁹.

Основные "пространственные объекты": поверхность — линия — точка — определяются за счет последовательного уничтожения соответствующих определенностей физического пространства. Линия есть "ничто" поверхности, точка — "ничто" линии, поверхность, в свою очередь, "ничто" объема... Так возникает "иной мир", не занимающий никакого места в мире физическом, — возникает "математический континуум", который нельзя обнаружить никаким разделением континуума физического.

В этом мире все по-своему. В этом мире линия, не занимающая никакого места на поверхности, которую она делит надвое, занимает, по Клиффорду, "известное протяжение на себе самой, и это протяжение может быть разделяемо на части и может быть заполнено этими частями"¹. Так же и точка, не занимая никакого места ни на одной линии, которую она делит (уничтожает), являясь в этом смысле непротяженной, протяженна "в себе". Пространство вновь восстановлено, но только как "ничто" физического пространства и в этом смысле его определение.

Два клиффордовских этапа "определения" математического пространства — это два этапа создания особого, квазисамостоятельного "логического субъекта" — математического континуума, живущего смертью континуума физического. Но генетически этот "особый логический субъект" возникает именно как превращение единого "физического" логического субъекта, как его иное определение, получающее значение самостоятельного субъекта. Ведь, если некому было бы умирать, некому было бы рождаться. Но существенно и другое.

Клиффордовское (это только образец генезиса математических понятий) теоретическое "обнаружение" математического континуума воспроизводит реальное формирование "математических определений" в таком решающем для Нового времени определении физического движения, как "точка воздействия" одного тела на другое (причина изменения движения). В этой "точке" уже нет физической протяженности тела, эта точка не относится ни к одному, ни к другому из взаимодействующих предметов. И именно потому определение физическое переходит в определение математическое; "континуум физический" умирает в "континууме математическом"; единый логический субъект ("точка действия на...") расщепляется на два квазисамостоятельных субъекта, возникает поле собственно механистических идеализации (соотносящих в непротиворечивом совмещении двух теорий два квазисамсстоятельных "логических субъекта"),

Вернемся к классическому определению (в логическом смысле этого слова) "положения" точки движущегося тела, то есть в смысле ответа на вопрос: что есть положение? Для такого определения нам необходимо, почти по Клиффорду, в два этапа уничтожить физический континуум и в точке "действия на..." воссоздать "континуум математический". Одну точку мы определяем дважды в сложном (механическом) сопряжении уничтожаемого и конструируемого теоретических представлений.

Совмещая тело с пространством, в котором тело движется, мы сжимаем тело в "ничто", уничтожаем его... и тем самым делаем возможным его движение (преодолеваются трудности Зенона). Да, но ведь тела-то уже нет. Двигаться некому.

Далее мы (второй этап клиффордовских абстракций) помещаем это "ничто" (ничто тела) на поверхности, обладающей — сразу! — всеми своими точками и линиями (как своими атрибутами), но только "в себе" извечно; размещаем "его" (это "ничто" физического мира) на сетке координат, в ином мире "математического континуума". "Телу" возвращается существование, но движение его теперь невозможно, это — точка на линии "в себе", это атрибут чисто математической линии, не имеющей никакого отношения к движущемуся предмету.

Правда, переходной абстракцией от физики к математике здесь было "воздействие на..." (!). В точке этого воздействия и возникает клиффордовское "ничто".

От этого "акта воздействия" возможно и необходимо идти и в другую сторону — в сторону создания физического континуума за счет уничтожения континуума математического.

Если нам необходимо определить возможность движения тела (а не его положение), то происходит именно это — обратное — логическое "движение".

Определить точку движущегося тела как элемент физического континуума означает заложить в основу определения сам момент действия на другое, необходимость одновременного пребывания в "двух" местах (сила, энергия, импульс, энергия взаимодействия...). Понятие "положение" сразу же логически размазывается, и отождествить точку тела с точкой пространства уже невозможно.

Но движение в глубь логики "физического континуума" возможно продолжить и дальше. Физическая континуальность предполагает непрерывность деления тел с целью найти наконец неделимое тело ("атом"), из которого строится реальный протяженный, наполненный физический мир (тот мир, тот предмет, который движется). Это — поиски физического бытия.

Ведь если такой исходной "праматерии" не найти, то из ничего "что-то" не возникает. Но это движение вглубь абсолютно бесконечно и кончается абсолютным небытием. Каждый новый кандидат на роль "атома" (неделимого) вновь должен разлагаться, делиться просто потому, что — уже логически — в определение его бытия входит "протяженность", то есть способность быть разделенным; и еще потому, что для мышления Нового времени понять предмет (его бытие) означает объяснить телесность какими-то системами внутренних движений, означает свести предмет на движение. В поисках бытия обнаруживается ничто, которое движется... Тогда начинается обратное движение — изнутри этого ничто, изнутри тела вовне, "по линии" действия этого несуществующего тела. И сразу же (вздох облегчения!) бытие физического континуума находится, оно реализуется как сила, на что-то действующая и что-то изменяющая, обладающая "мета-физической" (но внетеоретической) реальностью. И в каждой "точке" этого действия физический континуум неделим, непрерывен и абсолютен. Да, но эта "точка" действия — "точка Клиффорда", точка, в которой физический континуум наконец-то реализуется в... ином логическом мире, в континууме математическом. Реализуется в точке своего исчезновения, уничтожения, проецирования в иную логику — в логику "линий и точек на самих себе"... Логикой (всеобщим определением) мира физического оказывается логика... мира математического, а смысл этой "новой" логики и состоит в сведении на нет логики "физического бытия"!

Конечно, в феноменологическом плане все эти трудности — не трудности, поскольку в классической механике логическое определение того, "что есть положение" и "что есть движение", не требует одновременного приборного, практического определения (остановки движения и пр.). Понятие бытия лишь чисто логически (в себе) противоречит понятию движения, и противоречие это может, казалось бы, беспокоить только Зенона или Канта, но не теоретика-естественника.

Квантовой механике так уже и не кажется. Она не может пройти мимо логической противоречивости этих понятий, она должна придать логическим противоречиям феноменологический характер.

Но не так-то легко обстоит дело и с классической механикой (как логикой естественнонаучной теории). Механика (как логика) все время наталкивается на противоречие "математического и физического континуумов" и справляется с этим противоречием каждый раз за счет труднейших, собственно "механических" идеализации. Если сказать вкратце, смысл этих идеализации как раз в постоянном обращении двух клиффордовских этапов определения пространства (см. выше) в зависимости от тех или иных конкретных (теоретически конкретных) физических ситуаций.

Сейчас приведу свидетельства физиков, понимающих радикальную (логическую) противоречивость "физического и математического континуумов" в контексте классической теоретической механики.

М. Борн: "Я утверждаю, что математическое понятие точки континуума не имеет непосредственного физического смысла. Так, например, не имеет смысла говорить, что координата х... имеет величину д"У2 дюймов или х °"Л"¹⁰⁰.

"Когда... в критический период математики понятие числа было проанализировано (Коши, Гаусс, Вейерштрасс и др.), успех произвел такое впечатление, что заставил поверить в возможность объяснения сущности физического континуума конструкцией математического континуума как совокупности действительных чисел (представленных приближенно бесконечными десятичными дробями). Но это, естественно, не так"¹⁰¹.

Коренное (логическое) отличие физического и математического континуумови их одновременную необходимость для определения точки (движущегося тела) в классической механике неоднократно подчеркивали Эйнштейн¹⁰² и Бор¹⁰³.

Больше того. Сказанное выше означает также, что в классической теории, в классических рассуждениях неявно отождествляются две противоположные и исключающие друг друга логики: "логика атрибутивная" и "логика причинная".

В одном случае конечным определением понятия оказывается структура: "логический субъект — предикат". Если эта связь познана, дальше идти некуда, познан логический субъект. В другом случае логическим пределом, определением понятия оказывается связь "причина — действие" (или — глубже — "взаимодействие"). В логическом переводе это означает, что структура понятия (как элемента логического движения) определяется и исчерпывается здесь связью "основание — следствие" (или "основание" в отношении к другому "основанию").

Сама формальная логика неявно выступает антиномическим сочетанием ("дополнительность"!) этих двух логических пределов — это есть логика дедуктивного вывода, антиномически отождествленного с... тавтологической дефиницией.

Кстати, столь же двойственна и сама "математика" как особая форма теоретизирования, она реализует определения не только математического континуума, но также континуума физического. Само раздвоение математики на "ветвь" геометрическую и "ветвь" аналитическую, алгебраическую, несет в себе в основе ту же логическую антиномию, а решающие победы математики связаны с взаимообогащением этих антиномических определений.

Однако логика причинная должна все же как-то присутствовать в "логике атрибутивной", логике существования. Ведь ради того, чтобы рассчитать и сосредоточить силу, весь сыр-бор разгорелся, но теперь внутри математики логика причинная должна "не жать в плечах",

не беспокоить...

Логико-онтологическая причинность превращается здесь в причинность формально-логическую, в связь формальной последовательности, импликации. И совершается это просто. В недрах математики совершать движение означает рассчитывать его и геометрически изображать (строить траекторию). Движение материальной точки здесь замещается движением измерения и движением проведения (построения) линии при помощи циркуля, лекала... Теоретик должен задним числом осуществить уже осуществленное движение. Или иначе он должен представить совершающееся движение как совершившееся.

Но это движение "задним числом" снова антиномично. Это — расчет, построение. Построение дает траекторию как геометрический образ-континуум, как форму. Расчет (шире — вывод) дает движение как формулу, здесь никакой линии нет, она заменена функциональной связью. Движение, понятое как форма, есть континуум "одновременных точек", и логическая связь этих точек есть связь причастности, но не причинности. Линия не может быть причиной своих точек, причиной своих атрибутов. Движение, понятое как формула, воспроизводится чисто аналитически, связь алгебраических знаков (то есть функциональная связь) — это формально-логический эквивалент "причинной логики".

Далее. Движение, понятое как форма, "витает в воздухе", носит "вне-положный" исследователю, образный характер. Вне-положный — для геометрической "интуиции". Движение, понятое (представленное в теории) как формула, есть имманентное исследователю движение мысли (вывода, доказательства). Антиномия возрождается. Но так и должно быть — ведь в действиях математика должен быть воспроизведен в его идеализованных определениях классический объект.

Только сейчас, продумав то аннигилирующее сопряжение двух континуумов и двух атомистик (физической и математической) и двух логик бытия, которое впервые возникло в "сквозном эксперименте" Галилея, возможно вернуться к галилеевским "монстрам", понять их действительный логический смысл. Понять их смысл как исходных начал, исходных "спор разума" Нового времени. Понять их смысл как неделимых логических атомов мысли.

Дело в том, что те два континуума, о которых я сейчас детально говорил, все же не порождаются прямо в сквозном эксперименте "Диалога..." (в "предельном переходе"). Нет, это только внутри "Бесед..." заново рожденный мир Коперника рождается (и расщепляется) вторично — в особом, собственно логическом, элементарном действии, в тех самых маргинальных курьезах и головоломках, первоначальное определение которых было введено выше.