Не содержащее аргумент х в явном виде

Уравнения этого вида до­пускают понижение порядка, если положить , а за новый аргумент принять . Тогда ; .

В результате получим уравнение первого порядка относительно неизвест­ной функции Р и аргумента .

Дальнейшее решение сводится к интегрированию уравнения типа .

Пример. Найти частное решение уравнения , если у(0)=1, y'(0)=2.

Полагая . Имеем: , .

Приравнивая первый множитель нулю, получим простейшее уравнение р=0.

Его решение у = С. .

Приравниваем к нулю второй множитель: , (уравнение с разделяющимися переменными). Разделим переменные .

Интегрируем: ,

,

Вернемся к старой переменной, т.е. вместо Р подставим

; (1)

Интегрируем .

Отсюда (2)

(общее решение исходного уравнения).

Найдем частное решение, используя начальные условия: у(0)=1, y'(0)=2.

Подставим х=0, у=1, y'=2 уравнения (1) и (2), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными С₁ и С₂:

Очевидно, что С₁=2, а С₂=0.

При найденных значениях С₁ и С₂ получим искомое частное решение из общего: