Тема. Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса.

План

1. Вращение твердого тела.

2. Угловая скорость. Связь линейной скорости м угловой.

3. Период и частота вращения.

4. Угловое ускорение.

5. Связь тангенциального и нормального ускорения с угловой скоростью и угловым ускорением.

6. Кинематические уравнения вращательного движения.

7. Основные динамические величины: момент силы, момент инерции, момент импульса.

8. Законы динамики вращательного движения твердого тела.

9. Кинетическая энергия тела, которое вращается.

1 Вращением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают круги, центры которых лежат на этой оси.

Пусть некоторая точка А движется по кругу радиуса R. Все точки радиуса поворачиваются в течение времени Δt на одинаковый угол Δφ. Мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота тела. Модуль вектора равен углу поворота тела и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта: с конца вектора поворот тела происходит против хода часовой стрелки.

2 Кинематической характеристикой направления и скорости вращения тела служит угловая скорость.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения так, что с его конца вращение видно против движения стрелки часов.

Линейная скорость точки А

3. Если за время t тело осуществляет N оборотов, то время, в течение которого вращающееся тело осуществляет один полный оборот , называется периодом вращения. С другой стороны, тело, которое равномерно вращается с угловой скоростью ω, за время Т поворачивается на угол φ=2π. Поэтому .

Количество оборотов за единицу времени называется частотой вращения: .

При равномерном вращении .

4. Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в таком случае он изменяется по величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в таком случае он изменяется по направлению). Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением.

Средним угловым ускорением называется физическая величина равная отношению изменения угловой скорости к промежутку времени , за которое это изменение произошло:

Мгновенным угловым ускорением называется граница среднего углового ускорения: .

Итак, угловое ускорение равно первой производной по времени от угловой скорости. Угловое ускорение, как и угловая скорость, является псевдовектором.

5. Определим тангенциальное и нормальное ускорение точки А вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

1При равнопеременном вращении (ε = const) из выражения получаем:

ω = ω_{0 +} εt

где ω₀ – начальная угловая скорость.

7. Для характеристики внешнего механического действия на тело, которое приводит к изменению вращательного движения тела, вводится понятие момента силы.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , который проведен из точки О в точку приложения силы, на силу : .

Вектор направлен перпендикулярно к плоскости

векторов и

Модуль момента силы

где – угол между и , = – плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы .

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора материальной точки, который проведен из точки О, на импульс этой материальной точки : .

Моментом импульса тела относительно неподвижной оси называется скалярная величина , которая равна проекции на эту ось вектора момента импульса тела относительно произвольной точки О на оси ОZ.

Сумма произведений масс всех материальных точек тела на квадраты их расстояний до оси ОZ называется моментом инерции тела относительно этой оси: . Итак, L_z=j_zω_z/

Момент импульса тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения вокруг этой оси.

L = J*ω

Основной закон динамики вращательного движения:Скорость изменения момента импульса тела, которое вращается вокруг неподвижной точки, равна главному моменту относительно этой точки всех внешних сил, которые приложены к телу.

,

где – момент импульса тела относительно точки О, а – главный момент внешних сил относительно точки О.

Из уравнения динамики тела, которое вращается вокруг неподвижной оси OZ, вытекает закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси: