Анализ вопроса

Вопрос: Роберт рисует последовательность «лесенок», сложенных из квадратов. Показаны этапы построения. Видно, что на этапе 1 он использовал один квадрат, на этапе 2 – три квадрата и на этапе 3 – шесть квадратов. Сколько квадратов он использует на четвертом этапе?

Роберт рисует лесенки, используя квадраты. Можно предположить, что Роберту 5, 6 или 7 лет. Мы видим, что на втором и третьем этапе фигура, построенная Робертом, напоминает прямоугольный треугольник.

На четвертом этапе Роберт может сохранить форму фигуры в виде "прямоугольного треугольника", то есть добавит к имеющейся фигуре четыре квадратасправа, и получит "лесенку", содержащую четыре ступеньки:

Роберт может добавить три квадрата к имеющейся фигуре не справа, а слева, и при этом получит две лесенки с общим числом ступенек, равным 6 (три слева и три справа, при этом верхний квадрат участвует в образовании двух ступенек: справа и слева). В этом случае получится "ступенчатая пирамида", состоящая из девяти квадратов:

Таким образом, задание, сформулированное на русском языке, имеет два неполных правильных ответа - № 1: "девять квадратов" и № 2: "десять квадратов" и один полный правильный ответ № 3: "девять квадратов" и "десять квадратов".

Чтобы "десять квадратов" был правильным ответом, необходимо было сформулировать вопрос так:

"Сколько квадратов Роберт использует на четвертом этапе, если он не изменит форму ранее нарисованной фигуры?"

3.2. «Математическая грамотность» и задание «Последовательность лесенок»

Под математической грамотностью деятели программы PISA понимают способность учащихся: 1) распознавать проблемы, возникающие в окружающей действительности, которые могут быть решены средствами математики; 2) формулировать эти проблемы на языке математики; 3) решать эти проблемы, используя математические факты и методы; 4) анализировать использованные методы решения; 5) интерпретировать полученные результаты с учетом поставленной проблемы [1].

Естественно предположить, что задания программы PISA – это примеры реальных проблем и примеры их решения с помощью математических методов. Однако в задании «Последовательность «лесенок»» нет проблемы. Роберту, наверное, лет 5 – 7, он складывает из квадратиков лесенку. Это полезно в его возрасте. Занимательные задания, такие как складывание из палочек, квадратов и кубиков различных геометрических фигур – это первый этап приобщения детей к геометрии.

Задание «Последовательность «лесенок»» – это занимательное задание («головоломка») для детей 5 – 7 лет. Но это задание предлагают пятнадцатилетним учащимся. Здесь возникают вопросы. Где тут проблема, при решении которой можно проявить математическую грамотность? Где тут проблема, которую: 1) нужно распознать; 2) сформулировать ее на языке математике; 3) решить, используя математические факты и методы; 4) проанализировать использованный метод решения; 5) объяснить полученные результаты.

В Интернете можно найти много занимательных заданий по конструированию и преобразованию геометрических фигур, состоящих из квадратов.

Задание для детей 5 – 6 лет [3]:

В фигуре,состоящей из 6 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 5 равных квадратов. Есть два правильных ответа, отличающихся формой образующейся при удалении палочек фигур (задание отредактировано А.В. Краснянским).

Задание для первоклассников [4]:

В фигуре из шести квадратов убрать четыре палочки так, чтобы осталось три квадрата (задача отредактирована А.В. Краснянским).