Задачи для самостоятельного решения. 1. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. – М. : Банки и биржи, 2000. – 439 с.

2. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – М. : Высшая школа, 2002. – 304с.: ил.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие под ред В.И. Ермакова. – М. : Инфра,2006. – 516 с.

4. Малугин В.А Линейная алгебра: учеб пособие / В.А. Малугин. – М. : Рид Групп, 2011. – 464с. – (Национальное экономическое образование)

Дополнительная

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1»:Учеб пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – 6-е изд. – М. : ООО «Издательство Оникс», ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 304с.: ил.

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2»:Учеб пособие для вузов / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко. – 6-е изд. – М. : ООО «Издательство Оникс», ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 416с.: ил.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Тема: Матрицы и операции над ними

Матрицей размера (размерности) m´n называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов.

Матрицы принято обозначать буквами: А, В, С,... (латинскими прописными), а элементы: а_ij, b_ij, c_ij,… (строчными с двойными индексами), где i – номер строки, j – номер столбца.

Например, матрица А размером m´n имеет вид

или, в сокращённой записи, А=(а_ij); i=1, 2, ..., m; j=1,2, ..., n.

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т. е. для любых i=1, 2, ..., m; j=1,2…, n.

Далее будем рассматривать матрицы, элементами которых являются действительные числа.

Виды матриц

Например,

· – матрица-строка,

· – матрица-столбец,

· – квадратная матрица 2-го порядка,

· – диагональная матрица 3-го порядка,

· – единичная матрица 3-го порядка,

· – нулевая или нуль-матрица

Матрица A^T или A' называется транспонированной (обозначается сокращённо , если элементы связаны с элементами a_ij матрицы A соотношением .

Квадратную матрицу размера n´n называют матрицей n-го порядка.

Операции над матрицами

1. Транспонирование.

Например, , тогда .

2. Умножение на скаляр (число).

Например, , тогда .

3. Сложение и вычитание.

Например, , , тогда

,

.

4. Умножение матриц.

Например, , , тогда их произведением будет матрица размером 2´2 (обозначим её С), элементы которой вычисляются следующим образом:

с₁₁=1×0 + 2×2 + 1×1 = 5, с₁₂=1×(–1) + 2×1 + 1×(–1) = 0,

с₂₁ =3×0+ 1×2 + (–2)×1 = 0, с₂₂=3×(–1) + 1×1 + (–2)×(–1) = 0.

Если исходные матрицы расположить следующим образом

,

то получится наглядная иллюстрация для выбора строки матрицы А и столбца матрицы В в расчёте элемента матрицы С=A∙B: элемент стоит на пересечении соответствующей строки матрицы А и соответствующего столбца матрицы В.

5. Возведение в степень.

Например, , тогда .

Две квадратные матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если AB=BA.

Тема: Определители и их свойства

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется величина, характеризующая квадратную матрицу, вычисляемая по определённому правилу.

Для обозначения определителя матрицы А размером n´n.

используется символ или det A или |A| или ∆.

Правила вычисления определителей:

· определитель квадратной матрицы первого порядка равен её элементу, т. е. ;

· определитель квадратной матрицы второго порядкаможно вычислить по формуле:

;

· определитель квадратной матрицы третьего порядкаможно вычислить по формуле:

Это правило называют правилом треугольников (см. [1, с. 17]);

Введём обозначение элементов определителя так: различными буквами обозначим различные строки, а различными индексами – различные номера столбцов. Тогда каждое слагаемое есть произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца

.

· определитель третьего порядкаможно вычислить также, например, разложением по первой строке:

.

· определитель диагональной матрицы любого порядка равен произведению элементов главной диагонали.

Например, .

· определитель квадратной матрицы любого порядка, приведённой к треугольному виду, равен произведению элементов главной диагонали.

Например,

Матрица A^–1 называется обратной матрицей для квадратной матрицы A, если A×A^–1= A×A^–1=E. Обратная матрица для матрицы A обозначается A^–1.

Если |A|¹0, то матрица A имеет обратную A^–1.

Если |A|=0, то матрица A обратной не имеет.

Минором квадратной матрицы n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, который получается из определителя исходной матрицы путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы называется число:

A_ij = (–1)^i+j× M_ij.

Алгоритм вычисления обратной матрицы*

1. Найти определитель исходной матрицы А и сделать вывод о существовании обратной.

2. Транспонировать матрицу А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составить из них присоединённую матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле

.

5. Сделать проверку A×A^–1=A^–1×A=E (можно устно).

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы и обозначается r(A) или rang(A).

Ранг квадратной матрицы А n-го порядка равен n (rang(A)=n), если det A¹0.

Для облегчения задачи определения ранга матрицы используются элементарные преобразования матрицы, не изменяющие её ранга, например:

· перестановка строк (столбцов);

· умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

· сложение строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной на число.

Ранг матрицы равен числу линейно независимых строк этой матрицы. Число линейно независимых строк матрицы можно определить, подсчитав число оставшихся ненулевых строк в матрице, приведённой к ступенчатому виду. Например,

.

Матричным называется уравнение, содержащее в качестве неизвестного матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид:

1. AXB=C;

2. AX=B;

3. XA=B;

где A, B, C – известные матрицы, а X – неизвестная матрица соответствующих размеров.

Решением матричного уравнения является такая числовая матрица X, при подстановке которой в это уравнение получается верное матричное равенство.

Решения вышеприведенных уравнений находятся соответственно по формулам:

1. X=A^–1CB^–1, (при условии, что |A|¹0, |B|¹0)

2. X=A^–1B, (при условии, что |A|¹0).

3. X=BA^–1, (при условии, что |A|¹0).

Тема: Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Система из n линейных уравнений с n неизвестными

может быть записана в матричном виде AХ=В, где

– матрица-столбец неизвестных;

– матрица-столбец свободных членов;

– матрица коэффициентов системы, её определитель называется главным определителем системы;

– расширенная матрица системы.

Система из n уравнений с n неизвестными (в этом случае матрица А – квадратная) имеет единственное решение в том и только в том случае, если главный определитель системы D=det A¹0.

Решение системы можно записать в виде , где , .

Методы решения

1) , i = 1,2,…, n (формулы Крамера),

где D_i – определитель матрицы, отличающейся от матрицы A тем, что в ней столбец с номером i заменён на столбец В;

2) X=A^–1×B, где A^–1 – матрица, обратная к A;

3) метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных заключается в том, чтобы с помощью применения элементарных преобразований привести расширенную матрицу

(получается добавлением к матрице системы столбца свободных членов) к ступенчатому виду, например,

,

после чего осуществить обратный ход метода Гаусса (по матрице, приведённой к ступенчатому виду составить систему уравнений и решить её, начиная с уравнения, содержащего одно неизвестное).

Элементарные преобразования матрицы*:

1. Перестановка строк.

2. Умножение строки на число, отличное от нуля.

3. Сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Тема: Векторы

Вектор a, заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

a=a_xi+a_yj+a_zk (разложение по осям координат, i, j, k – орты осей)

Координаты вектора a=(a_x; a_y; a_z).

Модуль вектора .

Если даны векторы a=(a_x; a_y; a_z) и b=(b_x; b_y; b_z), то

· сумма векторов a+b=(a_x+b_x; a_y+b_y; a_z+b_z);

· разность векторов a–b=(a_x–b_x; a_y–b_y; a_z–b_z);

· произведение вектора на число: λa=(λa_x; λa_y; λa_z), где λ – число.

Например, a=(3;–2;7) и b=(1;4;–6), тогда

;

;

.

Если известны координаты точек – начала и конца вектора :
А(x_А , y_А , z_А), B(x_В, y_B, z_B), то его координаты можно найти по формуле:

.

Тема: Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярное произведение векторов a и b – это число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

,

где j – угол между векторами a и b.

Другие обозначения скалярного произведения: ab, (a, b).

При помощи скалярного произведения можно найти угол между векторами:

.

Если векторы заданы координатами a=(a_x; a_y; a_z) и b=(b_x; b_y; b_z), то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

.

В некоторых приложениях употребляется n-мерная прямоугольная система координат, в которой формально введены не 2 или 3, а n взаимно перпендикулярных координатных осей. Вектор в такой системе – это набор из n упорядоченных чисел – координат конца вектора. Правила сложения, вычитания и вычисления скалярного произведения векторов такие же, как и для векторов в двух- или трёхмерном пространстве: если даны два вектора a=и b=, то их сумма (разность) имеют вид.

a±b= ,

а скалярное произведение

.

Например, если в пространстве с n=5 заданы векторы a=(1, –1, 2, 0, –3) и b=(–1, 2, 0, 1, –1), то

a–b=(2, –3, 2, –1, –2),

ab= –1–2+0+0+3= 0 (равенство нулю скалярного произведения означает, что векторы перпендикулярны).

Задачи для самостоятельного решения

Условие каждой задачи выбирается индивидуально по последней и предпоследней цифрам номера студенческого билета или паспорта. Предпоследняя цифра в дальнейшем обозначается буквой M, последняя – буквой N. Например, для студенческого билета с номером № 247 вариант будет 47 и, соответственно, M=4, N=7(аналогично для паспорта). Для записи условия каждой задачи следует вместо букв M и N подставить соответственную цифру.

1. Вычислить выражение A²B–2B+C^T, если , , .

2. Определить ранг матрицы .

3. Даны матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) размерностью 3´3. Проверить, перестановочны ли матрицы A и B, и найти определители этих матриц. Элементы матриц вычисляются по формулам: a_ij= –i–j+M, b_ij= 2i–j+N–5.

4. Решить систему .

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера.

5. Даны точки A(M; N), B(N; M), C(M+1, N–5). Найти:

а) – модуль вектора;

б) – скалярное произведение векторов;

в) угол между векторами и .

6. Докажите, что векторы с и d перпендикулярны, если с = a–b, d = a+b, a=(М; –1; N; 0; –3) и b=(–1; 3; 0; M; N).

Задачи для подготовки (с примерным вариантом оформления)

(студенту, чей номер по списку группы совпадает с № 13, рекомендуется выполнить вариант № 31)

1. Даны следующие множества , , .

Найдите: a) ,b) , c) , d) B\A.

2. Найти области определения функций:

a) ; b) .

3. Найти пределы:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ,

e) .

4. Найти производные функций:

a) ;

b) ;

c) .

5. Найти вторую производную функции .

6. Исследовать функцию и построить график.

7. Найти приближённое значение функции в точке x=8+0,03 (1+M), используя понятие первого дифференциала.

8. Найти неопределённые интегралы:

Примерный вариант оформления задач

(студенту, чей № 13, рекомендуется выполнить вариант № 31)

вариант №13

1. Даны следующие множества , , . Найдите: a) ,b) , c) , d) B\A.

Решение:

a) .

b) .

c) .

d) .

Ответ: a) ;

b) Æ;

c) ;

d) .

2. Найти области определения функций:

a) ; b) .

Решение:

a) .

Функция определена, если дробь неотрицательна и её знаменатель не равен нулю, поэтому областью определения данной функции является решение неравенства . Методом интервалов определяем решение (рис.1): .

Рис.1

b) .

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому областью определения исходной функции является решение системы:

или

Тогда .

Ответ: a) ,

b) .

3. Найти пределы: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Решение:

a) Применяя теоремы о пределах, получим

b) Так как пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то имеет место неопределённость вида . После преобразования выражения, стоящего под знаком предела и сокращения подобных множителей неопределённость исчезнет.

;

c) Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при , поэтому имеет место неопределённость вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на , получим:

,

так как при каждая из дробей и стремится к нулю.

d) .

Так как при функция, стоящая под знаком предела, представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности, то имеет место неопределённость вида . Преобразуя функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

.

Так как при дробь стремится к нулю, то

,

и, следовательно, .

e) Заменив числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми функциями ( , , при ), получим

.

Ответ: a) 205; b) ; c)1; d) ; e) .

4. Найти производные функций: a) ;

b) ; c) .

Решение:

a) .

.

b) .

c) .

Здесь основание и показатель степени зависят от x. Логарифмируя обе части равенства, получим . Продифференцируем полученный результат по x. В нашем случае левая часть равенства является сложной функцией, так как по условию – это функция от x. Поэтому . Следовательно,

,

откуда

.

Ответ: a) ;

b) ; c) .

5. Найти вторую производную функции .

Решение:

,

.

Ответ: .

6. Исследовать функцию и построить график: ; b) .

Решение:

а) .

Ø Область определения этой функции – вся числовая ось, за исключением точки x = 0, в которой функция имеет точку разрыва, т. е.

.

Ø Первая производная функции ,

.

Ø Исследуем функцию на наличие экстремумов. Производная обращается в нуль при и не существует при x = 0. Эти точки разбивают область определения на четыре интервала: , , , , причём в промежутках , (функция возрастает) и в промежутках , (функция убывает). Следовательно, – точка максимума, а – точка минимума. Отметим, что не принадлежит области определения функции и точкой экстремума быть не может.

Ø Исследуем функцию на наличие точек перегиба. Вторая производная не существует при . Эта точка разбивает область определения функции на два интервала: , , причём в промежутке (график функции выпуклый вниз) и в промежутке (график функции является выпуклым вверх). Отметим, что не принадлежит области определения функции и точкой перегиба быть не может.

Ø Найдём асимптоты графика. Вертикальной асимптотой является прямая , поскольку при приближении аргумента к нулю функция неограниченно возрастает (справа) или убывает (слева).

Наклонные асимптоты – это прямые вида y = kx + b, где , .

Замечание. Наклонную асимптоту также можно найти, преобразовав исходную функцию к виду , где при .

Преобразовав исходную функцию, получим

,

где при , следовательно, прямая y = 5x + 1 является наклонной асимптотой.[1]

Так как предел , то горизонтальных асимптот нет.

Ø Построим график функции, используя результаты, полученные при исследовании:

7. Найти приближенное значение функции в точке x =8,06, используя понятие первого дифференциала.

Решение:

Формула для вычисления приближенного значения функции, использующая понятие первого дифференциала имеет вид:

.

В нашем случае:

,

, , ,

,

Ответ: .

* Существуют и другие алгоритмы вычисления обратной матрицы. Приведён один из возможных.

* Преобразования аналогичны преобразованиям, применяемым для определения ранга матрицы, однако действия производятся исключительно со строками матрицы.

[1] Можно убедиться в правильности вычислений коэффициентов наклонной асимптоты, вычислив соответствующие пределы.