Образцы решения некоторых заданий контрольных работ

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации для студентов

решения задач по математики.

Пермь, 2011г.

Образцы решения некоторых заданий контрольных работ

Пример1. . Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы:

Решение.

1. Правило Крамера.

Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:

По формулам Крамера находим:

Ответ:

2. Метод обратной матрицы.

Введём обозначения: Тогда систему можно переписать в виде матричного уравнения: , решение которого находим по формуле

Прежде всего найдём матрицу , обратную матрице Определитель системы Следовательно для матрицы существует обратная. Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Отсюда

Тогда

Итак, Ответ:

Пример2. Даны вершины треугольника АВС: Построить треугольник на координатной плоскости. Найти:

• периметр треугольника;
• уравнения всех сторон треугольника;
• уравнение высоты СН
• уравнение медианы АМ.

Решение.

1. Вычислим длины всех сторон треугольника:

Следовательно, периметр треугольника ABC равен

Ответ:

2. Составим уравнение прямой AB. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

Аналогично находим уравнения сторон BC: AC:

Ответ: AB: BC: AC:

3. Для нахождения уравнения высоты CH воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом и проходящей через заданную точку: Известно, что условием перпендикулярности двух прямых является следующее условие: Так как прямые AB и CH перпендикулярны, то Используя координаты точки С, получаем уравнение высоты СH:

Ответ: CH:

4. Используя формулы для нахождения координат середины отрезка (полусумма соответствующих координат), найдем координаты точки M: тогда . Используя уравнение прямой, проходящей через две точки A и M, получим уравнение медианы AM:

Ответ: AM:

Пример3. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Найти:

• площадь основания АВС пирамиды;
• объем пирамиды ABCD;
• общее уравнение плоскости АВС;
• уравнение ребра АD.

Решение.

1. Треугольник ABC построен на векторах и (для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала). Для вычисления площади основания ABC, найдём векторное произведение этих векторов: . Площадь треугольника ABC равна модуля векторного произведения векторов и :

Ответ:

2. Пирамида ABCD построена на векторах Объём пирамиды ABCD вычисляется как модуля смешанного произведения этих векторов: . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то . Тогда

Ответ:

3. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

.

Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: x+2y+2z-18=0.

Ответ: ABC: x+2y+2z-18=0.

4. Для составления уравнения прямой AD нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор Тогда уравнение прямой AD имеют вид:

.

Ответ: уравнение прямой AD: .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования дроби, произведения и сложной функции:

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:

Пример 6. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1) , так как функция определена всюду, кроме точки x=1. В своей области определения функция непрерывна, является точкой разрыва графика функции; поведение функции в окрестности этой точки будет рассмотрено ниже.

2) Так как область определения не симметрична относительно точки x=0, то проверка на чётность и нечётность не проводится. График функции симметрией не обладает.

3) Найдём нули функции, т.е. точки пересечения с осями координат.

• При x=0 имеем: т.е. точка (0; 1) – точка пересечения с осью Oy.
• При y=0 имеем x= –1, т.е. точка (-1; 0) – точка пересечения с осью Ox.

4) Найдём асимптоты графика функции.

• Вертикальные асимптоты: так как , то – вертикальная асимптота.
• Горизонтальные асимптоты: так как , то горизонтальных асимптот нет.
• Наклонные асимптоты: так как

то – наклонная асимптота.

5) Найдём первую производную данной функции:

.

Найдём точки, в которых первая производная равна нулю: и не существует: . Для исследования функции на экстремум применяем метод интервалов:

		–1	(–1; 1)		(1; 5)
	+		+	не существует	–		+
		нет экстремума		нет экстремума		точка минимума

Получаем, что при график функции возрастает, при - убывает. Точка - точка минимума,

6) Найдём вторую производную данной функции:

Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю : и не существует: Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции, а также точек перегиба воспользуемся методом интервалов:

		–1	(–1; 1)
	–		+	не существует	+
		перегиб		не существует

Получаем, что - промежуток выпуклости, - промежуток вогнутости. Точка - точка перегиба,

Контрольные точки (нули функции, точки экстремума и точки перегиба) наносим на координатную плоскость и на основании проведённого исследования строим график данной функции.

Пример 7. Вычислить интеграл: .

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям , получаем:

Пример 8. Вычислить интеграл: .

Решение. Применяя к данному интегралу метод внесения под знак дифференциала, получаем: . Ответ:

Пример 9. Вычислить интеграл:

Решение.

Ответ:

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Решение. Данная криволинейная трапеция получается при пересечении параболы и прямой. Найдем точки пересечения их графиков. Для этого решим совместно два уравнения : , откуда .

Сделаем схематический чертеж:

Тогда искомая площадь будет равна: (ед².).

Ответ: (ед².).

Пример11. Найти экстремум функции: .

Решение. Находим частные производные первого порядка: , . Находим точки возможного экстремума, для этого решаем систему уравнений: , Таким образом, точка - это точка, в которой может быть экстремум функции .

Для проверки того, является полученная точка точкой экстремума или нет, и если является, то какой в этой точке будет экстремум: минимум или максимум, проверяем достаточное условие экстремума. Находим: , и . Составляем определитель , следовательно в точке есть экстремум. Так как при этом , то в точке достигается минимум функции: . Ответ: .

Пример12. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

. Теперь уравнение можно интегрировать: . Находим неопределенные интегралы: , откуда: - это общий интеграл данного дифференциального уравнения. Ответ:

Пример13. Решить уравнение при условии .

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: , где и - неизвестные функции. Получаем: или . Неизвестную функцию найдем из условия : , , откуда . Тогда для нахождения второй неизвестной функции нужно решить уравнение: , откуда: . Тогда и путем интегрирования последнего равенства получаем . Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: . Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием: . Подставляя соответствующие значения переменных и в общее решение, получаем: , откуда . Тогда частное решение данной задачи имеет вид: . Ответ: .

Пример14. Решить уравнение: у² +2 у^' +5 у = 0.

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: . Это алгебраическое уравнение второго порядка, его корни – комплексные, сопряженные числа: . Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: . Ответ: .

Пример15. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим и . Тогда: , следовательно, по признаку Даламбера данный числовой ряд сходится.

Пример16. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Находим радиус сходимости ряда по формуле: . Имеем: , . Тогда . Итак, радиус сходимости . Тогда интервал сходимости данного ряда: , то есть .

Исследуем ряд на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд . Этот ряд знакочередующийся, для исследования его на сходимость применяем признак Лейбница:

а) члены данного ряда убывают по абсолютной величине: ;

б) . Оба условия признака Лейбница выполняются, значит знакочередующийся числовой ряд сходится, и при исходный степенной ряд сходится.

При получаем числовой ряд . Этот ряд знакоположительный, для исследования его на сходимость применяем интегральный признак Коши: составляем интеграл и исследуем его на сходимость. Имеем: . Несобственный интеграл расходится, следовательно будет расходящимся и числовой ряд . Тогда на правом конце интервала сходимости исходный степенной ряд расходится. Вывод: степенной ряд сходится при .

Ответ: степенной ряд сходится при .

Пример17. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1, ..., 6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n.

Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216.

Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А,найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:

В результате получаем, что Р(т) = 43, значит, Р(А) = 43/216.

Ответ: Р(А) = 43/216.

Пример18. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех.

Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: . По условию задачи , .

а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: .

б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих:

В₁: два билета из шести будут выигрышными;

В₂: три билета из шести будут выигрышными;

В₃: четыре билета из шести будут выигрышными.

Тогда В= В₁+В₂+В₃ и Р(В) = Р(В₁)+Р(В₂)+Р(В₃).

Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:

,

,

.

Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0,2458+0,0492+0,0061=0,3011

Ответ: P(B)=0,3011.

Пример19. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины х_i , а во второй строке – численность каждой группы значений m_i :

Найти объем выборки ; относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Решение. Найдем объем выборки n по формуле: , где – число столбцов в таблице. Тогда n =3+11+14+5=33.

Относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины, находим по формулам: . Получаем: , , , .

Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:

х i
	1/11	1/3	14/33	5/33

Находим числовые характеристики выборки:

а) среднее арифметическое находим по формуле:

б) выборочная дисперсия находится по формуле: .

Получаем:

в) среднеквадратическое отклонение: .