ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

Группы ЭЗИС11, ЭЗИS11, ЭЗИS12, ЭЗИS13, ЭЗИS14,ЭЗИS15, ЭЗХК11

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Задание 1. Исследовать сходимость положительных рядов:

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8.а) б)

9.а) б)

10. а) б)

11.а) б)

12.а) б)

13.а) б)

14.а) б)

15.а) б)

16. а) б)

17. а) б)

18. а) б)

19. а) б)

20. а) б)

Задание 2. Знакочередующиеся ряды.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

1. 2

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Задание 3. Степенные ряды.

Найти радиус сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости:

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задание 4. Разложение функций в степенные ряды

Пользуясь формулами разложения элементарных функций в ряды Маклорена, представить заданную функцию в виде ряда по степеням . Указать множество всех значений , для которых верно полученное разложение:

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18.

9. 19.

10. 20.

Задание 5. Ряды Фурье.

Задание 6. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Из колоды в 36 карт наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется один туз.

2. Среди 10 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероят­ность того, что взятые наугад две лампочки окажутся нестандарт­ными.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероят­ность того, что набраны нужные цифры.

4. В партии из 12 деталей 2 бракованные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех деталей окажутся 2 бракованные.

5. 20 участников шахматного турнира разделили на 2 команды по 10 чело­век в каждой. Найти вероятность того, что 2 сильнейших игрока окажутся в одной команде.

6. Абонент забыл шестизначный номер телефона и набрал его наугад, помня лишь, что все цифры в нем различны. Какова вероятность набрать нужный номер?

7. В партии из 15 телевизоров 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероят­ность того, что 3 телевизора, выбранные наугад, не имеют скрытых дефектов.

8. Игрок делит наугад колоду в 36 карт пополам и одну половину берет себе. Найти вероятность того, что у него окажутся все 4 туза.

9. На шести карточках написаны цифры от 1 до 6. Найти вероятность того, что среди 3-х случайно выбранных карточек есть карточка с номером 6.

10. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 2. Найти вероят­ность того, что среди взятых наудачу пяти билетов выигрышными являются два.

11. На стройке 3 крана. Вероятность безотказной работы первого крана равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Найти вероятность того, что работает хотя бы один кран.

12. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,8. Оба производят по одному выстрелу в мишень. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.

13. Для сигнализации об аварии установлено 3 независимо работа­ю­щих датчика. Вероятность срабатывания при аварии для первого датчика равна 0,9, для второго - 0,8, для третьего – 0,7. Найти вероятность, что при аварии срабо­тает хотя бы один датчик.

14. В цехе работает два конвейера. Вероятность безотказной работы перво­го конвейера равна 0,6, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает один конвейер.

15. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что станок потребует в течение рабочего дня ремонта, для первого станка равна 0,2,­ для второго –0,1, для третьего – 0,3. Найти вероятность того, что в течение рабочего дня ни один из станков не потребует ремонта.

16. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы одним из стрелков.

17. Устройство состоит из двух независимо работающих блоков. Вероят­ности отказа блоков соответственно равны 0,1 и 0,05. Найти ве­роят­ность отка­за устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

18. Найти вероятность того, что при одновременном бросании трех игральных костей, ни на одной из них не выпадет "6".

19. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение превы­сит номинальное значение, равна 0,25. Вероятность аварии прибора при повышен­ном напряжении равна 0,6. Определить вероятность аварии прибора включен­ного в данную электрическую цепь.

20. В магазине установлено 3 кондиционера. Вероятность быть вклю­ченным для первого кондиционера равна 0,6, для второго – 0,5, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что включены все три кондиционера.

Задание 7. Полная вероятность. Формулы Байеса. Схема Бернулли

1. Имеются две партии деталей, причем известно, что в первой нет бракованных, а во второй бракованных 1/4. Деталь, взятая из наугад вы­бран­ной партии, оказалась небракованной. Какова вероятность, что она взята из второй партии?

2. Студент, явившийся на экзамен последним, берет наугад один из остав­ших­ся трех билетов. Вероятности того, что он получит по­ло­­жи­тельную оценку, отвечая на каждый из этих билетов, следующие: 0,6; 0,5; 0,9. Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

3. В одной корзине половина шаров белые, а во второй белых 1/4. Наугад из каждой корзины извлекают по одному шару и перекладывают в ящик, после чего из этого ящика наугад извлекают один шар. Какова вероятность, что извлеченный шар окажется белым?

4. Станок работает в двух режимах, причем режим I использует 90% времени. Вероятность выхода из строя станка при режиме I равна 0,1, а при режиме II – 0,3. Станок вышел из строя. Какова вероятность того, что он работал в режиме II?

5. Изготовленное изделие с равной вероятностью осматривается од­ним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8. Какова веро­ятность того, что дефектное изделие будет обнаружено?

6. Из трамвайного парка в случайном порядке выходят 4 трамвая маршрута №1 и 8 трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вы­шедший на линию трамвай, будет иметь №1.

7. В партии 100 радиоламп, из них 80 изготовлено на заводе №1, а 20 – на заводе №2. Вероятности того, что лампа не выйдет из строя в течение га­ран­тийного срока, равны для этих заводов соответственно 0,5 и 0,9. Определить вероятность того, что взятая наугад из партии радиолампа не выйдет из строя в течение гарантийного срока.

8. В магазин поступили телевизоры с двух заводов. У первого завода 20% брака, у второго – 10%. Купленный телевизор оказался бракованным. Какова веро­­ят­ность того, что он изготовлен на 2-ом заводе, если в магазине 30% телевизоров, изготовленных на первом заводе и 70% - изготовленных на втором?

9. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или чёрный. В урну опускается один белый шар, затем наудачу из­влекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

10. Половина поступивших на склад изделий изготовлено на 1-ом за­­воде, третья часть – на 2-ом заводе, остальные изделия – на 3-ем заводе. Ве­роятность производства брака на 1-ом заводе равна 0,2, на 2-ом заводе - 0,3, на 3-ем заводе – 0,1. Какова вероятность, что наугад выбранное для контроля изделие окажется бракованным?

11. В студии телевидения 3 телекамеры. Для каждой камеры вероят­ность, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включены две камеры.

12. Всхожесть семян некоторого растения составляет 60%. Како­ва вероят­ность того, что из пяти посеянных семян взойдут три?

13. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, рав­на 0,02. Найти наивероятнейшее число опоздавших из 856 пассажиров.

14. Вероятность того, что двигатель потребует наладки в течение пер­вого года эксплуатации для автомобилей некоторой марки равна 0,2. Най­ти вероят­ность того, что из 4-ех автомобилей данной марки наладки двигателя в течение 1-ого года потребуют не более 2-ух.

15. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, веро­ят­ность отказа для каждого из них равна 0,0005. Какова вероятность от­каза аппаратуры, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один из элементов?

16. Найти вероятность того, что из 100 посеянных семян, взойдет не ме­нее 90, если всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8.

17. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероят­ность того, что тираж содержит 5 бракованных книг.

18. Оптовая база обслуживает 5 магазинов. От каждого из них заявка на товар на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что заявки на товар на следующий день поступят от трех магазинов?

19. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 100 билетов, выиграет по 10 билетам?

20. Вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если будет опущено 150 монет.

Задание 8. Выборка, её числовые характеристики

Для указанных ниже статистических распределений выборок требуется:

1) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

2) Построить полигон частот.

3) Вычислить выборочную среднюю .

4) Вычислить выборочную и исправленную дисперсии.

1. x_i 1 4 8 10

n_i 5 2 2 1

2. x_i -5 1 3 5

n_i 2 4 31

3. x_i 1 5 9 11

n_i 2 2 5 1

4. x_i -2 1 2 3 4 5

n_i 2 1 2 2 2 1

5. x_i 0 1 2 3 4

n_i 5 2 1 1 1

6. x_i 1 5 6 8

n_i 5 15 20 10

7. x_i 1 5 7 9

n_i 6 12 1 1

8. x_i 2 3 5 6

n_i 10 15 5 20

9. x_i -5 2 3 4

n_i 4 3 1 2

10. x_i 1 2 4 7

n_i 1 3 6 2

11. x_i 1 3 7 10

n_{i 4} 3 2 1

12. x_i -3 1 4 8

n_i 2 4 3 1

13. x_i 1 5 10 12

n_i 2 2 5 1

14. x_i -2 0 2 3 4

n_i 2 1 2 2 3

15. x_i 0 1 3 5 8

n_i 4 2 1 2 1

16. x_i 1 5 8 10

n_i 5 10 20 15

17. x_i 1 5 8 10

n_i 5 12 1 2

18. x_i 2 3 5 8

n_i 15 10 5 20

19. x_i -2 1 3 4

n_i 4 3 2 1

20. x_i 1 3 5 7

n_i 3 1 6 2