дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки

Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения:

, (1)

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

;	(2) ;

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений искомого решения в точках . Для этого разобьем отрезок на равных частей с шагом . Полагая и вводя обозначения , , для внутренних точек отрезка , вместо дифференциального уравнения (1)–(2) получаем систему конечноразностных уравнений:

После соответствующих преобразований будем иметь

, , (3)

где

.

Полученная система имеет линейных уравнений с неизвестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно , будем иметь

.

Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

, (4)

где – некоторые коэффициенты.

Отсюда . Подставляя это выражение в (3), получим и, следовательно,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения рекуррентные формулы:

.

Определим :

.

Из формулы (4) при имеем

. (6)

Поэтому

, . (7)

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты до включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения . Решая систему

,

получим

и по формуле (4) последовательно находим .

Для простейших краевых условий формулы для упрощаются. Полагая получим .

Отсюда .

Пример. Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

Таблица 10

		-0,498	-0,662	-0,878	-0,890	-0,900
		0,001	0,002	0,004	0,008	0,012
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
		-0,025	-0,049	-0,072	-0,078	-0,081
		-0,015	-0,029	-0,041	-0,050	-0,057

	-0,908	-0,915	-0,921	-0,926
	0,16	0,022	0,028	0,035
	0,6	0,7	0,8	0,9
	-0,078	-0,070	-0,055	-0,032
	-0,058	-0,054	-0,044	-0,026

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 3

1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ................................................. 4

1.1. Постановка задачи............................................................................. 4

1.2. Основные этапы отыскания решения.............................................. 4

1.3. Метод половинного деления............................................................. 5

1.4. Метод простой итерации.................................................................... 7

1.5. Метод Ньютона (метод касательных)........................................... 13

1.6. Видоизменённый метод Ньютона................................................... 15

1.7. Метод хорд......................................................................................... 15

1.8. Комбинированный метод................................................................. 17

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 8

2.1. Постановка задачи........................................................................... 18

2.2. Метод простой итерации.................................................................. 19

2.3. Метод Зейделя................................................................................... 23

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.............................. 26

3.1. Постановка задачи........................................................................... 26

Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений................. 26

Метод итерации для нелинейной системы уравнений................. 30

3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем............ 32

3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы.......... 35

4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ...................................................................... 37

4. 1. Метод наименьших квадратов....................................................... 37

4.2. Построение интерполяционных многочленов.............................. 41

5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского........................................................................................................... 50

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
МЕТОД СИМПСОНА (МЕТОД ПАРАБОЛ)............................................... 54

7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ....... 57

7.1. Постановка задачи Коши................................................................ 57

7.2. Метод Эйлера..................................................................................... 59

7.3. Модифицированные методы Эйлера............................................... 61

7.4. Метод Рунге – Кутта......................................................................... 64

7.5. Решение краевой задачи для линейного дифференциального
уравнения второго порядка методом прогонки............................... 65