Максвелл ввел понятие полного тока,равного сумме токов проводимости (а также конвекционных токов) и смещения.Плотность полного тока 2 страница

(143.2)

В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. §140). Если со­противление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

Из выражений (142.1) и (140.1) вытекает, что заряд Q совершает гармонические колебания по закону

(143.3)

где Q_m — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой w₀, называемой собственной частотой контура, т. е.

(143.4)

и периодом

(143.5)

Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))

(143.6)

где I_m=w₀Q_m — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

(143.7)

где U_m=Q_m/C—амплитуда напряжения.

Из выражений (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на p/2, т.е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наоборот.

§ 144. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Tax как векторы A₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₂—j₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

(144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза j соответственно задаются соотношениями

(144.2)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направле­нии и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j₂—j₁) складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j₂—j₁):

1) j₂—j₁ = ±2mp (т=0, 1, 2, ...), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результиру­ющего колебания А равнасумме амплитуд складываемых колебаний;

2) j₂—j₁ = ±(2m+1)p (т=0, 1, 2, ...), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда резуль­тирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гар­монических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В ре­зультате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющей­ся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называютсябиениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны w и w+Dw, причем Dw<<w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2<<w, найдем

(144.3)

Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой w, амплитуда А_б, которого изменяется по следующему периодическому закону:

(144.4)

Частота изменения А_б в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меня­ющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде супер­позиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амп­литудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w₀:

(144.5)

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятиемгар­монического анализа сложного периодического колебания,илиразложения Фурье.*Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀, 3w₀, ..., называютсяпервой (или основной),второй, третьейи т. д.гармониками сложно­го периодического колебания.

* Ж. Фурье (1768—1830) — французский ученый.

§ 145. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой час­тоты w, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

(145.1)

где a — разность фаз обоих колебаний, А и В — амплитуды складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений (145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

и заменяя во втором уравнении coswt на х/А и sinwt на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относите­льно координатных осей произвольно:

(145.2)

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз a. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1) a = mp(m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

(145.3)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой w и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол j=arctg . В данном случае имеем дело слинейно поляризованными колебаниями;

2) a = (2m+1) (m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

(145.4)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называютсяциркулярно поляризо­ванными колебаниями иликолебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной j).

* Ж. Лиссажу (1822—1880) — французский физик.

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

§ 146. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омичес­ких потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обыч­но рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в кото­рых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентич­ными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изуче­нию колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде

(146.1)

где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d=const — коэффициент затухания, w₀ — циклическая частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде

(146.2)

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и под­становки их в (146.1) получим

(146.3)

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

(146.4)

(если ( )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1) ü+w²и=0, решением которого является функция и=А₀cos(wt+j) (см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий ( )

(146.5)

где

(146.6)

— амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называетсявременем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периодакак промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затуха­ющих колебаний с учетом формулы (146.4) равен

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называетсядекрементом затухания, а его логарифм

(146.7)

— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятиемдобротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

(146.8)

(так как затухание мало ( ), то T принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маят­ника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

(146.9)

Используя формулу w₀= (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания

(146.10)

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10), Q= /r.

2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Диф­ференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R¹0) имеет вид (см. (143.2))

Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания

(146.11)

дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению (146.1) виде

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону

(146.12)

с частотой, согласно (146.4),

(146.13)

меньшей собственной частоты контура w₀ (см. (143.4)). При R=0 формула (146.13) переходит в (143.4).

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура (см. (146.8))

(146.14)

В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебании растет и при d=w₀ обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптоти­чески приближается к нулю, когда t®¥. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колеба­ния незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний опре­деляются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энер­гии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опуска­ющегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струёй.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.

§ 147. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуж­дающая сила

(147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

(147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

(147.3)

Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению

(147.4)

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическимии вынужденными электромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференци­альному уравнению

(147.5)

применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физичес­кой природы (x₀ в случае механических колебаний равно F₀/m, в случае электромагнит­ных — U_m/L).

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного урав­нения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀ :

(147.6)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

Подставляя выражение для s и его производных в уравнение (147.6), получаем

(147.7)

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на

Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:

где

(147.8)

(147.9)

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна

(147.10)

где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид

(147.11)

Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения

(147.12)

(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являют­ся гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.

Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что (см. (143.4)) и (см. (146.11)):

(147.13)

Продифференцировав Q=Q_mcos(wt–a) по t, найдем силу тока в контуре при устано­вившихся колебаниях:

(147.14)

где

(147.15)

Выражение (147.14) может быть записано в ввде

где j=a – p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)

(147.16)

Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если wL>1/(wС), и опережает напряжение (j<0), если wL<1/(wС).

Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграм­мы. Это сделано в §149 для переменных токов.

§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту w_рез, — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по w и приравняв его нулю, получим условие, определяющее w_рез :

Это равенство выполняется при w=0, ± , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота