Решение ДУ – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество!

••• ≡•••

Пример 1–9: Составить дифференциальное уравнение семейства парабол: . (1)

Решение:

1). Преобразуем выражение семейства (известная операция выделения полного квадрата): . При непрерывном изменении параметра ось параболы смещается влево при значении параметра , вправо при значении ; одновременно вершина параболы движется по параболе .

2). Вычислим производную для заданного семейства: . (2)

3). Для получения дифференциального уравнения нужно исключить параметр из выражения (1) или из выражения (2):

а) умножив выражение (2) на , получим уравнение =[учтём (1)] = ;

б) получено дифференциальное уравнение: = .

Ответ: ДУ для семейства парабол = .

Пример 2–18: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: = – .

Решение:

1). Уравнение изоклин получается приравниванием =k. В нашем случае изоклина – прямая линия: . На рисунке изоклины выделены «синим» цветом. На каждой изоклине черточка («красная») отражает конкретное значение k, определяющее изоклину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.

2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показывают направление «поля». Возникает «зрительный образ», который определяет «присутствие некоторой кривой», касательные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемые «интегральные кривые» (на рисунке интегральные кривые выделены «зеленым» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.

Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.

Пример 3–22: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение очевидных решений не имеет. Запишем уравнение в виде: , видим – уравнение с разделяющимися переменными.

2). Интегрируем уравнение: = , или – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: – общее решение ДУ (семейство гипербол).

Пример 4–24: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем уравнение (2): + = , или . (3)

Ответ: – общее решение ДУ (семейство концентрических окружностей).

Пример 5–26: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не может иметь решения в виде , в частности в виде функции . Это значит, что дифференциал не может быть равным 0. В то же время, функция =0 есть решение уравнения (1).

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2) в виде: + =0. (3)

4). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (3). При получении общего решения уравнения (3) применим два принципиально разных способа использования произвольной постоянной величины:

→ или . (4)

→ или . (5)

Замечания: 1. При получении выражений (4) и (5) принципиальным было применение условия y≠0. При получении записи (5) также необходимо потребовать выполнения условия C≠0!..

2. Использование записи (5) удобнее в случае решения задачи Коши: вычисление постоянной C совсем просто, при использовании (4) пришлось бы применять логарифмы!..Если общее решение уравнения воспринимать как совокупность кривых, то записи эквиваленты!..

Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .

Пример 6–28: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении разделяются. Уравнение (2) можно записать в виде: . (3)

4). Интегрируем уравнение (3): = + , или – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: – общее решение ДУ.

Пример 7–30: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение очевидных решений не имеет. Запишем уравнение в виде: +2 =0 (умножение на число 2 удобно!), видим – уравнение с разделяющимися переменными → можно приступить к интегрированию ДУ.

2). Интегрируем: – общее решение ДУ.

Ответ: – общее решение ДУ.

Пример 8–32: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функции: , то есть ось .

2). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении (1) разделяются. Перепишем это уравнение в виде: = . (2)

3). Интегрируем: = , или – общее решение дифференциального уравнения, или (лучше!) в виде .

Ответ: – общее решение ДУ, также: y = 0 (выделяется из общего при =0).

Пример 9–34: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функции: , прямая, параллельная оси .

2). Преобразуем уравнение (1), учитывая, что теперь , а также = :

. (2)

3). Интегрируем: – общее решение ДУ.

Ответ: – общее решение ДУ, также: .

Пример 10–40: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Примем: . Учитывая, что , перепишем уравнение (1): . Из равенства имеем решения: = , где .

2). Интегрируем уравнение: , применяя подстановку: и учитывая выражения и . Интегрирование левой части: , правой: .

3). Учитывая, что и , запишем общее решение: .

Ответ: – общее решение ДУ, также: = , где .

☺E☺

Пример 11–44: Найти частное решение уравнения: , .

Решение:

1). Запишем заданное уравнение в виде: – уравнение с разделяющимися переменными.

2). Интегрируем: – общее решение ДУ.

3). Используя начальные условия, запишем: – частное решение ДУ.

Ответ: – частное решение ДУ.

F☺☺E

Вопросы для самопроверки:

1. Какое уравнение называют дифференциальным?

2. Как определить порядок ДУ?

3. Что значит - решить дифференциальное уравнение?

4. Что такое решение ДУ, частное решение ДУ?

5. Что такое общее решение ДУ?

6. Что значит решить Задачу Коши?

7. Что такое семейство кривых?

8. Как построить уравнение, решением которого является заданное семейство кривых?

9. Каковы стандартные формы ДУ с разделяющимися переменными и их решение?