В этом случае

,

что противоречит условию (1.12) и доказывает лемму.

2.4. Простейшая задача вариационного исчисления, уравнение Эйлера.

Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления. Среди непрерывно-дифференцируемых скалярных функций сравнения ,

, (1.13)

где - достаточно гладкая

функция своих аргументов.

Для решения задачи используем условие (1.11). Для этого приращение функционала (1.13)

,

воспользовавшись формулой Тейлора, представим в следующим виде

. (1.14)

где - содержит величины более высокого порядка малости, чем и .

Из выражения (1.14) следует, что

(1.15)

Поскольку решение мы ищем в классе непрерывно-дифференцируемых функций, то и вариации тоже будет непрерывно-дифференцируемыми. Нетрудно показать, что справедливо равенство

. (1.16)

Учитывая (1.16), представим

. (1.17)

Тогда, подставляя (1.17) в (1.15) и интегрируя, получим

.

Так как все функции сравнения проходят через заданные точки , то и

.

Теперь в силу произвольности из условия , применяя основную лемму вариационного исчисления, получим уравнение экстремали

, (1.18)

которое называется уравнением Эйлера.

Уравнению Эйлера удовлетворяют кривые, доставляющие как относительный минимум, так и относительный максимум функционалу (1.13), поэтому для идентификации экстремума необходимы дополнительные исследования.

Учитывая, что , уравнение Эйлера можно представить в виде

.

То есть уравнение Эйлера – это дифференциальное уравнение второго порядка относительно , его общее решение содержит две произвольные постоянные и , для нахождения которых используются условия прохождения искомой экстремали через заданные точки и . Таким образом, решение задачи построения экстремали сводится к краевой задаче (или двухточечной), которая существенно отличается от задачи Коши, где решение удовлетворяет только начальным условиям. Двухточечная задача может и не иметь решения, когда задача Коши решение имеет.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Эйлера.

1. Функция не содержит , т.е. . При этом , и уравнение Эйлера запишется в виде

.

Откуда следует , где - произвольная постоянная. Разрешая это уравнение относительно , получим:

.

Интегрируя его, найдем , - произвольная постоянная. Таким образом, в этом случае уравнение Эйлера интегрируется полностью.

2. В функцию не входят и . Тогда , и уравнение Эйлера преобразуется к виду , или . В этом случае . Экстремали представляют прямые линии.

Пример 1. Среди всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки и найти такую, которая имеет минимальную длину. В этом случае

.

Подынтегральная функция не содержит и , а искомая экстремаль по только что доказанному представляет прямую , проходящую через заданные точки. Постоянные и находятся из системы уравнений

Пример 2. Рассмотрим обтекание тонкого профиля (рис. 7) в линеаризованном сверхзвуковом потоке [2]. Пусть передняя кромка находится в начале координат , а задняя – в точке - ордината точки профиля. Тогда волновое сопротивление профиля можно представить в виде [2]

, где - коэффициент пропорциональности, зависящий от плотности и скорости набегающего потока.

Так как не зависит от и , уравнение экстремали имеет вид . Удовлетворяя граничным условиям, найдем .

Замечание. При выводе уравнения Эйлера предполагали, что - скалярная функция. В том случае, когда - есть векторная функция размерности , подынтегральная функция имеет вид , а граничные точки A и B задаются в - мерном пространстве . В этом случае

.

Используя необходимое условие экстремума , и основную лемму вариационного исчисления, получим систему уравнений второго порядка

(1.19)

Общее решение этой системы содержит констант, для определения которых имеет условий.

2.5. Уравнение Эйлера-Пуассона.

Рассмотрим задачу поиска экстремума функционала

,

.

В этой задаче закрепленными являются значения функции , но и ее производной в точках и . Допустимыми являются только дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие этим концевым (граничным) условиям.

Первую вариацию

,

учитывая формулы

,

,

и при и ,

преобразуем к виду

.

Применяя основную лемму вариационного исчисления, получим Уравнение Эйлера – Пуассона:

.

Это уравнение четвертого порядка. Решения его зависит уже от 4-х констант, которые находятся из условия прохождения экстремали через заданные граничные точки.

2.6. Вариационные задачи с нефиксированными границами. Условие трансверсальности.

При рассмотрении простейшей задачи вариационного исчисления предполагалось, что граничные точки A и B являются заданными. В прикладных задачах эти точки могут быть не фиксированы, т.е. могут быть свободны все или частично. Можно выделить, например, следующие случаи:

1. Координаты точек A и B свободны( -не заданы).

2. Точка A – задана, точка B свободна ( - заданы, - не заданы).

3. Точка A задана, координаты т. B связаны зависимостью .

4. Координаты точек A и B связаны совокупностью условий

Могут рассматриваться и другие варианты.

Однако общим для всех вариантов является наличие некоторой свободы в выборе параметров граничных точек. В этих случаях свободные параметры можно рассматривать как дополнительные управляющие параметры и доопределять их в процессе решения вариационной задачи.

Как и ранее, найдем приращение функционала (1.13). При нефиксированных граничных условиях

представим в следующем виде

где - независимые вариации параметров и .

Воспользовавшись формулой Тейлора и теоремой о среднем, получим

(1.20)

где , - величины более высокого порядка малость чем .

Поскольку искомая экстремаль при нефиксированных граничных точках должна быть экстремалью и среди кривых сравнения, имеющих с нею общие граничные точки, она должна удовлетворять уравнению Эйлера и должно выполняться уравнение.

(1.21)

Тогда из (1.20) следует, что

(1.22)

В выражение (1.22), кроме независимых вариаций входят, так называемые изохронные вариации , которые не являются независимыми. Выразим изохронные вариации через приращения конечных значений и . Поскольку эта зависимость нелинейная, то линеаризируя ее, получим (рис. 8).

,

или

,

.

Используя полученные соотношения, найдем из (1.22) и (1.11)

(1.23)

Полученное условие может быть использовано для определения оптимальных значений координат граничных точек. Оно называется условием трансверсальности и используется совместно с уравнением Эйлера.

Рассмотрим некоторые частные условия трансверсальности.

1. Точки A и B заданы. В этом случае , условие (1.23) выполняется тождественно и дополнительной информации не дает.

2. Координаты и , заданы, а и произвольны. В этом случае и из условия трансверсальности получаем дополнительно два условия для определения и

3. Точка A задана, а координаты точки B связаны зависимостью . В этом случае , а вариации и связаны зависимостью

,

и из условия трансверсальности получим недостающее условие

.

В том случае, когда y(t) – n – мерный вектор достаточно гладких функций, искомая экстремаль удовлетворяет системе уравнений Эйлера

(1.24)

а условие трансверсальности имеет вид:

(1.25)

Из условия трансверсальности можно получить систему соотношений для определения граничных значений параметров . В общем случае эти параметры могут быть связаны условиями

, (1.26)

тогда соответствующая система уравнений в вариациях будет иметь вид:

(1.27)

Используя полученную систему линейных алгебраических уравнений (1.27), можно выразить зависимых переменных через независимых переменных и из условия трансверсальности (1.25) получить уравнений, которые совместно с (1.26) дают замкнутую систему уравнений для определения переменных (координат граничных точек).

2.7. Вариационные задачи на условный экстремум.

До сих пор мы рассматривали задачи поиска функций из заданного класса, доставляющих экстремум функционалу . При этом рассматривались случаи фиксированных или нефиксированных граничных условий. Других ограничений на выбор функций сравнения не было. Однако, при решении прикладных задач при принятии того или иного решения, в том числе оптимального, всегда приходится учитывать совокупность ограничений по энергопотреблению, быстродействию, точности, (текущей или конечной), надежности и т.п. Эти ограничения всегда будут накладывать ограничения на выбор допустимых вариаций. Поиск экстремума функционала при наличии дополнительных ограничений (связей), называется задачей на условный экстремум.

Обычно различают связи трех типов:

а) голономные связи – связи, не содержащие производных искомых функций

;

б) неголономные связи – связи, содержащие производные искомых функций

;

в) изопериметрические (интегральные связи)

.

Вариационные задачи на условный экстремум при голономных и неголономных связях можно (теоретически) решить методом исключения зависимых переменных. Тогда задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный. Однако такой подход практически неприменим ввиду сложности процедур исключения зависимых переменных. Поэтому наибольшее распространение получил метод множителей Лагранжа. Рассмотрим применение этого метода в задаче минимизации функционала

(1.28)

при наличии связей

, (1.29)

граничные условия будем считать заданными.

В соответствие с методом Лагранжа вводится вспомогательный функционал

, (1.30)

где - неопределенные пока множители Лагранжа. На связях и и функционалы и ведут себя одинаково, т.е. экстремум достигается одновременно с при условии, что удовлетворяют уравнениям связей (1.29), независимо от .При заданных граничных условиях, как и ранее, получим

.

Однако в этом случае нельзя воспользоваться основной леммой вариационного исчисления, так как - не является независимыми. Воспользуемся свободой выбора множителей Лагранжа и выберем таким образом, чтобы выполнялись уравнений

,

тогда

.

В последнем выражении уже независимы и, воспользовавшись основной леммой вариационного исчисления, получим:

.

Таким образом, для определения n+m функций и мы получили систему m и n уравнений

(1.31)

Уравнения (1.31) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Если граничные условия не заданы, система уравнений (1.31) дополняется условиями трансверсальности типа (1.25), в которых вместо F необходимо подставить H.

В случае неголономных связей вариационные задачи решаются аналогично.

2.8. Вариационные задачи с изопериметрическими условиями.

Рассмотрим задачу нахождения экстремума функционала (1.28) при наличии изопериметрических связей

, (1.32)

где - заданные постоянные величины.

Такие связи не накладывают ограничений на вариации функций в текущий момент времени, они являются интегральными, поэтому число связей может быть и больше, чем число функций, т.е. m > < n.

Вариационная задача с ограничениями (1.32) может быть сведена к задаче с неголономными связями, если ввести новые переменные

. (1.33)

Из (1.33) следует, что вектор-функция удовлетворяет системе уравнений

. (1.34)

Введем функции и

.

Тогда и задача минимизации функционала сводится к задаче минимизации функционала

(1.35)

Уравнения Эйлера-Лагранжа будут иметь вид:

(1.36)

Так как не зависит от , то и . Значит .

Таким образом, множители Лагранжа в вариационной задаче с изопериметрическими условиями являются постоянными величинами, для определения которых имеется система (1.32). При этом система уравнений Эйлера-Лагранжа (1.36) может быть записана в виде

. (1.37)

Система управлений (1.37) должна решаться совместно с условиями (1.32) и граничными условиями, вытекающими из условия трансверсальности.

Пример. Рассматривая задачу минимизации волнового сопротивления

(1.38)

было показано, что уравнение оптимального профиля имеет вид

.

Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала (1.38) при условии и заданной площади профиля

. (1.39)

В данном случае и уравнение Эйлера-Лагранжа будет иметь вид

Таким образом, оптимальный профиль имеет параболическую форму. Параметры профиля находятся из граничных условий и условия (1.39)

2.9. Необходимое и достаточное условие относительного экстремума.

Рассмотрим некоторый функционал , где , и приращение его представим в виде

,

где - вторая вариация функционала, - величина более высокого порядка малости, чем , т.е. при и при . Безусловно, предполагается способ приближения к нулю заданным.

На экстремали , тогда .

Рассмотрим такую достаточно малую окрестность экстремали, что

.

Тогда знаки приращения и второй вариации совпадают.

Если , то , и если , то . Таким образом, если - величина более высокого порядка малости, чем , то для достижения относительно минимума необходимо и достаточно, чтобы

. (1.40)

2.10. Необходимое условие Лежандра

Рассмотрим задачу нахождения экстремума простейшего функционала

(1.41)

с закрепленными концами. Докажем, что для достижения относительного минимума необходимо

, (1.42)

а для максимума – условие

. (1.43)

Неравенства (1.42) и (1.43) называются условиями Лежандра. Используя формулу Тейлора, найдем

.

Предполагается, что отброшенные нелинейные члены более высокого порядка малости, чем . Тогда знак определяется знаком .

Используя равенства

;

,

для второй вариации получим выражение

.

Введем обозначения

Тогда представим в виде

.

Убедимся, что для достижения минимума , если он существует, необходимо . Для этого покажем, что если , то всегда можно найти такую функцию с кусочно-непрерывной производной, что , т.е. всегда можно построить такую кривую сравнения, что знак определится знаком непрерывной функции .

Пусть , т.е. достигается минимум функционала, и допустим, что в некоторой точке выполняется неравенство . Тогда в силу непрерывности Q по t в некоторой окрестности этой точки . Зададимся (рис. 9):

;

.

Тогда

при , и, следовательно, будем иметь:

.

Но , поэтому при достаточно малом, но положительном получим:

.

доказывается необходимость для достижения максимума. Эти необходимые условия максимума и минимума более сильны, чем уравнения Эйлера, которые не могут различать максимума от минимума. Условия Лежандра используются совместно с уравнениями Эйлера, и при помощи их различают максимум и минимум.

Если функция F зависит от нескольких аргументов, т.е. , то условие Лежандра значительно усложняется. Для минимума это запишется так:

, (1.44)

а для максимума

(1.45)

в каждой точке при произвольных . Так как эти условия неудобны для использования, их приводят к виду (условия Сильвестра)

(1.46)

Вопросы для контроля

1. Понятие функционала, виды функционалов.

2. Понятие меры близости функций, абсолютного и относительного минимума.

3. Необходимое условие относительного минимума.

4. Основная лемма вариационного исчисления.

5. Уравнение Эйлера (для заданного функционала).

6. Условие трансверсальности (для конкретного случая).

7. Условный экстремум, виды связей, методы решения.

8. Решение задачи при изопериметрических условиях.

9. Необходимые и достаточные условия относительного минимума.

10. Условие Лежандра.

Задачи

1. Найти экстремали функционалов:

2. Записать условие трансверсальности в задаче:

3. Найти кратчайшее расстояние между двумя кривыми:

.