![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
В этом случае
что противоречит условию (1.12) и доказывает лемму. 2.4. Простейшая задача вариационного исчисления, уравнение Эйлера. Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления. Среди непрерывно-дифференцируемых скалярных функций сравнения
![]() ![]()
где функция своих аргументов. Для решения задачи используем условие (1.11). Для этого приращение функционала (1.13)
воспользовавшись формулой Тейлора, представим в следующим виде
где Из выражения (1.14) следует, что
Поскольку решение мы ищем в классе непрерывно-дифференцируемых функций, то и вариации
Учитывая (1.16), представим
Тогда, подставляя (1.17) в (1.15) и интегрируя, получим
Так как все функции сравнения проходят через заданные точки
Теперь в силу произвольности
которое называется уравнением Эйлера. Уравнению Эйлера удовлетворяют кривые, доставляющие как относительный минимум, так и относительный максимум функционалу (1.13), поэтому для идентификации экстремума необходимы дополнительные исследования. Учитывая, что
То есть уравнение Эйлера – это дифференциальное уравнение второго порядка относительно Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Эйлера. 1. Функция
Откуда следует
Интегрируя его, найдем 2. В функцию Пример 1. Среди всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки
Подынтегральная функция Пример 2. Рассмотрим обтекание тонкого профиля (рис. 7) в линеаризованном сверхзвуковом потоке [2]. Пусть передняя кромка находится в начале координат
Так как
Замечание. При выводе уравнения Эйлера предполагали, что
Используя необходимое условие экстремума
Общее решение этой системы содержит
2.5. Уравнение Эйлера-Пуассона. Рассмотрим задачу поиска экстремума функционала
В этой задаче закрепленными являются значения функции Первую вариацию
учитывая формулы
и преобразуем к виду
Применяя основную лемму вариационного исчисления, получим Уравнение Эйлера – Пуассона:
Это уравнение четвертого порядка. Решения его зависит уже от 4-х констант, которые находятся из условия прохождения экстремали через заданные граничные точки.
2.6. Вариационные задачи с нефиксированными границами. Условие трансверсальности. При рассмотрении простейшей задачи вариационного исчисления предполагалось, что граничные точки A и B являются заданными. В прикладных задачах эти точки могут быть не фиксированы, т.е. 1. Координаты точек A и B свободны( 2. Точка A – задана, точка B свободна ( 3. Точка A задана, координаты т. B связаны зависимостью 4. Координаты точек A и B связаны совокупностью условий Могут рассматриваться и другие варианты. Однако общим для всех вариантов является наличие некоторой свободы в выборе параметров граничных точек. В этих случаях свободные параметры можно рассматривать как дополнительные управляющие параметры и доопределять их в процессе решения вариационной задачи. Как и ранее, найдем приращение функционала (1.13). При нефиксированных граничных условиях представим в следующем виде где Воспользовавшись формулой Тейлора и теоремой о среднем, получим
где Поскольку искомая экстремаль при нефиксированных граничных точках должна быть экстремалью и среди кривых сравнения, имеющих с нею общие граничные точки, она должна удовлетворять уравнению Эйлера и должно выполняться уравнение.
Тогда из (1.20) следует, что
В выражение (1.22), кроме независимых вариаций
![]()
или
Используя полученные соотношения, найдем из (1.22) и (1.11)
Полученное условие может быть использовано для определения оптимальных значений координат граничных точек. Оно называется условием трансверсальности и используется совместно с уравнением Эйлера. Рассмотрим некоторые частные условия трансверсальности. 1. Точки A и B заданы. В этом случае 2. Координаты 3. Точка A задана, а координаты точки B связаны зависимостью
и из условия трансверсальности получим недостающее условие
В том случае, когда y(t) – n – мерный вектор достаточно гладких функций, искомая экстремаль удовлетворяет системе уравнений Эйлера
а условие трансверсальности имеет вид:
Из условия трансверсальности можно получить систему соотношений для определения граничных значений
тогда соответствующая система уравнений в вариациях будет иметь вид:
Используя полученную систему линейных алгебраических уравнений (1.27), можно выразить
2.7. Вариационные задачи на условный экстремум. До сих пор мы рассматривали задачи поиска функций из заданного класса, доставляющих экстремум функционалу Обычно различают связи трех типов: а) голономные связи – связи, не содержащие производных искомых функций
б) неголономные связи – связи, содержащие производные искомых функций
в) изопериметрические (интегральные связи)
Вариационные задачи на условный экстремум при голономных и неголономных связях можно (теоретически) решить методом исключения зависимых переменных. Тогда задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный. Однако такой подход практически неприменим ввиду сложности процедур исключения зависимых переменных. Поэтому наибольшее распространение получил метод множителей Лагранжа. Рассмотрим применение этого метода в задаче минимизации функционала
при наличии связей
граничные условия будем считать заданными. В соответствие с методом Лагранжа вводится вспомогательный функционал
где
Однако в этом случае нельзя воспользоваться основной леммой вариационного исчисления, так как
тогда
В последнем выражении
Таким образом, для определения n+m функций
Уравнения (1.31) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа. Если граничные условия не заданы, система уравнений (1.31) дополняется условиями трансверсальности типа (1.25), в которых вместо F необходимо подставить H. В случае неголономных связей вариационные задачи решаются аналогично.
2.8. Вариационные задачи с изопериметрическими условиями. Рассмотрим задачу нахождения экстремума функционала (1.28) при наличии изопериметрических связей
где Такие связи не накладывают ограничений на вариации функций Вариационная задача с ограничениями (1.32) может быть сведена к задаче с неголономными связями, если ввести новые переменные
Из (1.33) следует, что вектор-функция
Введем функции
Тогда
Уравнения Эйлера-Лагранжа будут иметь вид:
Так как Таким образом, множители Лагранжа в вариационной задаче с изопериметрическими условиями являются постоянными величинами, для определения которых имеется система (1.32). При этом система уравнений Эйлера-Лагранжа (1.36) может быть записана в виде
Система управлений (1.37) должна решаться совместно с условиями (1.32) и граничными условиями, вытекающими из условия трансверсальности. Пример. Рассматривая задачу минимизации волнового сопротивления
было показано, что уравнение оптимального профиля имеет вид
Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала (1.38) при условии
В данном случае Таким образом, оптимальный профиль имеет параболическую форму. Параметры профиля
2.9. Необходимое и достаточное условие относительного экстремума. Рассмотрим некоторый функционал
где На экстремали Рассмотрим такую достаточно малую окрестность экстремали, что
Тогда знаки приращения Если
2.10. Необходимое условие Лежандра Рассмотрим задачу нахождения экстремума простейшего функционала
с закрепленными концами. Докажем, что для достижения относительного минимума необходимо
а для максимума – условие
Неравенства (1.42) и (1.43) называются условиями Лежандра. Используя формулу Тейлора, найдем
Предполагается, что отброшенные нелинейные члены более высокого порядка малости, чем Используя равенства
для второй вариации
Введем обозначения Тогда
Убедимся, что для достижения минимума Пусть
Тогда при
Но
![]() ![]() ![]() доказывается необходимость Если функция F зависит от нескольких аргументов, т.е.
а для максимума
в каждой точке
Вопросы для контроля
1. Понятие функционала, виды функционалов. 2. Понятие меры близости функций, абсолютного и относительного минимума. 3. Необходимое условие относительного минимума. 4. Основная лемма вариационного исчисления. 5. Уравнение Эйлера (для заданного функционала). 6. Условие трансверсальности (для конкретного случая). 7. Условный экстремум, виды связей, методы решения. 8. Решение задачи при изопериметрических условиях. 9. Необходимые и достаточные условия относительного минимума. 10. Условие Лежандра.
Задачи
1. Найти экстремали функционалов:
2. Записать условие трансверсальности в задаче: 3. Найти кратчайшее расстояние между двумя кривыми:
|