Обработка результатов экспериментов

УДК 519.65

Составитель Горяинов С.Б.

Планирование и проведение эксперимента:

Лекции по курсу «Планирование и проведение эксперимента»./ Самара, гос. аэрокосм. ун-т; Сост. Горяинов С.Б.

Самара, 2008. 56 стр.

Приведены основные сведения о планировании и проведении эксперимента, даны основы измерений основных параметров на основе существующих решений.

Лекции предназначены для студентов обучающихся по специальности 130300 – Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей и 131000 – Техническая эксплуатация авиационных электросистем и пилотажно-навигационных комплексов, а также может быть полезно студентам, интересующимся вопросами планирования и проведения экспериментов, а также для получения базовых знаний по конструкции измерителей физ. величин.

ТЕОРИЯ ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ИЗМЕРЕНИЯХ

1. Основные термины и определения

Эксперимент - метод изучения, при помощи которого в контролируе­мых и управляемых условиях исследуются определенные процессы и явления.

Любой эксперимент должен иметь три этапа:

-планирование эксперимента;

-проведение измерений и первичная обработка результатов;

-обработка и анализ полученных результатов.

План эксперимента - набор инструкций (правил) определяющий задачи эксперимента и практические приемы, обеспечивающие достоверное получение необходимой информации при минимуме затрат времени и ресурсов.

План должен содержать рекомендации по выбору приборов и их точно­сти, месту и способу их установки, обнаружению и устранению ошибок, обра­ботке и представлению данных полученных в результате эксперимента.

Классификация измерений

Измерение - это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерения с заданной точностью.

Различают следующие основные виды измерений:

-прямые;

-косвенные;

-совокупные;

-совместные.

Наибольший интерес представляют первые два вида, а совокупные и со­вместные измерения применяются, как правило, для метрологических исследо­ваний.

Прямыми измерениями называют такие измерения, при которых иско­мое значение величины находят непосредственно из опытных данных.

Прямые измерения могут проводиться следующими методами:

-метод непосредственной оценки — метод при котором значение изме­ряемой величины определяется непосредственно по шкале прибора прямого действия (измерение давления - манометром, температуры - термометром);

-дифференциальный метод — метод при котором на измерительный при­бор воздействует разность измеряемой величины и известной величины;

нулевой метод - метод в котором результирующий эффект воздействия величины на прибор доводят до нуля (измерение термоЭДС термопары - по­тенциометром);

-метод совпадения - метод в котором разность между измеряемой и из­вестной величиной измеряют, используя совпадения отметок шкал или перио­дических сигналов (измерение времени по сигналам точного времени).

Косвенными измерениями называют такие измерения, при которых зна­чение искомой величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами подвергаемыми прямым измерениям (например определение расхода в дроссельном расходомере по известным площадям, плотности и перепаду давления.

Средства измерения

Средства измерений - технические средства, применяемые для проведе­ния измерений и имеющие нормированные метрологические характеристики.

К средствам измерения относятся меры, измерительные приборы и пре­образователи, а также состоящие из них измерительные установки и системы.

Меры - средства измерений предназначенные для воспроизведения фи­зических величин заданного размера. Например, мера длины, вместимости, мас­сы и т.д.

Измерительный прибор - средство измерения, дающее возможность не­посредственно отсчитывать (регистрировать) значения измеряемой величины.

Измерительный преобразователь - средство измерения, преобразующее измеряемую физическую величину (перемещение, температуру, давление и т.д.) в сигнал (обычно электрический) для передачи обработки и регистрации.

Показателями качества измерительного прибора является его чувстви­тельность и порог чувствительности.

Чувствительность - это отношение изменения сигнала на выходе (например, угловое перемещение стрелки) к отклонению измеряемой величины.

Таким образом, чем больше делений шкалы приходится на единицу изме­ряемой величины, тем чувствительнее прибор.

Порог чувствительности - наименьшее изменение значения измеряемой величины, вызывающее перемещение указателя.

Погрешности измерений

Точность измерения - это степень приближения результатов измерения к истинному значению измеряемой величины.

Погрешность измерения - это количественная оценка точности измере­ния.

Погрешности измерения вызываются несовершенством метода и средств
измерения, непостоянством условий наблюдения, а также индивидуальными
особенностями наблюдателя.

В зависимости от закономерности проявления погрешности и измерений подразделяются на:

-случайные;

-систематические;

-грубые (промахи).

Случайная погрешность измерения - такая погрешность, которая изменя­ется случайным образом при проведении повторных измерений одной и той же величины.

Систематическая погрешность измерения - такая погрешность, значение которой в данном ряде измерений остается постоянным или закономерно изменяется.

Систематические и случайные погрешности при измерениях проявляются, как правило, совместно. Но их можно отделить друг от друга. Если после многократных испытаний тестовым сигналом нанести значения погрешностей на график, то окажется что для одного и того же уровня тестового сигнала погрешности определенные при повторных измерениях не совпадают, но группируются вокруг некоторых значений. Кривая, проведенная через среднее значение погрешностей дает графическое представление закона изме­нения систематической погрешности, а отклонения от этой кривой - случайные погрешности отдельных измерений.

При окончательной оценке результата измерения можно учесть система­тическую погрешность. На величину случайной, погрешности корректировку сделать нельзя, можно только оценить величину её возможных значений.

Грубая погрешность - такая погрешность измерения, величина которой существенно превышает по своему значению систематические или случайные погрешности. Погрешности измерительных приборов

Различают основную и дополнительную погрешности измерительных приборов.

Основная погрешность - такая погрешность, которая возникает у изме­рительного

прибора в нормальных условиях эксплуатации.

Дополнительная погрешность — такая погрешность, которая возникает при применении измерительного прибора в не предусмотренных условиях.

При математической оценке погрешностей различают: абсолютную, от­носительную, и приведенную.

Абсолютной погрешностью измерения Ах называется разность между из­меренным Хизм и истинным X значениями измеряемой величины.

Истинное значение измеряемой величины обычно неизвестно из-за отсут­ствия идеальных методов измерения. Поэтому на практике вместо него исполь­зуется действительное значение, полученное с помощью более точных средств измерения.

Относительная погрешность измерения 8 - это отношение абсолютной погрешности Ах измерения к измеренному значению Х_Изм.

Приведенная погрешность у - это отношение погрешности

измерительного прибора к нормирующему значению которое

обычно может быть равнодиапазону измерения

Причины, вызывающие погрешности измерения, и методы их устранения

Знание причин вызывающих погрешности измерения, позволяет провести работы по их устранению или разработать методы и измерительные приборы, сводящие влияние этих причин к минимуму.

При классификации по причинам вызвавшим погрешности можно выде­лить две группы: объективные и субъективные погрешности.

Объективная погрешность - погрешность, возникшая из-за несовершен­ства метода измерения, дефектов в элементах приборов и влияния внешних ус­ловий на процесс измерения.

Субъективная погрешность — такая погрешность, которая появляется в связи с физиологическими особенностями наблюдателя и качеством его рабо­ты.

Объективные погрешности подразделяются на статические и динамиче­ские.

Статическая погрешность - такая погрешность, которая появляется при измерении постоянной во времени величины.

Динамическая погрешность - такая погрешность, которая наблюдается при измерении переменной во времени величины или при переходе от измере­ния одного значения физической величины к другому.

Статические погрешности подразделяют на методические, инструмен­тальные и погрешности внешних влияний.

Методические погрешности вызываются несовершенством метода изме­рения.

Например, необходимо измерить мерный объем объемного расходомера, представляющий собой цилиндр. Это можно сделать несколькими методами:

-по измеренным высоте и диаметру цилиндра;

-по объему жидкости необходимому для заполнения мерного объема;

- по объему жидкости вытекающей из мерного объема.

Последний метод точнее, так как учитывает не только отклонения формы мерного объема от цилиндрической, но учитывает и уменьшение мерного объ­ема за счет жидкости, оставшейся на смачиваемых поверхностях цилиндра.

Инструментальные погрешности появляются из-за погрешностей средств измерения.

Основные виды инструментальных погрешностей:

-шкаловые погрешности (возникают из-за неточности установки, градуи­ровки шкалы и изменений в деталях прибора с течением времени);

-погрешности вызываемые трением;

-погрешности вызываемые наличием зазоров в опорах и подвижных со­единениях прибора (проявляются в виде непостоянства показаний прибора, при

постукивании стрелка может занимать различные положения в пределах неко­торого угла);

-погрешности от неуравновешенности подвижной системы прибора;

-ошибки гистерезиса (появляются у механических приборов с упругими чувствительными элементами - манометры, пружинные динамометры и элек­трических приборов с ферромагнитным магнитопроводом.

Погрешности внешних влияний — вызываются влиянием окружающей температуры и давления от которых зависят физические свойства материалов (электрическое сопротивление, модуль упругости) и линейные размеры деталей приборов, влажность и ионизирующее излучение, внешние магнитные и элек­трические поля искажающие магнитные и электрические поля приборов.

Влияющие физические величины — такие величины, которые не измеряют­ся данным прибором, но оказывают влияние на результаты измерений.

Динамические погрешности - такие погрешности, которые возникают при измерении величин изменяющихся с течением времени.

Динамическая погрешность равна разности между погрешностью средст­ва измерения в динамическом режиме и его статической погрешностью, соот­ветствующей измерению значения равной величины постоянной во времени.

Динамическая погрешность проявляется двояко. Во-первых, в виде дли­тельного успокоения подвижной части прибора, при переходе от измерения од­ного значения к другому, и, во-вторых, в виде завышения или занижения пока­заний прибора и отставания по времени в регистрации измеряемого процесса. Появление динамических погрешностей связано с инерционностью подвижных частей прибора.

Субъективные погрешности вызываются физиологическими особенно­стями наблюдателя, а также качеством его работы.

Так, например время реакции человека на звуковой сигнал составляет от 0,08 до 0,2 секунд. Время реакции на световое раздражение от 0,15 до 0,3 се­кунд, в зависимости от силы света. Длительность реакции при монокулярном зрении (одним глазом) больше, чем при бинокулярном.

В связи с тем, что время реакции на внешнее раздражение у людей не одинаково, то для уменьшения субъективной погрешности измерения отсчет необходимо вести одному и тому же лицу.

Кроме того погрешность отсчета зависит от индивидуальной оценки по­казания тем или иным наблюдателем и от положения наблюдателя относитель­но прибора. Например, если наблюдатель находится таким образом, что луч его зрения направлен не по нормали, а под некоторым углом зрения к шкале, то возникает дополнительная погрешность - называемая параллаксом.

Требования, предъявляемые к измерительным приборам

В настоящее время к приборам, используемым на авиационной технике предъявляется целый ряд требований:

-необходимая точность, обеспечивающая получение информации с тре­буемой достоверностью, и достаточный диапазон измерения;

-дистанционность - возможность установки указателя на расстоянии от датчика;

-надежность работы прибора при широком диапазоне изменения внешних условий, при высоких вибрациях и перегрузках и т.д.;

-возможность подключения к ЭВМ.

Большинству указанных требований отвечают приборы, в которых использованы электрические методы измерения неэлектрических величин.

Основные сведения о первичных электрических преобразователях

1. Реостатный преобразователь — это реостат, движок которого перемещается под действием измеряемой неэлектрической величины. Входной величиной является линейное или угловое перемещение движка, а выходной величиной - изменение сопротивления.

Конструктивно реостатный преобразователь представляет собой каркас из изоляционного материала, на который с равномерным шагом намотана проволока. Изоляция проволоки на верхней грани зачищена, и по проволоке скользит щетка движка.

Реостатные преобразователи чаще всего соединяются с чисто механическими приборами - мембранными манометрами, уровнемерами, угломерами, используются в качестве датчиков угловых и линейных перемещений. Реостатные преобразователи (за исключением преобразователей реохордного типа) являются преобразователями дискретного типа. Так как непрерывному изменению измеряемой величины соответствует ступенчатое изменение сопротивления, они обладают относительной погрешностью

где n - число витков обмотки (обычно не менее 100-200).

Реостатные преобразователи выполняются как с проволокой, намотанной на каркас, так и реохордного типа. Чаще всего используется проволока из различных сплавов платины, константана (сплав меди - основа с никелем «40% и марганцем «1,5%) и фехраля. Применение тонкой проволоки позволяет получить преобразователи с габаритами до 5x5 мм.

Включение реостатного преобразователя в измерительную цепь чаще всего происходит в виде управляемого делителя напряжения, или в измерительный мост.

2. Тензометрический преобразователь

(тензометр или тензорезистор) - преобразователи в основе работы, которых лежит свойство тензоэффекта, заключающееся в изменении сопротивления проводников и полупроводников при их механической деформации. Конструкция преобразователя представляет собой тонкую проволоку (0 0,02 - 0,05 мм), наклеенную зигзагообразно на бумагу или пленку. К концам проволоки припаиваются выводные медные проводники.

Тензометр наклеивается на исследуемую деталь и воспринимает деформации ее поверхностного слоя. Слой клея между деталью и тензометром должен быть не более нескольких сотых миллиметра, чтобы не искажать величины измеряемых деформаций. Основными параметрами тензометра являются база / = 2,5 - 150 мм, ширина b = 3 - 50 мм и электрическое сопротивление RT=30-T500 ОМ.

К материалу проволоки тензометра предъявляются следующие требования:

-минимальный температурный коэффициент сопротивления, т.к. относительное изменение сопротивления из-за деформации редко бывает более 0,7% и температурные погрешности могут быть весьма существенны;

- большое удельное сопротивление, что позволяет делать тензометры малых размеров.

Кроме проволочных тензометров применяются также фольговые и пленочные. Фольговые представляют собой ленту из фольги толщиной 4-12 мкм, на которой часть фольги выбрана травлением таким образом, что оставшаяся часть образует зигзагообразную решетку. Пленочные тензометры изготовляются путем напыления тензочувствительного материала, могут иметь толщину менее 1 мкм. Фольговые и пленочные тензометры могут иметь малые габариты (база до 0,8 мм).

При изменении температуры погрешность возникает по двум причинам, во первых из-за изменения сопротивления при изменении температуры, а во вторых из-за разницы температурных коэффициентов линейного расширения материала детали и проволоки.

Как правило, включение тензометров в измерительную цепь осуществляется по мостовой схеме. Такая схема используется для регистрации как статических, так и динамических составляющих.

Для компенсации температурной погрешности тензометра, в одно плечо моста включается рабочий тензометр с сопротивлением Rт, в соседнее плечо - такой же преобразователь RT', наклеенный на материал из которого изготовлена деталь и находящийся в таких же температурных условиях как и рабочий.

При температурах до 200°С материал проволоки - константан, при более высоких температура (до 550°С) платиновольфрамовый сплав. Ограничение рабочей температуры тензометра накладывается, прежде всего, свойствами клея.

3. Индуктивный преобразователь - это преобразователь в виде катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником, индуктивность которой изменяется пропорционально измеряемой величине, изменяющей положение сердечника в катушке, или магнитную проницаемость сердечника. При изменении положения сердечника изменяется индуктивность катушки (рисунок а).

При деформации ферромагнетиков изменяется их магнитная проницаемость, этот эффект называется магнито-упругим и используется в преобразователях для измерения сил и давлений (рисунок б).

4. Емкостный преобразователь - представляют собой конденсаторы, емкость которых изменяется за счет величины зазора между обкладками, диэлектрической проницаемости среды или площади поверхности обкладок.

Применяются для измерения перемещений, давлений, вибрации, уровня жидкости.

Приведенная схема с изменяемым зазором между обкладками применяется для измерения малых перемещений (10 - 10" м). Преобразователи с переменной площадью применяются для измерения перемещений превышающих 1 мм.

Недостатком емкостных преобразователей является наличие погрешностей вызванных паразитными емкостями соединительных проводов, для уменьшения паразитных емкостей соединительные провода экранируют.

Наибольшее применение емкостные преобразователи получили для измерения малых перемещений, и величин, легко преобразуемых в перемещение, например давление. Современные технологии изготовления датчиков позволяют получить порог чувствительности по перемещению порядка 10'14 м.

5. Пьезоэлектрические преобразователи.

Работа пьезоэлектрических преобразователей основана на том, что на поверхности кристаллов ряда веществ (кварц, сегнетова соль, титанат бария, фосфат аммония) возникает электрический потенциал, при растяжении или сжатии в определенном направлении (перпендикулярно оптической оси).

Наибольшее применение находит кварц, т.к. он обладает высокой механической прочностью, хорошими изоляционными качествами и независимостью пьезоэлектрических характеристик от изменения температуры в широких пределах (до 530°С - точка Кюри).

Датчик акселерометра

Пьезоэлектрические преобразователи применяются для измерения переменных усилий, давлений, а также вибраций. Они могут быть выполнены с высокой собственной частотой колебаний (до 40-50 кГц), что позволяет регистрировать быстропеременные процессы. Для регистрации постоянных величин не применяются из-за неизбежных утечек электрических зарядов с поверхности кристалла.

Достоинствами пьезоэлектрических преобразователей являются малые габариты, простота конструкции, надежность, высокая точность преобразования механических напряжений в электрический заряд.

6. Вибрационно-частотные преобразователи

Принцип действия вибрационно-частотного преобразователя основан на измерении частоты колебаний упругой перемычки, которая изменяется под действием внешней (измеряемой силы).

При воздействии сжимающей силы F на упругое кольцо, упругая перемычка растягивается, а, следовательно, меняется и частота ее собственных колебаний. Колебания перемычки возбуждаются возбуждающим генератором и воспринимаются электромагнитным преобразователем посылающим сигналы в измерительную цепь.

Вибрационно-частотные преобразователи применяются для измерения усилий и давления, обладают высокой точностью, и имеют широкий диапазон измерений.

Недостатком преобразователя является сильная зависимость от изменения температуры, и сильное искажение показаний при наличии посторонних вибраций.

Обработка результатов экспериментов

Определение вероятных погрешностей и исключение грубых погрешностей

Для определения вероятных погрешностей используется аппарат теории вероятностей, так как случайные погрешности обладают всеми свойствами слу­чайных явлений.

Из-за влияния множества принципиально неустранимых факторов вызы­вающих случайные погрешности, результат каждого отдельного измерения Аi будет отличаться от истинного значения X измеряемой величины.

Разность между истинным значением величины и её измеренным значе­нием и будет случайной погрешностью.

Аi - X =Δxi

Истинное значение величины нам неизвестно. Но при проведении боль­шого числа измерений, можно на основании теории вероятностей обнаружить следующие статистические закономерности:

-средние результаты измерений исследуемой величины практически по­стоянны при большом числе измерений;

-вероятность появления как положительных так и отрицательных откло­нений от среднего результата практически одинакова;

- вероятность появления больших отклонений значительно меньше веро­ятности появления малых отклонений.

Эти закономерности справедливы только при многократном повторении и после математической обработки результатов получается не абсолютно досто­верный, а только наиболее вероятный результат - этим результатом будет яв­ляться математическое ожидание ряда измерений А .

Таким образом, при большом количестве измерений случайные погрешности отдельных измерений описываются нормальным законом распределения (закон Гаусса).

Аналитическое выражение закона:

где Ai - результат отдельного измерения;

А - математическое ожидание значения измеряемой величины;

f(x) - плотность вероятности появления случайной ошибки;

Axi - отклонение результата i-того измерения от математического

ожидания (от среднего арифметического);

а - среднее квадратичное отклонение.

где n - число измерении.

Если формулу 1 изобразить графически, то получится следующая колообразная кривая, с максимумом в точке соответствующей Ах =0.

Полная площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс равна 1, это следует из того, что вероятность получения погрешности, лежащей в интервале от -∞ до +∞ равна 1.

Проинтегрировав выражение 1 можно определить вероятность того, что случайная погрешность измерения не превысит ΔХ.

Таким же образом можно определить вероятность того, что погрешность не превысит За. Это правило трех сигм.

т.е. с вероятностью 99,73% любая случайная погрешность находится в

пределах ±3σ.

При обработке данных эксперимента оперируют отклонениями от среднего арифметического εi=Ai-A не случайными погрешностями отдельных измерений Δxi=Ai-X, так как нам не известно, истинное значение измеряемой величины.

A - среднее арифметическое по результатам n измерений.

где ΣA - сумма величин полученных в процессе измерения.

Для того, чтобы выяснить не содержит ли какое либо из n измерений грубой погрешности, необходимо сравнить отклонение i-того измерения от среднего арифметического значения А, и величину трех сигм. Т.е. если εi> ЗσΣ, то измерение содержит грубую погрешность, и его необходимо исключить, и провести повторные расчеты.

Однако использование Зσ в качестве критерия наличия грубой погрешности, наиболее эффективно при большом числе опытов (не менее 10 измерений). Поэтому на практике часто используется критерий Шовене. В этом случае за максимальную погрешность отдельного измерения принимают такую, которая превышает критерий Шовене, равный произведению коэффициента Z зависящего от количества измерений на среднее квадратичное отклонение а.

Km=Z*σ

Коэффициент Z зависит от числа измерений.

МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В ФОРМЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Аппроксимация от лат. approximo - приближаюсь.

Аппроксимация - это обобщение единой функциональной зависимостью отдельных точек полученных в результате проведения эксперимента. Т.е. подбор по возможности простых аналитических функций с достаточной степенью точности отражающих экспериментально полученные зависимости.

Полученные таким образом формулы называются эмпирическими.

При нахождении эмпирических формул применяются два метода - линейной и нелинейной аппроксимации.

Линейная аппроксимация заключается в разбиении сложной криволинейной зависимости на ряд участков с последующей заменой этих участков отрезками прямой. Если число участков разбиения очень велико, то аппроксимирующая ломанная с достаточно хорошим приближением отражает экспериментальную кривую. На практике число участков выбирается небольшим (3-5), что делает метод грубым, однако простота анализа делает возможным применение такого метода.

Нелинейная аппроксимация применяется при более сложных инженерных расчетах и заключается в подборе и замене нелинейными функциями полученных экспериментальных зависимостей.

В качестве аппроксимирующих функций наиболее часто встречаются экспоненциальные функции и степенные полиномы в следующем виде:

Такой вид формулы удобен для анализа, его члены легко дифференцируются и интегрируются.

Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов полинома (а0, а1 а2...аm). Неизвестных коэффициентов должно быть меньше чем количество заданных точек.

Рассмотрим два метода аппроксимации - метод наименьших квадратов и метод среднеарифметического.

Метод среднеарифметического - суть метода заключается в том, что сумма отклонений точек расположенных с одной стороны графика равна сумме отклонений точек расположенных с другой стороны.

Отклонение εi это разница между значением функции по обобщающему полиному и ее экспериментальным значением по одному значению х.

Имеющуюся систему из n уравнений разбивают на подгруппы, причем количество подгрупп равно количеству неизвестных коэффициентов степенного полинома (m+1). Полученную таким образом систему из (m+1) уравнений решаем совместно и находим неизвестные коэффициенты.

Недостатком метода является то, что его нельзя использовать при ограниченном количестве экспериментальных точек n. Метод наименьших квадратов - суть метода состоит в том, что коэффициенты степенного полинома находятся таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от графика аппроксимирующей функции была минимальна.

Возводим в квадрат все уравнения и складываем - находим сумму квадратов отклонений.

Коэффициенты а0, а1 аn определяются из условия

Чтобы выполнить это условие, необходимо взять частные производные от функции F по всем коэффициентам и приравнять каждую из них нулю.

В результате дифференцирования получили систему из (m+1) уравнений, с (m+1) неизвестным коэффициентом. Система линейна, в результате решения находятся неизвестные коэффициенты.