Логические функции одной переменной

Переключательные функции

Основные понятия

Логическая переменная - это такая величина, которая может принимать только два значения: 0 или 1.

Логическая функция (второе название - переключательная функция) - это функция видаf(x1, x2, x3, …, xn), которая так же, как и ее аргумент (x1, x2, x3, …, xn) может принимать лишь два значения: 0 или 1.

При технической реализации переключательных функций логические переменные x1, x2, x3, …, xn отождествляются с входными сигналами логических элементов, а значения функции y=f(x1, x2, …, xn) - с выходными сигналами.

Логические элементы в общем случае должны иметь не менее одного входа и не менее одного выходов. Верхняя граница на количество входов и выходов теоретически равна бесконечности. Любую логическую функцию можно задать при помощи таблицы истинности. Задать логическую функцию - это означает указать значение функции (0 или 1) при всех возможных комбинациях значений аргументов.

Каждую конкретную комбинацию значений аргументов называют набором. При n аргументах существует 2ⁿ наборов. Для краткости набор записывают в виде двоичного числа, цифрами которого являются значения переменных, расположенных в определенном порядке. Двоичное число, представляющее набор, называют номером набора и обозначают α (альфа).

При n аргументах совокупность всех значений функции на 2ⁿ наборах содержит 2ⁿ нулей и единиц. Каждой функции соответствует своя комбинация этих 2ⁿ значений. Общее количество всех возможных функций n аргументов (т. е. Количество различных комбинаций из 2ⁿ нулей и единиц) определяется числом N=(2ⁿ)ⁿ .

Логические функции одной переменной

Все возможные функции одной переменной приведены в следующей таблице:

Из таблицы видно, что:

Функция f0(x) является константой нуля (она равна нулю при любых значениях x).

Функция f3(x) является константой единицы (она равна единице при любых значениях x).

Функция f1(x), повторяющая значения логической переменной - тождественная функция.

Функция f2(x), противоположная по своим значениям x - логическое отрицание или функция НЕ ( f2(x) = x ). Логическая функция НЕ реализуется логическим элементом НЕ, представляющим собой логический инвертирующий ключ (инвертор).

Так как в нашем случае n=1, то число наборов переменных 2ⁿ = 2, а число переключательных функций N = (2ⁿ)ⁿ = 4.