Основные определения. Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции f(х) n-мерного

Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции f(х) n-мерного векторного аргументах. В дальнейшем под x будем понимать вектор-столбец (точку в n-мерном пространстве):

(7.1)

Вектор-строка получается путем применения операции транспонирования:

. (7.2)

Оптимизируемую функцию f(x) называют функцией или критерием оптимальности.

В дальнейшем без ограничения общности будем говорить о поиске минимального значения функции f(x) записывать эту задачу следующим образом: . Вектор х*, определяющий минимум целевой функции, называют оптимальным.

Отметим, что задачу максимизации f(x) можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот. Рассмотрим это на примере функции одной переменной (рис. 7.1). Если х* ‑ точка минимума функции y = f(x), то для функции y =‑ f(x) она является точкой максимума, так как графики функций f(x) и ‑ f(x), симметричны относительно оси абсцисс. Итак, минимум функции f(x) и максимум функции ‑ f(x) достигаются при одном и том же значении переменной. Минимальное же значение функции f(x), равно максимальному значению функции - f(x), взятому с противоположным знаком, т.е. min f(x) =‑max(f(x)).

Рассуждая аналогично, этот вывод нетрудно распространить на случай функции многих переменных. Если требуется заменить задачу минимизации функции f(x₁, …, x_n) задачей максимизации, то достаточно вместо отыскания минимума этой функции найти максимум функции f(x₁, …, x_n). Экстремальные значения этих функций достигаются при одних и тех же значениях переменных. Минимальное значение функции f(x₁, …, x_n) равно максимальному значению функции - f(x₁, …, x_n),взятому с обратным знаком, т.е. min f(x₁, …, x_n) =max f(x₁, …, x_n). Отмеченный факт позволяет в дальнейшем говорить только о задаче минимизации.

Рис. 7.1 – Экстремум функции одной переменной

В реальных условиях на переменные x_j, i=1, …. n, и некоторые функции g_i (х), h_i(х), характеризующие качественные свойства объекта, системы, процесса, могут быть наложены ограничения (условия) вида:

g_i (х) = 0,i=1, …. n,

h_i (х) <= 0,i=1, …. n, (7.3)

a <= x <= b,

где

; (7.4)

Такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации.

Каждая точка х в n-мерном пространстве переменных х₁, …, х_n, в которой выполняются ограничения, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называют допустимой областью G. Решением задачи (оптимальной точкой) называют допустимую точку х*, в которой целевая функция f(х) достигает своего минимального значения.

Точка х* определяет глобальный минимум функции одной переменной f(x), заданной на числовой прямой Х , если x ^* X и f(x^*) < f(x) для всех x^* X (рис. 7.2, а). Точка х* называется точкой строгого глобального минимума, если это неравенство выполняется как строгое. Если же в выражении f(х*) <= f(x) равенство возможно при х, не равных х*, то реализуется нестрогий минимум, а под решением в этом случае понимают множество х* = [x^* X: f(x) = f(x^*)] (рис. 7.2, б).

Рис. 7.2 ‑ Глобальный минимум. а ‑ строгий, б ‑ нестрогий

Точка х* Х определяет локальный минимум функции f(x) на множестве Х , если при некотором достаточно малом e > 0 для всех х, не равных х*, x X, удовлетворяющих условию ¦х ‑ х*¦<= e, выполняется неравенство f(х*) < f(х). Если неравенство строгое, то х* является точкой строгого локального минимума. Все определения для максимума функции получаются заменой знаков предыдущих неравенств на обратные. На рис. 7.3 показаны экстремумы функции одной переменной f(х) на отрезке [a, b] . Здесь х₁, х₃, х₆ - точки локального максимума, а х₂, х₄ - локального минимума. В точке х₆ реализуется глобальный максимум, а в точке х₂ - глобальный минимум.

Рис. 7.3 ‑ Экстремумы функции