Определенный интеграл

Справочный материал

1. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьем произвольным образом этот отрезок точками a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b на n частичных отрезков длиной Δx_i=x_i-x_i-1, i=1, n. Выберем в каждом из них точку с_i. Сумма вида

(1)

называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b].

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называют предел интегральной суммы (1)при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δx_i стремится к нулю:

(2)

f(x) – подынтегральная функция

[a; b] – отрезок интегрирования

a и b – нижний и верхний пределы интегрирования

- длина наибольшего частичного отрезка.

Геометрический смысл определенного интеграла: Если f(x)≥0 , то определенный интеграл от непрерывной функции y=f(x) равен площади криволинейной трапеции, заключенной под графиком функции y=f(x) на отрезке [a; b]:

(3)

2. Свойства определенного интеграла:

1° - определенный интеграл не зависит от обозначения переменной;

2° 3°

4° 5°

6° 7°

8° Если f(x) ≤ g(x), то

- (неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать).

9° Если m, M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a; b], то

- оценка интеграла.

10° Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на [a; b], то :

3. Формула Ньютона – Лейбница.Если F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(x), то

(4)

т.е. определенный интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования.