Аналитический способ

При наличии прямоугольных координат X и Y вершин n -угольника его площадь можно вычислить по формулам аналитической геометрии; выведем одну из таких формул.

Пусть в треугольнике ABC координаты вершин равны X1 , Y1 (A), X2, Y2 (B) и X3, Y3 (C) - рис.6.2.

Рис.6.2

Из вершин треугольника опустим перпендикуляры на оси координат и обозначим их длину, как показано на рис.6.2.

Площадь треугольника P будет равна сумме площадей двух трапеций I(aABc) и II(bBCc) за вычетом площади трапеции III(aACc)

P=PI+PII-PIII. (6.9)

Выразим площадь каждой трапеции через ее основания и высоту:

PI=0.5(X1+X2)*(Y1-Y2);
PI=0.5(X2+X3)*(Y3-Y2); (6.10)
PI=0.5(X3+X1)*(Y1-Y3);

Чтобы избавиться от множителя 0.5, будем вычислять удвоенную площадь треугольника. Выполним умножение, приведем подобные члены, вынесем общие множители за скобки и получим:

2*P=X1*(Y2-Y3)+X2*(Y3-Y1)+X3*(Y1-Y2)

или в общем виде:

(6.11)

В этой формуле индекс "i" показывает номер вершины треугольника; индекс "i" означает, что нужно брать следующую или предыдущую вершину (при обходе фигуры по часовой стрелке).

Если при группировке членов выносить за скобки Y1, то получится формула:

(6.12)

Вычисления по обоим формулам дают одинаковый результат, поэтому на практике можно пользоваться любой из них.

Хотя формулы (6.11) и (6.12) выведены для треугольника, нетрудно показать, что они пригодны для вычисления площади любого n - угольника.

Оценка точности площади. В большинстве случаев участки на местности имеют форму неправильного n - угольника, причем количество вершин многоугольника n может быть от 30 до 20 и более. Площадь таких участков вычисляют аналитическим способом по прямоугольным координатам вершин, которые, в свою очередь, определяют в результате обработки геодезических измерений. При этом для каждой вершины многоугольника получают координаты и ошибку ее положения относительно исходных пунктов, задающих систему координат на местности.

Выведем формулу для оценки площади многоугольника по известным внутренним углам, длинам его сторон и ошибкам положения mti его вершин.

На рис.6.3 изображен фрагмент многоугольника с вершинами i-1, i, i+1, i+2 и сторонами li-1,li,li+1.

Проведем на вершинах i и i+1 окружности радиусами mti и mt(i+1) и построим биссектрисы углов βi и βi+1. Затем восстановим перпендикуляры к стороне li и найдем проекции отрезков mti и mt(i+1) на эти перпендикуляры:

(6.13)

(6.14)

Рис.6.3

Построим трапецию, основаниями которой являются отрезки mi и mi+1, а высотой - сторона li и найдем площадь этой трапеции ΔPi. Как известно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, а поскольку основаниями трапеции являются проекции ср.кв. ошибок, то вместо полусуммы нужно взять квадратичную полусумму оснований; таким образом,

(6.15)

где

c = Sin( β/2 ) .

Площадь трапеции, построенной на одной стороне многоугольника, является частью ошибки площади всего многоугольника; выполнив квадратичное суммирование площадей ΔPi по всем сторонам, получим:

или

(6.16)

Из формулы (6.16) можно получить формулу средней квадратической ошибки площади правильного многоугольника с одинаковой ошибкой положения mt всех его вершин:

mP=an * mt * L, (6.17)

где: L - периметр многоугольника,
an - коэффициент, зависящий от n - количества вершин;

его значения:

Формула (6.17) является базовой и при оценке площади неправильных n-угольников, для которых ошибка площади mp оказывается лишь на несколько процентов больше, чем для правильного n - угольника. Так, если площадь неправильного n - угольника при том же периметре в два раза меньше площади правильного n-угольника, то ошибка его площади увеличивается лишь на 20 %.

При неодинаковых ошибках положения вершин многоугольника в формуле (6.17) достаточно вместо mt поставить mt(ср).

Примером применения формулы (6.17) является оценка площади участков, координаты вершин которых получены с топографических планов. Например, для плана масштаба 1:2000 ошибку положения точек можно принять равной mt = 0.50 мм * M = 1 м (при условии, что основа плана достаточно жесткая и ее деформацией можно пренебречь). При площади участка 0.12 га и количестве вершин n=4 (5 или 6) средняя квадратическая ошибка его площади при правильной форме (периметр L = 140 м) будет равна 35 кв.м, а при неправильной форме (периметр L>140 м) она может достигать 40 кв.м.

Другим примером применения формулы (6.17) может служить оценка площади многоугольника, координаты вершин которого получены из полярной засечки, выполненной с одного пункта-станции.

При использовании точных приборов (электронных тахеометров или систем GPS) доля ошибок измерений в ошибке положения точек значительно меньше доли ошибки их фиксации mф на местности. Приняв mti= mф, можно использовать формулу (6.17) для любых способов получения координат вершин многоугольника.

Площадь правильного n-угольника можно выразить через его периметр:

(6.18)

И из формулы (6.17) получить формулу относительной ошибки площади:

(6.19)

где

(6.20)

Например:

для треугольника (n=3) mp/P = 4.24* mt/L,

для четырехугольника (n=4) mp/P = 4.00* mt/L,

для пятиугольника (n=5) mp/P = 3.72 mt/L,

для шестиугольника (n=6) mp/P = 3.46 mt/L.

Таким образом, для приближенной оценки площади 3-4-5-6- угольника в аналитическом способе можно применять формулу:

mp/P=4* mt/L; (6.21)

ошибка этой формулы может достигать 15% - 20% для участков, форма которых заметно отличается от формы правильного n -угольника.