Глава 10. Природа математики.

«Структура реальности», которую я описывал до сих пор, была структурой физической реальности. Тем не менее, я свободно ссылал­ся на такие категории, которых нет нигде в физическом мире, — аб­стракции, такие как числа и бесконечные множества компьютерных программ. Да и сами законы физики нельзя отнести к физическим ка­тегориям в том смысле, в каком к ним относятся камни и планеты, Как я уже сказал, «Книга Природы» Галилео — всего лишь метафора. И кроме того, существует вымысел виртуальной реальности, несущест­вующие среды, законы которых отличаются от реальных физических законов. За пределами этих сред находится то, что я назвал средами «Кантгоуту», которые невозможно передать даже в виртуальной реаль­ности. Я сказал, что существует бесконечно много таких сред для каж­дой среды, которую можно передать. Но что значит сказать, что такие среды «существуют»? Если они не существуют ни в реальности, ни да­же в виртуальной реальности, то где они существуют?

А существуют ли абстрактные нефизические категории вообще? Являются ли они частью структуры реальности? В данной ситуации меня не занимают проблемы простого использования слов. Очевидно, что числа, физические законы и т. д. действительно «существуют» в не­котором смысле и не существуют в другом. Независимо от этого воз­никает следующий вопрос: как мы должны понимать такие категории? Какие из них являются всего лишь удобной формой слов, которые, в ко­нечном счете, ссылаются на обычную физическую реальность? Какие из них всего лишь преходящие особенности нашей культуры? Какие из них произвольны, как правила банальной игры, которые нужно толь­ко посмотреть в приложении? А какие, если такие вообще есть, мож­но объяснить только, если приписать им независимое существование? Все, что относится к последнему виду, должно быть частью структуры реальности, как она определяется в этой книге, потому что это необхо­димо понять, чтобы понять все, что понято.

Это говорит о том, что нам снова следует воспользоваться критери­ем доктора Джонсона. Если мы хотим знать, действительно ли сущест­вует данная абстракция, мы должны спросить, «дает ли она ответную реакцию» сложным, автономным образом. Например, математики ха­рактеризуют «натуральные числа» 1, 2, 3,... — прежде всего — точным определением:

1 — это натуральное число.

За каждым натуральным числом следует только одно число, кото­рое также является натуральным.

1 не следует ни за каким натуральным числом.

Подобные определения — это попытки абстрактного выражения интуитивного физического понятия последовательных значений дис­кретной величины. (Точнее, как я объяснил в предыдущей главе, в дей­ствительности это понятие является квантово-механическим). Ариф­метические действия, например, умножение и сложение, а также по­следующие понятия, подобные понятию простого числа, в этом случае определяют, ссылаясь на «натуральные числа». Но создав абстрактные «натуральные числа» через это определение и поняв их через эту ин­туицию, мы обнаруживаем, что осталось гораздо больше того, что мы все еще не понимаем о них. Определение простого числа раз и навсегда устанавливает, какие числа являются простыми, а какие не являются. Но понимание того, какие числа являются простыми, — например, про­должается ли последовательность простых чисел бесконечно, как они сгруппированы, насколько и почему они «случайны», — влечет за со­бой новое понимание и изобилие новых объяснений. В действительнос­ти оказывается, что сама теория чисел — это целый мир (этот термин используют часто). Для более полного понимания чисел мы должны определить множество новых классов абстрактных категорий и посту­лировать много новых структур и связей между этими структурами. Мы обнаруживаем, что некоторые подобные структуры связаны с ин­туицией другого рода, которой мы уже обладаем, но которая вопреки этому не имеет ничего общего с числами — например, симметрия, вра­щение, континуум, множества, бесконечность и многое другое. Таким образом, абстрактные математические категории, с которыми, как нам кажется, мы знакомы, тем не менее, могут удивить или разочаровать нас. Они могут неожиданно возникнуть в новых нарядах или масках. Они могут быть необъяснимы, а впоследствии подойти под новое объяснение. Таким образом, они являются сложными и автономными, и, сле­довательно, по критерию доктора Джонсона, мы должны сделать вывод об их реальности. Поскольку мы не можем понять их ни как часть себя, ни как часть чего-либо еще, что мы уже понимаем, но можем понять их как независимые категории, следует сделать вывод, что они являются реальными, независимыми категориями.

Тем не менее, абстрактные категории неосязаемы. Они не дают ответной физической реакции так, как это делает камень, поэтому экс­перимент и наблюдение не могут играть в математике такую же роль, какую они играют в науке. В математике такую роль играет доказа­тельство. Камень доктора Джонсона оказал ответное воздействие тем, что в его ноге появилась отдача. Простые числа оказывают ответное воздействие, когда мы доказываем что-то неожиданное относительно них, особенно, если мы можем пойти дальше и объяснить это. С тра­диционной точки зрения ключевое различие между доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство не ссылается на физический мир. Мы можем осуществить доказательство в своем соб­ственном разуме или внутри генератора виртуальной реальности, ко­торый передает среду с неправильной физикой. Единственное условие заключается в том, что мы следуем правилам математического вывода, а потому должны получить тот же самый ответ, что и кто-либо еще. II вновь широко распространено мнение, что, не считая возможности появления грубых ошибок, когда мы доказали что-либо, мы абсолютно определенно знаем, что это истина.

Математики весьма гордятся этой абсолютной определенностью, а ученые склонны немного этому завидовать. Дело в том; что в науке невозможно быть определенным относительно какого-либо высказыва­ния. Неважно, насколько хорошо чьи-либо теории объясняют существу­ющие наблюдения, в любой момент кто-то может предоставить новое, необъяснимое наблюдение, которое поставит под сомнение всю сущест­вующую объяснительную структуру. Хуже того, кто-то может достичь лучшего понимания, которое объясняет не только все существующие наблюдения, но и то, почему предыдущие объяснения казались подхо­дящими, но, несмотря на это, были весьма ошибочными. Галилео, на­пример, обнаружил новое объяснение векового наблюдения, что земля под нашими ногами находится в состоянии покоя, объяснение, которое влекло за собой идею о том, что в действительности земля движется. Виртуальная реальность — которая может сделать так, что одна среда будет казаться другой — подчеркивает тот факт, что когда наблюдение выступает как высший судья теорий, никогда не может возникнуть хоть какая-то определенность, что существующее объяснение, каким бы очевидным оно ни было, хотя бы отдаленно является истиной. Но когда в качестве судьи выступает доказательство, определенность счи­тается возможной.

Говорят, что правила логики впервые сформулировали, надеясь, что они обеспечат объективный и обоснованный метод разрешения всех споров. Эту надежду невозможно оправдать. Изучение самой ло­гики открыло, что область действия логической дедукции как сред­ства раскрытия истины жестко ограничена. При наличии существу­ющих допущений о мире можно сделать выводы дедуктивно; но эти выводы ничуть не более обоснованны, чем допущения. Единственные высказывания, которые может доказать логика, не прибегая к допу­щениям, — это тавтологии — такие утверждения, как «все плане­ты — это планеты», которые ничего не утверждают. В частности, все реальные научные вопросы находятся за пределами той области, где можно уладить споры с помощью одной логики. Однако счита­ется, что математика находится в пределах этой области. Таким об­разом, математики ищут абсолютную, но абстрактную истину, в то время как ученые утешают себя мыслью, что они могут обрести ре­альное и полезное знание физического мира. Но они должны при­нять, что это знание не имеет гарантий. Оно вечно экспериментально и вечно подвержено ошибкам. Идея о том, что науку характеризу­ет «индукция», метод доказательства, который считается аналогом дедукции, но чуть более подверженным ошибкам, — это попытка извлечь все возможное из этого постижимого второсортного стату­са научного знания. Вместо дедуктивно доказанных определенностей, возможно, мы удовольствуемся индуктивно доказанными «почти-определенностями».

Как я уже сказал, не существует такого метода доказательст­ва как «индукция». Идея доказательства каким-то образом достигну­той «почти-определенности» в науке — миф. Каким образом я мог бы «почти-определенно» доказать, что завтра не опубликуют удивитель­ную новую физическую теорию, опровергающую мои самые неоспори­мые допущения относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора виртуальной реальности? Но я говорю все это не для того, чтобы показать, что научное знание действительно «второсортно». Ибо идея о том, что математика дает определенности - это тоже миф.

С древних времен идея о привилегированном статусе математи­ческого знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные категории, по крайней мере, не просто являются частью структуры реальности, но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что регулярности в природе есть выражение матема­тических отношений между натуральными числами. «Все вещи есть числа» — таков был его девиз. Он не имел это в виду буквально, одна­ко Платон пошел еще дальше и отрицал реальность физического мира вообще. Он считал, что наши мнимые ощущения этого мира ничего не стоят и вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления, которые мы понимаем, — всего лишь «тени» несовершен­ных копий их истинных сущностей («Форм» или «Идей»), существую­щих в отдельной области, которая и есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют Формы чистых чисел, таких, как 1, 2, 3, ... , и Формы математических действий, таких, как сложе­ние и умножение. Мы можем воспринять некоторые тени этих Форм, когда кладем на стол одно яблоко, потом еще одно и видим, что на столе два яблока. Однако яблоки выражают «наличие одного» и «наличие двух» (и, в данном случае, «наличие яблок») несовершенно. Они не являются совершенно идентичными, а потому, в действительности на столе ни­когда нет двух примеров чего-либо. На это можно возразить, что число два можно также представить, положив на стол два различных объекта. Но и такое представление несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух. В отличие от Пифагора. Платон занимался не только на­туральными числами. Его реальность содержала Формы всех понятий. Например, она содержала Форму совершенного круга. «Круги», которые мы видим, никогда не являются действительно кругами. Они не совер­шенно круглые, не совершенно плоские; у них есть конечная толщина и т.д. Все они несовершенны.

Затем Платон указал задачу. Принимая во внимание все это Зем­ное несовершенство (и он мог бы добавить, наш несовершенный сен­сорный доступ даже к Земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но каким образом? Где Евклид приобрел зна­ние геометрии, которое выразил в своих знаменитых аксиомах, когда у него не было ни истинных кругов, ни точек, ни прямых? Откуда ис­ходит эта определенность математического доказательства, если никто не способен ощутить те абстрактные категории, на которые оно ссы­лается? Ответ Платона заключался в том, что мы получаем все это знание не из этого мира теней и иллюзий. Мы получаем его непосред­ственно из самого мира Форм. Мы обладаем совершенным врожденным знанием того мира, которое, как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно вспомнить, усердно применяя «разум», впоследствии дающий абсолютную определенность, которую никогда не может дать ощущение.

Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомни­тельную фантазию (включая самого Платона, который все-таки был очень компетентным философом, считавшим, что публике стоит гово­рить благородную ложь)? Тем не менее, поставленная им задача — как мы можем обладать знанием, не говоря уж об определенности, абстрактных категорий — достаточно реальна, а некоторые элемен­ты предложенного им решения с тех пор стали частью общепринятой теории познания. В частности, фактически все математики до сегод­няшнего дня без критики принимают основную идею того, что мате­матическое и научное знание проистекают из различных источников и что «особый» источник математического знания дает ему абсолют­ную определенность. Сейчас этот источник математики называют ма­тематической интуицией, однако он играет ту же самую роль, что и «воспоминания» Платона об области Форм.

Математики много и мучительно спорили о том, открытия каких в точности видов совершенно надежного знания можно ожидать от на­шей математической интуиции. Другими словами, они согласны, что математическая интуиция — источник абсолютной определенности, но не могут прийти к соглашению относительно того, что она им говорит! Очевидно, что это повод для бесконечных, неразрешимых споров.

Большая часть таких споров неизбежно касалась обоснованности или необоснованности различных методов доказательства. Одно из раз­ногласий было связано с так называемыми «мнимыми» числами. Новые Теоремы об обычных, «вещественных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах доказательства к свойствам мнимых чисел. Например, таким образом были доказаны первые теоремы о распределе­нии простых чисел. Однако некоторые математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они не реальны. (Современная терминология все еще отражает это старое разногласие даже сейчас, когда мы считаем, что мнимые числа так же реальны, как и «вещест­венные»). Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам, что нельзя извлекать квадратный корень из минус одного, и, поэтому они не понимали, почему кто-либо другой может это сделать. Нет со­мнения в том, что они называли этот злостный порыв «математической интуицией». Однако другие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа, и как они согласуются с ве­щественными. Почему, думали они, человеку не следует определять новые абстрактные категории, имеющие свойства, которые он предпо­читает? Безусловно единственным законным основанием запретить это была бы логическая несовместимость требуемых свойств. (Это, по су­ществу, современное мнение, выработанное всеобщими усилиями, ма­тематик Джон Хортон Конуэй грубо назвал «Движением Освобождения «Математиков»). Однако общеизвестно, что никто не доказал и то, что обычная арифметика натуральных чисел является самосогласованной.

Подобным разногласиям подверглась и обоснованность использо­вания бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, используемых при ис­числении. Дэвид Гильберт, великий немецкий математик, предоставив­ший большую часть инфраструктуры как общей теории относительнос­ти, так и квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, проистекающими из бес­конечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали обоснованность рассуждения о бесконечных категориях. Легкий доступ к чистой математике в девятнадцатом веке мало что сделал для разре­шения этих разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мере своего усложнения математическое рассуждение неиз­бежно удалялось от повседневной интуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых, математики стали более пе­дантичными в отношении доказательств, которые, прежде чем быть принятыми, подвергались все более суровым проверкам на соответ­ствие нормам точности. Но во-вторых, изобрели более мощные методы доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощью существующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли какой-то частный метод доказательства, несмотря на свою самооче­видность, абсолютно безошибочным.

Таким образом, к 1900 году наступил кризис основ математики, который заключался в том, что этих основ не было. Но что же про­изошло с законами чистой логики? Их перестали считать способными разрешить все математические споры? Удивителен тот факт, что те­перь математические споры в сущности и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы привел в систему Аристотель еще в 4 веке до н.э., тем самым заложив то, что сегодня называют теорией доказа­тельства. Он допустил, что доказательство должно состоять из после­довательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последова­тельность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из преды­дущих в соответствии с одним из постоянного набора законов, называ­емых силлогизмами. Типичным был следующий силлогизм

Все люди смертны.

Сократ — человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Х есть А» (как в данном случае «Сократ — человек»), то впоследствии в доказательстве обоснованно появление утверждения «X имеет свой­ство В» («Сократ смертен»), и это утверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы выражают то, что мы назвали бы правилами вывода, то есть правилами, определяющими этапы, которые допустимы при доказательстве, такими, что истина посылок переходит к выводам. Кроме того, эти правила можно применить, чтобы опреде­лить, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! А проблема теории Доказательства заключалась в том, что очень небольшое количество со­временных математических доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более того, большинство из них не­возможно было привести к такому виду. Тем не менее, большинство Математиков не могли заставить себя следовать букве закона Аристо­теля, так как некоторые новые доказательства казались так же само­очевидно обоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли на новый этап развития. Новые инструменты, такие, как сим­волическая логика и теория множеств, позволили математикам уста­новить новую связь между математическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидные истины, независимые от клас­сических правил вывода, и, таким образом, классические правила ока­зались самоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства были действительно безошибочными? Как нужно было изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на кото­рую ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть абсо­лютный авторитет старых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?

Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные небесные замки. Для практических целей многие такие строения каза­лись достаточно надежными. Некоторые из них стали необходимы для науки и техники, а большинство образовало красивую и плодотворную структуру. Тем не менее, никто не мог гарантировать, что вся эта структура, или какая-то существенная ее часть, не имела в своей осно­ве логического противоречия, которое буквально лишило бы ее всякого смысла. В 1902 году Бертран Рассел доказал несостоятельность схе­мы строгого определения теории множеств, которую только что пред­ложил немецкий логик Готлоб Фреге. Это не значило, что эта схема непременно была необоснованной для использования множеств в дока­зательствах. На самом деле совсем немногие математики всерьез счи­тали, что хоть какой-то из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых разделов математики может быть необоснованным. В результатах Рассела поражало то, что математики верили, что их предмет является par excellence средством получения абсолютной определенности через доказательство математических тео­рем. Сама возможность разногласий относительно обоснованности раз­личных методов доказательства подрывала всю суть (как считалось) предмета.

Поэтому многие математики чувствовали, что подведение под те­орию доказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы было насущным делом, не терпящим отлагательства. Они хотели объединиться после своих опрометчивых выпадов, чтобы раз и навсегда определить, какие виды доказательства являются абсолютно надежны­ми, а какие нет. Все, что оказалось вне зоны надежности, можно было бы отбросить, а все, что попадало в эту зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.

В этой связи голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории дока­зательства, известную как интуиционизм, которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать «интуицию» самым ограниченным постижимым образом, оставляя лишь то, что они считают ее неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они под­нимают таким образом определенную математическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял себе Платон: они считают ее более веской, чем даже чистая логика. Таким образом, они считают саму логику ненадежной, за исключением тех случаев, когда ее до­казывает прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметь прямую интуицию какой-либо беско­нечной категории. Следовательно, они отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Высказывание о том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бы самоочевидно ложным. А высказывание о том, что «существует больше сред Кантгоуту, чем физически возможных сред», — абсолютно бессмысленным.

Исторически интуиционизм, равно как и индуктивизм, сыграл цен­ную освободительную роль. Он осмелился подвергнуть сомнению по­лученные определенности — некоторые из которых действительно ока­зались ложными. Но как позитивная теория о том, что является или не является обоснованным математическим доказательством, он и гроша ломаного не стоит. В действительности интуиционизм — это точное выражение солипсизма в математике. В обоих случаях наблюдается Чрезмерная реакция на мысль о том, что мы не можем быть увере­ны в том, что нам известно о более отдаленном мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйти во внутренний мир, который мы, предположительно, можем познать напрямую, и следова­тельно (?), можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях решение заключается в отрицании существования — или, по крайней Мере, в отказе от объяснения — того, что находится вовне. И в обо­их случаях этот отказ также делает невозможным объяснение большей Части того, что находится внутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (как утверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных чисел, то можно сделать вывод, что может существовать только конечное множество таких чи­сел. А сколько их может быть? И потом, сколько бы их не было, почему нельзя создать интуицию следующего натурального числа, превышаю­щего последнее? Интуиционисты оправдались бы в этом случае, ска­зав, что приведенный мной аргумент допускает обоснованность обыч­ной логики. В частности, он содержит процесс вывода: из факта, что не существует бесконечно много натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать какое-то конкретное количество натураль­ных чисел. Применяемое в данном случае правило вывода называется законом исключенного третьего. Этот закон гласит, что для любого вы­сказывания Х (например, «существует бесконечно много натуральных чисел»), не существует третьей возможности кроме истинности Х и ис­тинности отрицания Х («существует конечное множество натуральных чисел»). Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенного третьего.

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключенно­го третьего подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественно вызывает у неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевид­на надежность интуиции интуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит из логической интуиции, он при­водит нас к пересмотру вопроса о том, действительно ли математи­ческая интуиция превосходит логику. В любом случае может ли это превосходство быть самоочевидным?

Но все это направлено на критику интуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо настаивает, что для него очевидно самосогласованное выска­зывание, как если бы он настаивал на том, что существует только он один, доказать его неправоту невозможно. Однако, как и в случае с со­липсизмом, воистину роковая ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда его всерьез принима­ют, на его же собственной основе, в качестве объяснения своего соб­ственного, произвольно усеченного мира. Интуиционисты верят в ре­альность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3. ... , и даже 10949769651859. Но интуитивный аргумент, что поскольку за каждым из этих чисел следует еще одно, значит, они образуют бесконечную последовательность, Интуиционисты считают не более чем самообма­ном или искусственностью и буквально несостоятельным. Но усиливая связь между своей версией абстрактных «натуральных чисел» и ин­туицией, что первоначально эти числа должны были быть формализо­ваны, интуиционисты также сами отрицают обычную объяснительную структуру, через которую понимают натуральные числа. Это вызывает проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъясненным усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив для натуральных чисел альтернативную или более глубокую объяс­нительную структуру, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делали солипсисты: он еще дальше уходит от объ­яснений. Он вводит дальнейшие необъясненные усложнения (в данном случае отрицание закона исключенного третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается с мотивации упрощения пугающе разнообразного и неопределенного мира, но при серьезном к нему отношении оказывается реализмом в сочетании с нескольки­ми ненужными усложнениями, так и интуиционизм оканчивается тем, что становится одной из самых контринтуитивных доктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.

Дэвид Гильберт предложил гораздо более разумный — хотя, в ко­нечном счете, и обреченный — план «раз и навсегда ввести убежден­ность в математических методах». План Гильберта основывался на идее согласованности. Он надеялся составить полный набор современных правил вывода математических доказательств с определенными свой­ствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они Должны были быть применимы напрямую, так чтобы определить, удов­летворяет ли им какое-то предложенное доказательство, не составляло бы труда и не вызывало противоречий. Желательно, чтобы эти прави­ла были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при усло­вии, что он мог бы быть уверен в их самосогласованности. То есть, если правила определили данное доказательство как обоснованное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как обоснованное любое другое доказательство с противоположным выводом. Как он мог быть Уверен в этом? На этот раз согласованность должна была быть дока­зана с помощью метода доказательства, который сам придерживался тех же правил вывода. Таким образом, Гильберт надеялся восстановить завершенность и определенность Аристотеля. Он также надеялся, что с помощью этих правил будет, в принципе, доказуемо любое истин­ное математическое утверждение и не будет доказуемо любое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование начала века Гильберт опуб­ликовал список задач, которые, как он надеялся, математики смогут решить в двадцатом веке. Десятая задача заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоятельности в соответствии с их собственными нормами.

Гильберту было предначертано пережить разочарование. Тридцать один год спустя Курт Гедель создал революционную теорию доказа­тельства с коренным опровержением, которая до сих пор является от­правной точкой для математического и физического миров: он доказал, что десятая задача Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гедель доказал, что любой набор правил вывода, способный правильно обос­новать даже доказательства обычной арифметики, никогда не сможет обосновать доказательство своей собственной согласованности. Следо­вательно, нечего и надеяться найти доказуемо согласованный набор правил, который предвидел Гильберт. Во-вторых, Гедель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики является согласованным (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать обоснован­ные методы доказательства, которые эти правила не могут определить как обоснованные. Это называется теоремой Геделя о неполноте. Для доказательства своих теорем Гедель пользовался замечательным рас­ширением «диагонального доказательства» Кантора, о котором я упоми­нал в главе 6. Он начал с рассмотрения любого согласованного набора правил вывода. Затем он показал, как составить утверждение, кото­рое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил. Затем он доказал, что это высказывание истинно.

Если бы программа Гильберта работала, это было бы плохой но­востью для концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге, поскольку это устранило бы необходимость понимания при критике математических идей. Кто угодно — или какая угодно неразумная ма­шина, — способный выучить наизусть правила вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы так же хорошо оценивать математичес­кие высказывания, как и самый способный математик, не нуждаясь в математическом понимании или даже не имея самого отдаленного понятия о смысле этого высказывания. В принципе, было бы возможно делать новые математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не удовлетворила бы проверке на то, является ли она доказательством какой-либо знаменитой недоказанной гипотезы или нет. В принципе, так можно было бы уладить любое разногласие в математике, даже не понимая его смысла — даже не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что оно доказывает, или в чем заключается метод доказатель­ства, или почему оно надежно.

Может показаться, что достижение единых норм доказательства в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к объединению — то есть «углублению» нашего знания, на которое я ссылался в главе 1. Однако происходит обратное. Подобно предсказательной «теории всего» в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре реальности. Они реализовали бы, в пределах математики, предельное видение редукционистов, пред­сказывающее все (в принципе), но ничего не объясняющее. Более того, если бы математика была редукционистской наукой, то все нежелае­мые черты, которые, как я доказал в главе 1, отсутствуют в структуре человеческого знания, присутствовали бы в математике: математичес­кие идеи создали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гилберта. Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, оказалась бы очень сложна, стали бы объективно менее фунда­ментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем математике при­шлось бы заниматься даже менее фундаментальными задачами. Мате­матика вполне могла исчерпать себя при этой зловещей гипотезе. Если бы этого не произошло, она неизбежно распалась бы на даже более за­гадочные специализации, по мере увеличения сложности «исходящих» вопросов, которые математики были бы вынуждены решать, и по мере еще большего отдаления этих вопросов от основ самого предмета.

Благодаря Геделю мы знаем, что никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности науч­ной теории. Как никогда не будет и непреложного метода создания ново­го математического знания. Следовательно, математический прогресс всегда будет зависеть от использования творчества. Изобретение новых видов доказательства всегда будет возможно и необходимо для мате­матиков. Они будут обосновывать их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от их непрерывно увеличиваю­щегося понимания абстрактных категорий, связанных с этим доказа­тельством. Примером служат теоремы самого Геделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном доказательстве», одна­ко Гедель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Геделя, не могли бы определить его как об­основанный. Однако он является самоочевидно обоснованным. Откуда исходит эта самоочевидность? Она исходит из понимания Геделем при­роды доказательства. Доказательства Геделя так же неоспоримы, как и любые другие математические доказательства, но только для того, кто прежде поймет сопровождающее их объяснение.

Таким образом, объяснение все-таки играет ту же самую первосте­пенную роль в чистой математике, как оно играет ее в науке. Объясне­ние и понимание мира — физического мира и мира математических аб­стракций — в обоих случаях является целью изучения. Доказательство и наблюдения — это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Роджер Пенроуз извлек из результатов Геделя еще более глубо­кий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные определенности математики. В отличие от Платона Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг — часть естественного мира и имеет доступ только к этому ми­ру. Таким образом, задача для него встает даже более остро, чем для Платона: как может беспорядочный, ненадежный мир давать математи­ческие определенности такой беспорядочной и ненадежной части себя, какой является математик? В частности, Пенроуза удивляет, как мы можем понять безошибочность новых обоснованных форм доказатель­ства, которых, как уверяет Гедель, бесконечно много.

Пенроуз все еще работает над подробным ответом, но он заявля­ет, что само существование свободной математической интуиции та­кого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказа­тельство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга истинный, то мы можем рассматривать мозг (подобно любому другому объекту) как компьютер, обрабатывающий определенную программу. Взаимо­действия мозга с окружающей средой составляют вводимые и выво­димые данные. Теперь рассмотрим математика в процессе решения, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Приня­тие такого решения эквивалентно обработке компьютерной программы обоснования доказательства в мозге математика. Такая программа ре­ализует набор правил вывода Гильберта, которые, в соответствии с те­оремой Геделя, не могут быть законченными. Более того, как я уже сказал, Гедель предоставляет способ создания и доказательства истин­ного высказывания, которое эти правила не способны признать дока­занным. Следовательно, математик, разум которого является эффек­тивным компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это высказывание доказанным. Затем Пенроуз пред­лагает показать этому самому математику это высказывание и метод доказательства его истинности Геделем. Математик понимает доказа­тельство. Оно все-таки самоочевидно обоснованно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть, что оно обоснованно. Но это бы противоре­чило теореме Геделя. Следовательно, где-то в доказательстве должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допуще­нием является принцип Тьюринга.

Большинство специалистов по вычислительной технике не соглас­ны с Пенроузом, что принцип Тьюринга — наиболее слабое звено в его доказательстве. Они сказали бы, что математик из его доказательства в самом деле не сможет признать высказывание Геделя доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможет по­нять самоочевидное доказательство. Но взгляните на следующее вы­сказывание:

Дэвид Дойч не может составить последовательное суждение об ис­тинности этого утверждения.

Я стараюсь изо всех сил, но не могу составить последовательное суждение о его истинности. Поскольку, если бы я сделал это, я бы соста­вил суждение о том, что я не могу составить суждение о его истинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однако вы видите, что оно Истинно, не так ли? Это показывает, что высказывание, по крайней ме­ре, может быть необъяснимым для одного человека, но самоочевидно Истинным для всех остальных.

В любом случае Пенроуз надеется на новую фундаментальную те­орию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые предсказания, которые можно проверить, хотя она, безусловно, не противоречила бы ни кван­товой теории, ни теории относительности во всех существующих на­блюдениях. (Не существует известных экспериментальных примеров, опровергающих такие теории). Однако мир Пенроуза по своей сути весьма отличен от того, что описывает существующая физика. Его ос­новной структурой реальности является то, что мы называем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, не все абстракции (подобные чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим ми­ром, является для него вполне реальным (еще одно отличие от Пла­тона), но каким-то образом это является частью самой математики, или вытекает из нее. Более того, в его мире не существует универ­сальности; в частности, не существует машины, способной передать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (конечно, в особенности его математическое основание), тем не менее, остает­ся постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальнос­тью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона): математические категории напрямую взаимодействуют с человеческим мозгом через физические процессы, которые еще пред­стоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, занимается матема­тикой, ссылаясь не только на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических Форм Платона и может постичь там математические истины (за исключени­ем грубых ошибок) с абсолютной определенностью.

Часто предполагают, что мозг может быть квантовым компьюте­ром и что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых вычислений. Возможно, это и так, но я не знаю ни свидетельств, ни убедительных аргументов в пользу этого. Я став­лю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, является классическим компьютером. Но этот вопрос не имеет никакого отноше­ния к идеям Пенроуза. Пенроуз не доказывает, что мозг — это новый вид универсального компьютера, который отличается от универсаль­ного квантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вы­числений, которые стали возможны только при новой пост-квантовой физике. Он доказывает новую физику, которая не будет поддерживать универсальность вычислений, так что при его новой теории вообще не­возможно будет объяснять некоторые действия мозга как вычисления.

Должен признать, что для меня такая теория непостижима. Однако фундаментальные открытия всегда трудно понять до того, как они про­изойдут. Естественно, трудно оценить теорию Пенроуза, прежде чем он сформулирует ее полностью. Если теория со свойствами, на которые он надеется, в конце концов, вытеснит квантовую теорию, или теорию общей относительности, или и ту, и другую через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий уровень объяснений, то каж­дый разумный человек захочет ее принять. И тогда мы отправимся в путешествие постижения нового мировоззрения, к принятию кото­рого будет вынуждать нас объяснительная структура этой теории. Ве­роятно, это мировоззрение будет весьма отличным от представленного мной в этой книге. Однако, даже если все это пришло, чтобы уйти, я все равно не могу понять, каким образом можно удовлетворить пер­воначальную мотивацию теории, которая объясняет нашу способность понимать новые математические доказательства. Все равно останется тот факт, что сейчас, да и во всей истории великие математики об­ладали различной противоречивой интуицией относительно обоснован­ности различных методов доказательства. Поэтому, даже если истин­но то, что абсолютная физико-математическая реальность поставляет свои истины прямо в наш мозг для создания математической интуи­ции, математики не всегда способны отличить эту интуицию от другой, ошибочной интуиции и от других, ошибочных идей. К сожалению, нет ни колокольчика, который звонит, ни фонарика, который вспыхивает, когда мы понимаем действительно обоснованное доказательство. Порой мы можем ощутить такую вспышку, в момент «эврики», — и, тем не менее, ошибиться. И даже если бы теория предсказала, что существует некий, не замеченный ранее физический индикатор, сопровождающий истинную интуицию (сейчас это становится в высшей степени невоз­можным), мы бы определенно нашли его полезным, но это все равно не было бы равносильно доказательству того, что этот индикатор работа­ет. Ничто не способно доказать, что однажды еще лучшая физическая Теория не вытеснит теорию Пенроуза и не откроет, что предложенный индикатор все-таки не был надежным и что существует лучший инди­катор. Таким образом, даже если мы сделаем все возможные скидки предложению Пенроуза, если мы вообразим, что оно истинно, и взглянем на мир с его позиций, это все равно не поможет нам объяснить подозрительную определенность знания, которое мы приобретаем, за­нимаясь математикой.

Я отразил лишь общий смысл аргументов Пенроуза и его оппонен­тов. Читатель поймет, что, в сущности, я на стороне его оппонентов. Однако даже если признать, что геделианское доказательство Пенроуза не доказывает то, что намеревается доказать, и кажется невероятным, что предложенная им новая физическая теория объясняет то, что на­меревается объяснить, Пенроуз, тем не менее, прав, что любое миро­воззрение, основанное на существующей концепции научного рациона­лизма, создает задачу для принятых основ математики (или, как вы­разил бы это Пенроуз, наоборот). Это древняя задача, которую поднял Платон, задача, которая, как показывает Пенроуз, обостряется в све­те как теоремы Геделя, так и принципа Тьюринга. Эта задача заклю­чается в следующем: откуда исходит математическая определенность в реальности, состоящей из физики и понимаемой с помощью научных методов? В то время как большинство математиков и специалистов по вычислительной технике принимают определенность математической интуиции как нечто, само собой разумеющееся, они не воспринимают проблему примирения этого факта с научным мировоззрением всерь­ез. Пенроуз серьезно относится к этой проблеме и предлагает решение. Его предложение представляет постижимый мир в определенном аспек­те, отвергает сверхъестественное, признает важность творчества для математики, приписывает объективную реальность как физическому миру, так и абстрактным категориям и включает объединение основ математики и физики. Во всех этих отношениях я на его стороне.

Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех осталь­ных решить сложную задачу Платона, видимо, потерпели неудачу, стоит снова взглянуть на мнимое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью на­учных методов.

Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем до­ступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. А почему нет? Точ­но так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говори­ла, и я объяснил, почему она ошибалась). Также можно было бы ска­зать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Ог­лянувшись назад, можно увидеть, что такая критика вызвана очень грубым изображением принципа действия науки (подобным индукти­визму), который вряд ли можно считать удивительным, поскольку Пла­тон жил до того, что мы могли бы признать как науку. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом, из со­бранных данных, попытаться сделать какой-то вывод об их абстракт­ных евклидовых двойниках, то Платон уловил суть. Но если мы созда­дим гипотезу, что реальные круги точно определенным образом похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы определенно можем узнать что-либо об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Ев­клида часто используют рисунки для точного определения геометри­ческой задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит впечатление, вводящее в заблуждение, — например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происхо­дит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, практически невозможно понять геометрию Евклида.

Надежность знания о совершенном круге, которое можно получить из изображения круга, полностью зависит от точности гипотезы о том, что эти круги похожи должным образом. Такая гипотеза в отношении физического объекта (рисунка) эквивалентна физической теории, и ее невозможно знать определенно. Но этот факт (как утверждал Платон) не мешает изучению совершенных кругов из опыта; он делает невоз­можной определенность. Он не должен расстраивать никого, кто ищет не определенность, а объяснения.

Геометрию Евклида можно абстрактно сформулировать без рисун­ков. Но использование цифр, букв и математических символов в симво­лическом доказательстве способно породить ничуть не большую опре­деленность, чем рисунок по той же самой причине. Символы — это тоже физические объекты, — скажем, чернильные пятна на бумаге, — ко­торые обозначают абстрактные объекты. И опять мы полностью пола­гаемся на гипотезу, что физическое поведение символов соответствует поведению обозначаемых ими абстракций. Следовательно, надежность того, что мы узнаем, манипулируя этими символами, полностью зависит от точности наших теорий об их физическом поведении и о пове­дении наших рук, глаз и т.д., с помощью которых мы манипулируем этими символами и наблюдаем за ними. Обманчивые чернила, из-за которых случайный символ изменил свой внешний вид, когда мы не видели этого, — возможно, под дистанционным управлением какого-то шутника, обладающего практической реализацией высоких техноло­гий, — вскоре введут нас в заблуждение относительно того, что мы «определенно» знаем.

Теперь давайте повторно исследуем еще одно допущение Платона: допущение о том, что у нас нет доступа к совершенству физического мира. Возможно, он прав в том, что мы не найдем совершенной чести или справедливости, и он конечно прав в том, что мы не найдем законы физики или множество всех натуральных чисел. Но мы можем найти совершенную руку в бридже или совершенный ход в данной шахматной позиции. Это все равно, что сказать, что мы можем найти физические объекты или процессы, которые полностью обладают свойствами точно определенных абстракций. Мы можем научиться игре в шахматы как с помощью реальных шахмат, так и с помощью совершенной формы шахмат. Тот факт, что коня срубили, не делает мат, который является результатом этого, менее окончательным.

Поскольку все это имеет место, совершенный евклидов круг мож­но сделать доступным для наших чувств. Платон не осознавал этого, потому что он не знал о существовании виртуальной реальности. Не со­ставит особого труда запрограммировать в генераторы виртуальной ре­альности, о которых я размышлял в главе 5, правила геометрии Евкли­да, так что пользователь сможет получить впечатление взаимодействия с совершенным кругом. Не имея толщины, круг был бы невидимым, по­ка мы также не модифицировали бы законы оптики, для этого мы могли бы освещать его, чтобы пользователь знал, где он находится. (Пуристы, возможно, предпочли бы обойтись без этого декорирования). Мы мог­ли бы сделать этот круг твердым и непроницаемым, и пользователь мог бы проверить его свойства с помощью твердых, непроницаемых инструментов, а также средств измерения. Виртуальные штангенцир­кули имели бы совершенную кромку толщиной с лезвие ножа, так что они могли бы точно измерить нулевую толщину. Пользователю можно было бы позволить «нарисовать» еще круги или другие геометричес­кие фигуры в соответствии с правилами геометрии Евклида. Разме­ры инструментов и самого пользователя можно было бы регулировать по желанию, чтобы обеспечить проверку предсказаний геометричес­ких теорем в любом масштабе, сколь угодно малом. В каждом случае переданный круг мог бы реагировать точно так же, как круг, опре­деленный в аксиомах Евклида. Таким образом, на основе современной науки мы должны сделать вывод, что в этом отношении Платон мыс­лил наоборот. Мы можем воспринять совершенные круги в физической реальности (т.е. в виртуальной реальности); но мы никогда не воспри­мем их в области Форм, поскольку, если и можно сказать, что такая область существует, мы никак ее не воспринимаем.

Идея Платона о том, что физическая реальность состоит из не­совершенных копий абстракций, сегодня случайно кажется чрезмерно асимметричной позицией. Как и Платон, мы все еще изучаем абстрак­ции ради их самих. Однако в науке после Галилео и в теории вирту­альной реальности мы также рассматриваем абстракции как средст­во понимания реальных или искусственных физических категорий, и в этом контексте мы считаем само собой разумеющимся, что абстрак­ции почти всегда являются приближениями истинной физической ситу­ации. Таким образом, несмотря на то, что Платон считал земные кру­ги, нарисованные на песке, приближениями истинных математических кругов, современный физик посчитал бы математический круг плохим приближением истинной формы планетарных орбит, атомов и других физических объектов.

При условии, что всегда будет существовать возможность выхо­да из строя генератора виртуальной реальности или его пользователя, можно ли действительно говорить о достижении совершенной передачи евклидова круга в виртуальной реальности в соответствии с нормами математической определенности? Можно. Никто не претендует на то, что сама математика свободна от неопределенности такого рода. Ма­тематики могут ошибиться в вычислении, исказить аксиомы, сделать опечатки при изложении своей собственной работы и т. д. Мы претенду­ем на то, что, за исключением грубых ошибок, их выводы безошибочны. Точно так же генератор виртуальной реальности, работая должным об­разом в соответствии со своими техническими характеристиками, в со­вершенстве передал бы совершенный евклидов круг.

Подобным образом мы могли бы возразить, что мы никогда не мо­жем точно сказать, как поведет себя генератор виртуальной реальности под управлением данной программы, потому что это зависит от функ­ционирования машины и, в конечном счете, от законов физики. Поскольку нам не дано с полной уверенностью знать законы физики, мы не можем точно знать, что машина действительно передает геометрию Евклида. И опять, никто не отрицает, что непредвиденные физические явления — станут ли они следствием неизвестных законов физики, или просто заболевания мозга или обманчивых чернил — могут сбить ма­тематика с правильного пути. Но если законы физики находятся в со­ответствующих отношениях, как мы и полагаем, то генератор вирту­альной реальности в совершенстве может сделать свою работу, даже несмотря на то, что мы не можем определенно знать, что он это дела­ет. Здесь следует проявить внимательность, чтобы не перепутать два вопроса: можем ли мы знать, что машина виртуальной реальности пе­редает совершенный круг; и действительно ли она передает его. Мы не можем точно знать это, но это ни на йоту не уменьшает совершен­ство круга, который фактически передает машина. Я вернусь к этому важному различию — между совершенным знанием (определенностью) относительно какой-либо категории, и «совершенством» самой катего­рии — очень скоро.

Допустим, что мы намеренно модифицируем программу, передаю­щую геометрию Евклида, так, что генератор виртуальной реальности по-прежнему будет передавать круги достаточно хорошо, но менее, чем совершенно. Разве мы не смогли бы сделать какой-либо вывод о совер­шенных кругах, ощущая эту несовершенную передачу? Это полностью зависело бы от того, знали бы мы, в каких отношениях была изменена программа или нет. Если бы мы это знали, мы могли бы с определен­ностью решить (за исключением грубых ошибок и т.д.), какие аспекты ощущений, полученных нами внутри машины, представляли совершен­ные круги точно, а какие неточно. И в этом случае знание, которое мы приобрели там, было бы так же надежно, как и любое знание, которое мы приобрели бы, используя правильную программу.

Представляя круги, мы осуществляем передачу в виртуальной ре­альности почти такого же рода в своем мозге. Причина того, почему этот способ мышления о кругах не бесполезен, состоит в том, что мы можем создать точные теории о том, какими свойствами совершенных кругов обладают воображаемые нами круги, а какими нет.

Используя совершенную передачу в виртуальной реальности, мы могли бы получить впечатление о шести идентичных кругах, которые касаются кромки седьмого идентичного им круга в плоскости, не пере­крывая друг друга. Это впечатление при подобных обстоятельствах бы­ло бы эквивалентно точному доказательству возможности такой ситу­ации, потому что геометрические свойства переданных форм были бы абсолютно идентичны геометрическим свойствам абстрактных форм. Но такой вид «практического» взаимодействия с совершенными форма­ми не способен дать всестороннее знание геометрии Евклида. Большая часть интересных теорем относится не к одной геометрической фор­ме, а к бесконечным классам геометрических форм. Например, сумма углов любого треугольника Евклида равна 180°. Мы можем измерить отдельные треугольники с совершенной точностью в виртуальной ре­альности, но даже в виртуальной реальности мы не можем измерить все треугольники, и поэтому мы не можем проверить теорему.

Как же мы можем ее проверить? Мы доказываем ее. Традицион­но доказательство определяют как последовательность утверждений, удовлетворяющих самоочевидным правилам вывода, но чему физичес­ки эквивалентен процесс доказательства? Чтобы доказать утверждение о бесконечно большом количестве треугольников сразу, мы исследуем определенные физические объекты (в данном случае символы), которые обладают общими свойствами с целым классом треугольников. Напри­мер, когда при надлежащих обстоятельствах мы наблюдаем символы «rАВС=rDEF» (т. е. «треугольник АВС конгруэнтен треугольнику DEF»), мы делаем вывод, что все треугольники из какого-то определен­ного конкретным образом класса всегда имеют ту же самую форму, что и соответствующие им треугольники из другого класса, определенного иначе. «Надлежащие обстоятельства», которые придают этому выводу статус доказательства, заключаются, говоря языком физики, в том, что символы появляются на странице под другими символами (некото­рые из которых представляют аксиомы геометрии Евклида), и порядок появления символов соответствует определенным правилам, а именно, правилам вывода.

Но какими правилами вывода нам следует пользоваться? Это все равно, что спросить, как следует запрограммировать генератор вирту­альной реальности для передачи мира геометрии Евклида. Ответ в том, что нужно использовать те правила вывода, которые, для нашего луч­шего понимания, заставят наши символы вести себя в уместной степе­ни как абстрактные категории, которые они обозначают. Как мы мо­жем быть уверены, что они будут вести себя именно так? А мы и не можем быть уверены в этом. Предположим, что некоторые крити­ки возражают против наших правил вывода, потому что они считают, что наши символы будут вести себя отлично от абстрактных катего­рий. Мы не можем ни взывать к авторитету Аристотеля или Платона, ни доказать, что наши правила вывода безошибочны (за исключением теоремы Геделя, это привело бы к бесконечному регрессу, ибо сначала нам пришлось бы доказать обоснованность самого метода доказательст­ва, используемого нами). Не можем мы и надменно сказать критикам, что у них что-то не в порядке с интуицией, потому что наша инту­иция говорит, что символы будут копировать абстрактные категории в совершенстве. Все, что мы можем сделать, — это объяснить. Мы должны объяснить, почему мы думаем, что при определенных обстоя­тельствах символы будут вести себя желаемым образом в соответствии с высказанными нами правилами. А критики могут объяснить, поче­му они предпочитают теорию, конкурирующую с нашей. Расхождение во мнениях относительно двух таких теорий — это частично расхож­дение во мнениях относительно наблюдаемого поведения физических объектов. Такого рода расхождения могут быть адресованы нормаль­ными методами науки. Иногда они легко разрешимы, а иногда — нет. Другой причиной подобного расхождения может стать концептуаль­ный конфликт, связанный с природой самих абстрактных категорий. И вновь дело за конкурирующими объяснениями, на этот раз объяс­нениями не физических объектов, а абстрактных категорий. Либо мы придем к общему пониманию со своими критиками, либо согласим­ся, что говорим о двух различных абстрактных объектах, либо вообще не придем к согласию. Нет никаких гарантий. Таким образом, в про­тивоположность традиционному убеждению, споры в математике не всегда можно разрешить с помощью исключительно методологических средств.

На первый взгляд, характер традиционного символического доказа­тельства кажется весьма отличным от характера «практического» вир­туального доказательства. Но теперь мы видим, что они относятся друг к другу так же, как вычисления относятся к физическим эксперимен­там. Любой физический эксперимент можно рассматривать как вы­числение, и любое вычисление — как физический эксперимент. В обо­их видах доказательства физическими категориями (независимо от то­го, находятся они в виртуальной реальности или нет) манипулируют в соответствии с правилами. В обоих видах доказательства физичес­кие категории представляют интересующие нас абстрактные катего­рии. И в обоих случаях надежность доказательства зависит от истин­ности теории о том, что физические и абстрактные категории дейст­вительно имеют соответствующие свойства.

Из вышеизложенного рассуждения также можно увидеть, что до­казательство — это физический процесс. В действительности, доказа­тельство — это разновидность вычисления. «Доказать» высказывание значит осуществить вычисление, которое, будучи выполненным пра­вильно, устанавливает истинность высказывания. Используя слово «до­казательство» для обозначения объекта, например, текста, написанно­го чернилами на бумаге, мы имеем в виду, что этот объект можно использовать в качестве программы для воссоздания вычисления соот­ветствующего вида.

Следовательно, ни математические теоремы, ни процесс матема­тического доказательства, ни впечатление о математической интуиции не подтверждает никакую определенность. Ничто не подтверждает ее. Наше математическое знание, так же как и наше научное знание, мо­жет быть глубоким и широким, может быть неуловимым и удивитель­но объяснительным, может быть принятым без разногласий; но оно не может быть определенным. Никто не может гарантировать, что в до­казательстве, которое ранее считалось обоснованным, однажды не об­наружат глубокое недоразумение, казавшееся естественным из-за ра­нее несомненного «самоочевидного» допущения о физическом мире, или об абстрактном мире, или об отношении некоторых физических и аб­страктных категорий.

Именно такое ошибочное, самоочевидное допущение привело к то­му, что саму геометрию ошибочно классифицировали как раздел мате­матики в течение двух тысячелетий, приблизительно с 300 года до н.э., когда Евклид написал свой труд «Элементы», до девятнадцатого века (а в некоторых словарях и школьных учебниках до сегодняшнего дня). Геометрия Евклида сформировала часть интуиции любого математика. В конечном счете, некоторые математики начали сомневаться в само­очевидности, в частности, одной из аксиом Евклида (так называемой «аксиомы о параллельных»). Сначала они не сомневались в истинности этой аксиомы. Говорят, что великий немецкий математик Карл Фрид­рих Гаусс был первым, кто подверг ее проверке. Аксиома о параллель­ных необходима при доказательстве того, что сумма углов треуголь­ника составляет 180°. Легенда гласит, что в совершенной секретнос­ти (из-за боязни быть осмеянным) Гаусс разместил своих ассистентов с фонарями и теодолитами на вершинах трех холмов, чтобы вблизи измерить вершины самого большого треугольника. Он не обнаружил ни­каких отклонений от предсказаний Евклида, однако теперь мы знаем, что это произошло потому, что его инструменты не обладали достаточ­ной чувствительностью. (С геометрической точки зрения окрестность Земли оказывается довольно пассивным местом). Общая теория отно­сительности Эйнштейна включала новую теорию геометрии, которая противоречила геометрии Евклида и была доказана экспериментально. Сумма углов реального треугольника в действительности не обязатель­но составляет 180°: истинная сумма зависит от гравитационного поля внутри этого треугольника.

Весьма похожая ошибочная классификация была вызвана фунда­ментальной ошибкой относительно самой природы математики, кото­рую математики допускали с античных времен, а именно, что мате­матическое знание более определенно, чем какая-либо другая форма знания. Такая ошибка не оставляет выбора классификации теории до­казательства, кроме как части математики, поскольку математическая теорема не может быть определенной, если теория, подтверждающая метод ее доказательства, сама по себе неопределенна. Но как мы толь­ко что видели, теория доказательства не является разделом математи­ки — она является наукой. Доказательства не абстрактны. Не сущест­вует абстрактного доказательство чего-либо, так же, как не сущест­вует абстрактного вычисления чего-либо. Конечно, можно определить класс абстрактных категорий и назвать их «доказательствами», но эти «доказательства» не могут подтвердить математические утверждения, потому что их невозможно увидеть. Они могут убедить кого-либо в ис­тинности высказывания не более, чем абстрактный генератор вирту­альной реальности, который физически не существует, может убедить людей, что они находятся в другой среде, или абстрактный компью­тер может разложить на множители число. Математическая «теория доказательств» не имела бы никакого отношения к тому, какие мате­матические истины можно или нельзя доказать в действительности, точно так же, как теория абстрактного «вычисления» не имеет ника­кого отношения к тому, что математики — или кто-то еще — могут или не могут вычислить в реальности, по крайней мере, если не су­ществует отдельной эмпирической причины считать, что абстрактные «вычисления» в этой теории похожи на реальные вычисления. Вычис­ления, включая и особые вычисления, квалифицируемые как доказа­тельства, — это физические процессы. Теория доказательств говорит о том, как обеспечить, чтобы эти процессы правильно имитировали абстрактные категории, которые они должны имитировать.

Теоремы Геделя называли «первыми новыми теоремами чистой ло­гики за две тысячи лет». Но это не так: теоремы Геделя говорят о том, что можно, а