КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ

Кинематика жидкости - раздел гидромеханики, в котором изучают только геометрические свойства движения жидкости. Вследствие этого все основные выводы кинематики справедливы, как для идеальной, так и для вязкой жидкости.

В гидромеханике применяют два основных метода изучения движения жидкости - Лагранжа и Эйлера.

По методу Лагранжа жидкую частицу отождествляют с материальной точкой, к исследованию движения которой применимы методы теоретической механики. В этом случае пространственная кривая, которая представляет след движения отдельной жидкой частицы, называется траекторией.

Движение жидкой частицы известно, если задан закон изменения координат частицы с течением времени:

x = x(t, x₀, y₀, z₀);

y = y(t, x₀, y₀, z₀);

z = z(t, x₀, y₀, z₀).

Пользуясь методом Лагранжа, можно проследить за движением любой фиксированной жидкой частицы, что учитывает тем самым ее индивидуальность.

В методе Эйлера,который базируется на модели сплошной жидкости,рассматривают поле скоростей в точках пространства, занятого движущейся жидкостью. Под скоростью в точке пространства понимают скорость жидкой частицы, которая в данный момент проходит через эту точку. Поле скоростей по этому методу задается в виде:

где x, y, z представляют собой координаты точек неподвижного пространства, а не жидкой частицы, как в методе Лагранжа.

3(22). Поясните понятие траектории и линии тока. Могут ли они совпадать?

С подходом Эйлера тесно связано использование понятия линий тока. Выделим в потоке в фиксированный момент времени линию, касательные к которой совпадают с направлением векторов скоростей частиц жидкости. Такая пространственная кривая называется линией тока. Она соединяет различные жидкие частицы в один и тот же момент времени, чем отличается от траектории, которая представляет собой след движения данной частицы (см. рис. 1).

Рисунок 1. К понятию линии тока

Совокупность частиц, ограниченных поверхностью элементарной трубки тока называют элементарной струйкой, а поток конечных размеров, как совокупность элементарных струек, рис. 2.

Рисунок 2. Элементарная трубка тока

Если при истечении жидкости из емкости поддерживать один и тот же уровень (H = const.) тогда процесс истечения жидкости из емкости через отверстие становится стационарным. В этом случае линия тока будет совпадать с траекторией.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ. УРАВНЕНИЕ СПЛОШНОСТИ

Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения. Тогда полная производная от массы по времени равна нулю

(1)

Если, система не изолирована и имеет постоянный по величине объем V , то через ее поверхность будет входить или выходить жидкость. Изменение массы этого объема в единицу времени будет равно

(2)

где изменение плотности в единицу времени в единице объема.

Для получения уравнения неразрывности (сплошности), которое выражает закон сохранения массы, рассмотрим поток вектора сквозь некоторую поверхность S произвольной формы и объема V, рис. 1.

Рисунок 1. Поток жидкости через поверхность S произвольной

формы и объема V.

Если количество втекающей жидкости не будет равно количеству вытекающей жидкости, то изменение массы этого объема будет равно

(3)

где проекция вектора скорости на нормаль к площадке dS.

Так как при постоянном объеме изменение массы может произойти только за счет изменения плотности жидкости или газа, то справедливо равенство

(4)

Положительному значению интеграла по поверхности соответствует некоторое количество вытекающей жидкости, при этом интеграл по объему должен быть отрицательным, так как при уменьшении массы ее плотность будет убывать.

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса для перехода интеграла по поверхности к интегралу по объему

,

тогда (4) примет вид

или

Интеграл по произвольному объему будет равен нулю, если подынтегральная функция равна нулю. Тогда уравнение неразрывности (сплошности) записывают в виде

(5)

Если жидкость несжимаема, т.е. =const, то уравнение неразрывности принимает вид

(6)

Для стационарного движения уравнение неразрывности будет

(7)

Для сжимаемой жидкости уравнение неразрывности в интегральной форме имеет вид

откуда следует уравнение массового расхода

Для несжимаемой жидкости = const и поэтому уравнение расхода будет

Ускорение жидкой частицы складывается из локального , которое характеризует как ведет поле скоростей во времени и конвективного: (проекция на ось x и по аналогии проекции на оси y и z) , которое позволяет судить об неоднородности поля скоростей

В векторной форме ускорение имеет вид:

Задача 5(2). Поля скоростей плоских потоков заданы следующими функциями:

Провести проверку удовлетворения потока уравнению неразрывности, определить проекции ускорения и угловой скорости. Найти уравнение линии тока.

1. Необходимо установить выполняется, ли уравнение неразрывности

В нашем случае течение одномерное и таковое возможно, потому что

2. Найдем проекции ротора скорости и угловой скорости

Проекция угловой скорости будет равна

Проекция угловой скорости = 0 т.к. течение одномерное.

3. Найдем проекции ускорения

Проекция ускорения W_y = 0 т.к. течение одномерное.

В нашем случае течение установившееся, неоднородное по х.

4. Найдем уравнение линий тока. Уравнение семейства линий тока будет

dx = dy = 0.

Так как , то

Семейство линий тока