Основные положения теории

Основной задачей анализа электрической цепи является определение реакции цепи на заданное внешнее (входное) воздействие. Передаточную функцию определяют следующим образом:

W(jω) = = = = A(ω) e ^jφ(ω)

где А₂(jw) - комплексная амплитуда отклика цепи, имеющая размерность напряжения или тока; А₁(jw) - комплексная амплитуда входного воздействия (заданный ток или э.д.с.). Передаточная функция W может быть либо безразмерной, либо иметь размерность сопротивления, либо проводимости. Модуль комплексной передаточной функции характеризует отношение амплитуд (действующих значений) отклика и воздействия и носит название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Аргумент комплексной передаточной функции определяется разностью фаз между откликом и воздействием и называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

Амплитудно- и фазочастотную характеристики представляют в виде графиков, по оси абсцисс откладывают частоту, а по оси ординат - модуль коэффициента передачи или разность фаз между откликом и воздействием. Для больших частотных диапазонов удобно применять полулогарифмический масштаб, т.е. по оси абсцисс наносить значения логарифмов нормированной частоты lg . В данной работе применяется нормирование на частоту 1 Гц (под знаком логарифма оказывается безразмерная величина).

Реактивные элементы меняют свои символические сопротивления в зависимости от частоты по-разному. Например, индуктивный элемент имеет сопротивление Х_L= wL, и на малых частотах этим сопротивлением можно пренебречь (короткое замыкание – к.з.). Наоборот, в области высоких частот Х_L, велико , что побуждает в этом случае рассматривать участки с индуктивностями как разрыв цепи.

Емкостные сопротивления ведут себя обратно - на малых частотах сопротивление емкостного элемента Х_С = 1/wС близко к бесконечности (разрыв), а на больших к нулю (к.з.). Эти свойства цепей позволяют качественно строить их амплитудно-частотные характеристики, не прибегая к расчетам.

Пример 2.1. Для схемы, изображенной на рис. 2.1, в области малых частот схема замещения имеет вид, представленный на рис. 2.2. В этом случае модуль передаточной функции . Для больших частот (Х_L ®¥, Х_С ®0) схема замещения имеет вид, представленный на рис. 2.3. Следовательно, . В промежуточной области, если пренебречь резонансными эффектами, можно предположить, что характеристики плавно изменяются от одного крайнего значения до другого (рис. 2.4, R ₁= R ₂, K_ω→0=0,5 ).

В области малых частот индуктивность эквивалентна короткому замыканию, а, следовательно, вход непосредственно соединен с выходом (цепь резистивная), поэтому фазы U₁ и U₂ совпадают: a(w) _w®0 = φ₂- φ₁ @ 0 (рис. 2.2).

На больших частотах wL® ¥, входное сопротивление носит индуктивный характер, входной ток отстает от входного напряжения на угол p/2, далее этот ток разветвляется между резисторами и конденсатором, но в основном он проходит по емкостной ветви, сопротивление которой много меньше. Следовательно, напряжение U₂определяется емкостной ветвью и отстает от тока на конденсаторе на угол p/2. В результате общий фазовый сдвиг равен -p (рис. 2.5).

Наглядное представление о фазовых соотношениях дают векторные диаграммы токов и напряжений. Векторная диаграмма для схемы , представленной на рис. 2.1, для высоких частот (w ® ¥, рис. 2.6): построение начинаем с параллельного участка - отложим горизонтально вектор тока I_R2через сопротивление R₂, вектор напряжения U_R2 совпадает по направлению со своим током и равен напряжению на параллельно включенной емкости U_C, ток через емкость I_C значительно превышает ток I_R2 (так как Х_С ®0) и опережает свое напряжение на угол p/2, суммируя два тока , находим вектор входного тока I_ВХ., вектор напряжения на индуктивности U_L значительно превышает напряжения на других участках цепи (так как индуктивность разрывается и «тянет» все входное напряжение на себя) и опережает свой ток на угол p/2. Вектор напряжения U_R1 совпадает по направлению с вектором I_ВХ. (на диаграмме не показан,так как величина U_R1 ®0).Суммируя U_L и U_C, находим вектор входного напряжения U_ВХ.. На диаграмме видно, что угол между векторами U_ВХ. и U_C при дальнейшем увеличении частоты будет стремиться к -p.

2. Предварительная подготовка

Cхемы R-L и R-C (рис. 2.8, 2.9) представить в виде Г-образных четырёхполюсников (рис. 2.7) . Для R-L цепи рассмотреть два варианта: Z₁ – активное сопротивление R (Z₁=R), Z₂ – индуктивность L (Z₂=jωL),и наоборот. Для R-C цепи выполнить аналогичный расчёт (всего четыре схемы – нарисовать в отчете). Записать комплексную передаточную функцию (комплексный коэффициент передачи по напряжению):

K(jw)=

Перейти к показательной форме записи (без умножения числителя и знаменателя на комплексно-сопряженное выражение C – jD ) :

K(jw)= e ^{j(arctg B/A – arctg D/C)} K_U (w) e ^{j a (w)}

Найти значения модуля K_U(w) и аргумента a(w) при w ® 0 и w ® ¥, построить графики АЧХ и ФЧХ.

Если в числителе и знаменателе присутствуют несколько комплексных сомножителей, они также переводятся в показательную форму, без взаимного умножения и умножения на комплексно-сопряженное выражение знаменателя.

Преобразование j и -j в показательную форму: j=e^j(π/2), -j=e^j(-π/2).

3.Задание на проведение эксперимента

3.1 Включить «СЕТЬ», «ГЕНЕРАТОР», «V2», «V3-φ». Осциллограф не включать. Установить форму напряжения на выходе генератора – на плате Г2 переключателем выбрать синусоиду f var~.

Собрать схему (рис. 2.8, R_M = 320 Ом ), U_Г = 3В (если не устанавливается 3В - установить 2В). В эл. цепи не следует допускать короткого замыкания генератора, для этого

необходимо при каждом подключении провода следить за вольтметром V1 на плате Г3: если

стрелка «упала» на ноль – в цепи короткое замыкание, необходимо отключить провод,

установить причину и устранить к.з.

Сначала собрать основную цепь: «ВЫХОД» генератора (левое верхнее гнездо) → проводом на катушку L_B → противоположный вывод катушки L_B → проводом на магазин сопротивлений R_M → противоположный вывод R_M → проводом на общий провод генератора «┴» (нижнее гнездо). Для сборки цепи понадобится три проводника.

Подключить вольтметр V2 и фазометр по схеме, соединить правое верхнее гнездо

«ВЫХОД» на плате Г3 генератора с левым верхним гнездом «ОПОРН.» фазометра. Для

подключения приборов необходимо еще три проводника, итого – шесть проводников.

Исследовать зависимости U_R ( f  и a_i ( f . Если светится индикатор «L», показания фазометра записывать со знаком «минус».

На генераторе поменять местами провода «ВЫХОД» и «┴»; провод , соединяющий «ВЫХОД» генератора с «ОПОРН.» фазометра, оставить на месте.

Исследовать зависимости U_L( f  и ( f .

ФЧХ имеет максимум на частоте 400 Гц , это связано с тем, что катушка индуктивности не является идеальной и обладает активным сопротивлением R_LB ≈ 20 Ом, схема замещения изучаемого четырехполюсника при w = 0 является резистивной и = 0 . На частоте 200 Гц значение меньше (или равно), чем на частоте 400 Гц (некоторые студенты отбрасывают «неправильную» точку и ставят свою). Чем меньше диаметр провода, из которого изготовлена катушка, тем больше ее активное сопротивление.

Катушка индуктивности L_B обладает межвитковой емкостью C_МВ., ее можно считать подключенной параллельно катушке индуктивности, влияние C_МВ. становится заметным на больших частотах. При увеличении частоты от 20 кГц можно наблюдать резонанс - a_i скачком переходит в область положительных значений, переходит в область отрицательных значений, далее цепь ведет себя как резистивно-емкостная - a_i уменьшается от положительных значений до нуля, - от нуля до отрицательных значений. Если пренебречь активным сопротивлением катушки индуктивности, величину C_МВ. можно приближенно вычислить из выражения .

3.2. Собрать схему r-C (выполнить параллельный перенос

контактов с L_B на ёмкость С_Н ). Исследовать U_С ( f , f ,

U_R ( f , a_i (f . Схему не разбирать.