![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Согласованный фильтрВ разделе 3 введенное понятие «согласованный фильтр» (СФ) как устройство для вычисления коэффициента представления демодулируемого сигнала в ортонормированном базисе. СФ находит более широкое применение в аппаратуре систем передачи. Поэтому ниже рассматривается СФ из общих позиций. Есть линейный четырехполюсник (фильтр) с передаточной функцией H(jw). На его вход подается сумма детерминированного импульсного сигнала s(t) и помехи n(t): z(t) = s(t) + n(t). На выходе четырехполюсника имеет место сумма откликов на сигнал и помеху y(t) = ys(t) + yn(t). К выходу четырехполюсника подключен дискретизатор для взятия отсчета в момент t0 (рис. 4.1). Такое устройство используется для ослабления помехи и взятия отсчета с целью определения амплитудного значения импульса s(t).
Согласованный фильтр (СФ) используется не только для максимального ослабления помехи, но и для выполнения некоторых других важных преобразований сигналов и помех. Поэтому рассмотрим свойства УФ. 1. Найдем передаточную функцию H(jw). Сигнал s(t) задан, а помеха n(t) – белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. Пусть
спектральная плотность сигнала s(t). Тогда спектральная плотность выходного сигнала ys(t) определяется
Отсчетное значение сигнала ys(t0) определим как обратное преобразование Фурье от Sвых(jw) для момента времени t0
Мощность шума на выходе фильтра (средний квадрат отсчета шума yn(t0)) определяются
Запишем отношение мгновенной мощности сигнала ys2(t0) к средней мощности шума Pn вых в отсчетный момент
Будем искать передаточную функцию H(jw), при которой имеет место максимальное значение числителя в соотношении (4.5). Воспользуемся тем, что интеграл в числителе – скалярное произведение двух функций S*(jw) и
После подстановки выражения (4.6) в соотношение (4.5) получим
Здесь использовано, что энергия сигнала s(t) определяется
Видим, что при выполнении соотношения (4.6) обеспечивается не только максимум числителя отношения сигнал/шум (4.5), но и максимум этого отношения (значение r не зависит от конкретного вида передаточной функции H(jw), входящей в знаменатель). Таким образом, задача определения передаточной функции СФ H(jw) решена. 2. Соотношение (4.7) определяет максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в отсчетный момент. Это отношение принято называть пиковым
Определим выигрыш в отношении сигнал/шум, показывающий во сколько раз увеличивается отношение сигнал/шум при фильтрации СФ,
где Fш – шумовая полоса помехи на входе фильтра; Ts – длительность сигнала s(t); Ps и Pn – средние мощности сигнала и помехи на входе фильтра. Из выражения (4.10) видно, что при определенных соотношениях между шумовой полосой помехи и длительностью сигнала выигрыш может принимать большие значения. 3. Найдем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики СФ. Передаточная функция любой линейной электрической цепи определяет ее АЧХ и ФЧХ: H(jw) = H(w) eхр(jj(w)), (4.11) где H(w) – АЧХ цепи, j(w) – ФЧХ цепи. Представим спектральную плотность сигнала s(t) через модуль и аргумент S(jw) = S(w) exp(jy(w)), (4.12) где S(w) – амплитудный спектр сигнала, y(w) – фазовый спектр сигнала. После подстановки (4.11) и (4.12) в (4.6) получим, что АЧХ УФ H(w) = сS(w) (4.13) с точностью до произвольного коэффициента совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым фильтр согласован. Коэффициент передачи CФ больше на тех частотах, на которых больше составляющие сигнала s(t). Равенство аргументов левой и правой частей (4.6) дает j(w) = –y(w) – wt0, (4.14) что трактуется так: ФЧХ СФ с точностью до линейного слагаемого противоположна по знаку фазовому спектру сигнала, с которым фильтр согласован. Для выяснения физической сущности ФЧХ СФ рассмотрим некоторую составляющую сигнала частоты fi: Aicos(2pfi t+ yi). Эта составляющая на выходе CФ определяется: Ai(fi)cos(2pfit+ yi + j(fi)) = Ai(fi)cos(2pfit + yi – yi – 2pfit0). Полная фаза колебания равняется 2pfi(t – t0). В момент t = t0 полная фаза колебания равна нулю независимо от частоты. В этот момент все составляющие находятся в фазе и при сложении дают максимально возможное значение отклика. 4. Найдем импульсную реакцию СФ как обратное преобразование Фурье от передаточной функции
Видим, что импульсная реакция СФ является зеркальным отображением сигнала, с которым фильтр согласован, относительно точки t0 в масштабе с. Пример 4.1. Построим график импульсной реакции фильтра, согласованного с сигналом Условием физической реализуемости линейной электрической цепи является требование к ее импульсной реакции: g(t) º 0 для значений t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t0 ³ Ts, где Ts – длительность сигнала s(t).
а
5. Пусть на входе СФ действует произвольный сигнал z(t). Отклик фильтра определяется интегралом Дюамеля
где Kzs(t) – функция взаимной корреляции сигналов z(t) и s(t). Из выражения (4.16) вытекает, что форма сигнала на выходе СФ определяется функцией взаимной корреляции входного сигнала и сигнала, с которым фильтр согласован, а именно, она повторяет функцию взаимной корреляции в масштабе с и смещена вправо на t0. Если в соотношении (4.16) положить с = 1 и t0 = Ts, то легко убедиться, что y(Ts) дает значение скалярного произведения сигналов z(t) и s(t). Это свойство СФ использовалась выше для определения коэффициентов разложения – соотношение (3.4). 6. Пусть на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован. Тогда на основании (4.16) запишем
где Ks(t) – функция корреляции сигнала s(t). Таким образом, если на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован, то отклик фильтра определяется функцией корреляции сигнала, а именно, она повторяет функцию корреляции сигнала в масштабе с и смещена вправо на t0. Упражнение 4.1. Проиллюстрируем рассмотренные свойства СФ на примере фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом амплитуды А и длительности Ts. Пусть с = 1/A и t0 = Ts. Импульсная реакция фильтра, согласованного с П-импульсом, имеет П-образную форму, амплитуду 1 и длительность Ts, т.е. импульсная реакция совпадает с сигналом (рис. 4.3, а). Спектральная плотность П-импульса определяется преобразованием Фурье Sп(jw) = На основе соотношения (4.6) получим выражение для передаточной функции фильтра, согласованного с П-импульсом, если с = 1/A и t0 = Ts H(jw) = Из этого соотношения вытекает, что схема фильтра, согласованного с П‑импульсом, состоит из интегратора (с передаточной функцией 1/jw), устройства задержки на время Ts (с передаточной функцией exp(–jwTs)) и вычитателя (рис. 4.3, в). На этом рисунке цифрами обозначены отдельные точки схемы для обсуждения ее работы. Легко получить выражение для АЧХ фильтра, согласованного с П‑импульсом. Окончательное выражение для АЧХ после перехода к сменной f имеет вид функции sin(x)/x
АЧХ СФ и амплитудный спектр сигнала показаны на рис 4.3, б. На рис. 4.4, а показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход d-функции. На выходе схемы наблюдается импульсная реакция. На рис. 4.4, б показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход импульса, с которым фильтр согласован. На выходе схемы наблюдается отклик, совпадающий с корреляционной функцией П-импульса длительностью Тs (см. модуль 1).
Контрольные вопросы 1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра? 2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра. 3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?
|