КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Согласованный фильтрВ разделе 3 введенное понятие «согласованный фильтр» (СФ) как устройство для вычисления коэффициента представления демодулируемого сигнала в ортонормированном базисе. СФ находит более широкое применение в аппаратуре систем передачи. Поэтому ниже рассматривается СФ из общих позиций. Есть линейный четырехполюсник (фильтр) с передаточной функцией H(jw). На его вход подается сумма детерминированного импульсного сигнала s(t) и помехи n(t): z(t) = s(t) + n(t). На выходе четырехполюсника имеет место сумма откликов на сигнал и помеху y(t) = ys(t) + yn(t). К выходу четырехполюсника подключен дискретизатор для взятия отсчета в момент t0 (рис. 4.1). Такое устройство используется для ослабления помехи и взятия отсчета с целью определения амплитудного значения импульса s(t). Фильтр называется согласованным с сигналом s(t), если при подаче на его вход суммы сигнала s(t) и помехи n(t) на его выходе в определенный момент времени t0 имеет место максимальное отношение мгновенной мощности сигнала ys2(t0) к средней мощности шума Pn вых. Согласованный фильтр (СФ) используется не только для максимального ослабления помехи, но и для выполнения некоторых других важных преобразований сигналов и помех. Поэтому рассмотрим свойства УФ. 1. Найдем передаточную функцию H(jw). Сигнал s(t) задан, а помеха n(t) – белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. Пусть – (4.1) спектральная плотность сигнала s(t). Тогда спектральная плотность выходного сигнала ys(t) определяется . (4.2) Отсчетное значение сигнала ys(t0) определим как обратное преобразование Фурье от Sвых(jw) для момента времени t0 . (4.3) Мощность шума на выходе фильтра (средний квадрат отсчета шума yn(t0)) определяются . (4.4) Запишем отношение мгновенной мощности сигнала ys2(t0) к средней мощности шума Pn вых в отсчетный момент . (4.5) Будем искать передаточную функцию H(jw), при которой имеет место максимальное значение числителя в соотношении (4.5). Воспользуемся тем, что интеграл в числителе – скалярное произведение двух функций S*(jw) и (S*(jw) – функция, комплексно спряженная с функцией S(jw)). Скалярное произведение функций максимальное, если функции совпадают с точностью до произвольного положительного коэффициента c, т.е. = с×S*(jw). Значит, максимум числителя (4.5) имеет место при передаточной функции . (4.6) После подстановки выражения (4.6) в соотношение (4.5) получим . (4.7) Здесь использовано, что энергия сигнала s(t) определяется . (4.8) Видим, что при выполнении соотношения (4.6) обеспечивается не только максимум числителя отношения сигнал/шум (4.5), но и максимум этого отношения (значение r не зависит от конкретного вида передаточной функции H(jw), входящей в знаменатель). Таким образом, задача определения передаточной функции СФ H(jw) решена. 2. Соотношение (4.7) определяет максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в отсчетный момент. Это отношение принято называть пиковым . (4.9) Определим выигрыш в отношении сигнал/шум, показывающий во сколько раз увеличивается отношение сигнал/шум при фильтрации СФ, , (4.10) где Fш – шумовая полоса помехи на входе фильтра; Ts – длительность сигнала s(t); Ps и Pn – средние мощности сигнала и помехи на входе фильтра. Из выражения (4.10) видно, что при определенных соотношениях между шумовой полосой помехи и длительностью сигнала выигрыш может принимать большие значения. 3. Найдем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики СФ. Передаточная функция любой линейной электрической цепи определяет ее АЧХ и ФЧХ: H(jw) = H(w) eхр(jj(w)), (4.11) где H(w) – АЧХ цепи, j(w) – ФЧХ цепи. Представим спектральную плотность сигнала s(t) через модуль и аргумент S(jw) = S(w) exp(jy(w)), (4.12) где S(w) – амплитудный спектр сигнала, y(w) – фазовый спектр сигнала. После подстановки (4.11) и (4.12) в (4.6) получим, что АЧХ УФ H(w) = сS(w) (4.13) с точностью до произвольного коэффициента совпадает с амплитудным спектром сигнала, с которым фильтр согласован. Коэффициент передачи CФ больше на тех частотах, на которых больше составляющие сигнала s(t). Равенство аргументов левой и правой частей (4.6) дает j(w) = –y(w) – wt0, (4.14) что трактуется так: ФЧХ СФ с точностью до линейного слагаемого противоположна по знаку фазовому спектру сигнала, с которым фильтр согласован. Для выяснения физической сущности ФЧХ СФ рассмотрим некоторую составляющую сигнала частоты fi: Aicos(2pfi t+ yi). Эта составляющая на выходе CФ определяется: Ai(fi)cos(2pfit+ yi + j(fi)) = Ai(fi)cos(2pfit + yi – yi – 2pfit0). Полная фаза колебания равняется 2pfi(t – t0). В момент t = t0 полная фаза колебания равна нулю независимо от частоты. В этот момент все составляющие находятся в фазе и при сложении дают максимально возможное значение отклика. 4. Найдем импульсную реакцию СФ как обратное преобразование Фурье от передаточной функции (4.15) Видим, что импульсная реакция СФ является зеркальным отображением сигнала, с которым фильтр согласован, относительно точки t0 в масштабе с. Пример 4.1. Построим график импульсной реакции фильтра, согласованного с сигналом Условием физической реализуемости линейной электрической цепи является требование к ее импульсной реакции: g(t) º 0 для значений t < 0. Из рис. 4.2 видно, что для выполнения этого условия необходимо наложить требование на момент отсчета: t0 ³ Ts, где Ts – длительность сигнала s(t).
а
5. Пусть на входе СФ действует произвольный сигнал z(t). Отклик фильтра определяется интегралом Дюамеля , (4.16) где Kzs(t) – функция взаимной корреляции сигналов z(t) и s(t). Из выражения (4.16) вытекает, что форма сигнала на выходе СФ определяется функцией взаимной корреляции входного сигнала и сигнала, с которым фильтр согласован, а именно, она повторяет функцию взаимной корреляции в масштабе с и смещена вправо на t0. Если в соотношении (4.16) положить с = 1 и t0 = Ts, то легко убедиться, что y(Ts) дает значение скалярного произведения сигналов z(t) и s(t). Это свойство СФ использовалась выше для определения коэффициентов разложения – соотношение (3.4). 6. Пусть на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован. Тогда на основании (4.16) запишем , (4.17) где Ks(t) – функция корреляции сигнала s(t). Таким образом, если на вход СФ подается сигнал, с которым фильтр согласован, то отклик фильтра определяется функцией корреляции сигнала, а именно, она повторяет функцию корреляции сигнала в масштабе с и смещена вправо на t0. Упражнение 4.1. Проиллюстрируем рассмотренные свойства СФ на примере фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом амплитуды А и длительности Ts. Пусть с = 1/A и t0 = Ts. Импульсная реакция фильтра, согласованного с П-импульсом, имеет П-образную форму, амплитуду 1 и длительность Ts, т.е. импульсная реакция совпадает с сигналом (рис. 4.3, а). Спектральная плотность П-импульса определяется преобразованием Фурье Sп(jw) = . (4.18) На основе соотношения (4.6) получим выражение для передаточной функции фильтра, согласованного с П-импульсом, если с = 1/A и t0 = Ts H(jw) = . (4.19) Из этого соотношения вытекает, что схема фильтра, согласованного с П‑импульсом, состоит из интегратора (с передаточной функцией 1/jw), устройства задержки на время Ts (с передаточной функцией exp(–jwTs)) и вычитателя (рис. 4.3, в). На этом рисунке цифрами обозначены отдельные точки схемы для обсуждения ее работы. Легко получить выражение для АЧХ фильтра, согласованного с П‑импульсом. Окончательное выражение для АЧХ после перехода к сменной f имеет вид функции sin(x)/x . (4.20) АЧХ СФ и амплитудный спектр сигнала показаны на рис 4.3, б. На рис. 4.4, а показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход d-функции. На выходе схемы наблюдается импульсная реакция. На рис. 4.4, б показаны процессы, имеющие место в СФ при подаче на его вход импульса, с которым фильтр согласован. На выходе схемы наблюдается отклик, совпадающий с корреляционной функцией П-импульса длительностью Тs (см. модуль 1).
Контрольные вопросы 1. Что является критерием оптимальности согласованного фильтра? 2. Пересчитайте свойства согласованного фильтра. 3. Как определяется пиковое отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?
|