Обратные значения по модулю

Помните, что такое обратные значения? Обратное значение для 4 — 1/4, потому что 4*1/4 =1. В мире вычетов проблема усложняется:

4*x = 1 (mod 7)

Это уравнение эквивалентно обнаружению x и k, таких что

4x = 7k + 1

где x и k – целые числа. Общая задача состоит в нахождении x, такого что

1 = (a*x) mod n

Это также можно записать как

a-1 º x (mod n)

Проблему обратных значений по модулю решить нелегко. Иногда у нее есть решение, иногда нет. Например, обратное значение 5 по модулю 14 равно 3. С другой стороны у числа 2 нет обратного значения по модулю 14.

В общем случае для уравнения a-1º x (mod n) существует единственное решение, если a и n взаимно просты. Если a и n не являются взаимно простыми, то a-1 º x (mod n) не имеет решений. Если n является простым числом, то любое число от 1 до n–1 взаимно просто с n и имеет в точности одно обратное значение по модулю n.

Так, хорошо. А теперь как вы собираетесь искать обратное значение a по модулю n? Существует два пути. Обратное значение a по модулю n можно вычислить с помощью алгоритма Эвклида. Иногда это называется расширенным алгоритмом Эвклида.

Вот этот алгоритм на языке C++:

#define isEven(x) ((x & 0x01) == 0)

#define isOdd(x) (x& 0x01)

#define swap(x,y) (x^= y, y^= x, x^= y)

void ExtBinEuclid(int *u, int *v, int *u1, int *u2, int *u3)

{

// предупреждение: u и v будут переставлены, если u<v

int k, tl, t2, t3;

if (*u < *v) swap(*u<,*v);

for (k = 0; isEven(*u) && isEven(*v); ++k)

{

*u>>=1; *v >>1;

}

*u1 = 1; *u2 = 0; *u3 = *u; t1 = *v; t2 = *u - 1; t3 = *v;

do {

do {

if (isEven(*u3)) {

if (isOdd(*ul) || isOdd(*u2)) {

*u1 += *v; *u2 += *u;

}

*ul >>* 1; *u2 >>= 1; *u3 >>= 1;

}

if (isEven(t3) || *u3 < t3) {

swap(*ul,tl); smap(*u2,t2); smap(*u3,t3);

}

} while (isEven(*u3));

while (*ul < tl || *u2 < t2) {

*ul += *v; *u2 += *u;

}

ul -= tl; *u2 -= t2; *u3 -= t3;

} while (t3 > 0);

while (*ul >= *v && *u2 >= *u) {

*ul>l -= *v; *u2 -= *u;

}

*u <<= k; *v <<= k; *u3 << k;

}

void main(int argc, char **argv)

{

int a, b, gcd;

if (argc < 3) {

cerr << "как использовать: xeuclid u v" << end1;

return -1;

}

int u = atoi(argv[1]);

int v = atoi(argv[2]);

if (u <= 0 || v <= 0 ) {

cerr << "Аргумент должен быть положителен!" << end1;

return -2;

}

// предупреждение: u и v будут переставлены если u < v

ExtBinEuclid(&u, &v, &a, &b, &gcd);

cout << a <<" * " << u << " + (-"

<< b << ") * " << v << " = " << gcd << end1;

if (gcd == 1)

cout << "Обратное значение " << v << " mod " << u << " is: "

<< u - b << end1;

return 0;

}

Алгоритм итеративен и для больших чисел может работать медленно. Кнут показал, что среднее число выполняемых алгоритмом делений равно:

0.843*log2(n) + 1.47.

Решение для коэффициентов

Алгоритм Эвклида можно использовать и для решения следующих проблем: дан массив из m переменных x1, x2, ..., xm, найти массив m коэффициентов, ul, u2, ..., um, таких что

ul * x1+...+ um * xm, = 1