Алгоритм Дейкстры

Первая оптимизация, которая приходит на ум. А давайте релаксировать те вершины, путь до которой сейчас минимальный? Собственно, именно эта идея и пришла мне в один прекрасный день в голову. Но, как оказалось, эта идея пришла первому далеко не мне. Первому она пришла замечательному ученому Дейкстре. Более того, именно он доказал, что выбирая вершину для релаксации таким образом, мы проведем релаксацию не более, чем n раз! На интуитивном уровне понятно, что если до какой-то вершины путь сейчас минимальный, то еще меньше сделать его мы не сможем. Более формально можно прочитать на замечательном сайте e-maxx(Дружно говорим спасибо Максиму e-maxx Иванову) или на Википедии.
Теперь дело осталось за малым, понять как эффективно искать вершину с минимальным расстоянием до нее. Для этого воспользуемся очередью с приоритетами(куча, heap). В stl есть класс, который реализует ее и называется priority_queue. Приведу реализацию, которая, опять же, напрямую следует из предыдущего(описанного в этой статье) алгоритма.

Скорее всего не совсем понятно, что здесь происходит. Начнем с объявления очереди с приоритетами. Здесь первый аргумент шаблона — данные, которые хранятся в очереди, а конкретно пары вида (расстояние до вершины, номер вершины), второй аргумент шаблона — это контейнер, в котором будут храниться данные, третий аргумент, компоратор(находится, кстати, в заголовочном файле functional). Почему нам нужен какой-то другой компоратор? Потому что при стандартном обявленииpriority_queue< pair<int, int> >, доставать получится только те вершины, расстояние до которых максимально, а нам-то нужно совсем наоборот. Есть и другой способ, который предлагает e-maxx, будем хранить отрицательные значения длин, а при вытаскивании длины из очереди умножать на -1(подробнее прочитать можно здесь). Ассимптотика такого решения поставленной задачи O(n * log(n) + m * log(n)). Действительно, всего у нас n релаксаций, а вершину с минимальной длиной пути до нее, мы ищем за log(n)(именно такая ассимптотика у стандартной очереди с приоритетами stl). Так же следует заметить, что у нас может получится так, что мы добавили в очередь одну и ту же вершину, но с разными путями до нее. Например, мы провели релаксацию из вершины A, у которой в соседях вершина C, а потом провели релаксацию из вершины B, у которой так же в соседях вершина C, для ухода от проблем, связанных с этим, будем просто пропускать те вершины, которые мы достали из очереди, но расстояние из очереди до которых не актуально, т.е. больше, чем текущее кратчайшее. Для этого в реализации присутствует строчка if (u.first > dist[u.second]) continue;