Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли

Задача 1. Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».

Решение. Шестикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки»), равной 1/6, и вероятностью неудачи — 5/6. Искомую вероятность вычисляем по формуле .

Задача 2. Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.

Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза:

Р(А) = Р₆(0) + Р₆(1) + Р₆(2) = .

Задача 3. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.

Решение. Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е.

.

Задача 4. Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).

Решение. Возможными значениями для числа успехов в трех рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть A_m - событие, состоящее в том, что при трех подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A_m (см. таблицу):

Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из теоремы 2. Действительно, n=3, p=1/2, q=1/2. Тогда

, т.е. .

Задача 5. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов.

Решение. Имеем n=10, p=0,1, q=0,9. Неравенство для наиболее вероятного числа успехов принимает вид: 25×0,1–0,9£m*£25×0,1+0,1 или 1,6£m*£2,6. У этого неравенства только одно целое решение, а именно, m*=2.

Задача 6. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?

Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005. Применяя пуассоновское приближение с λ=np=5, получаем

1) P₁₀₀₀(3)» ;

2) P₁₀₀₀(m³3)=1-P₁₀₀₀(m<3)=1-[ ]»1- ,

и Р₁₀₀₀(3)»0,14; Р₁₀₀₀(m³3)»0,875.

Задача 7.Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.

Решение. В данном случае n=100, m=80, p=0,75, q=0,25. Находим , и определяем j(x)=0,2036, тогда искомая вероятность равна Р₁₀₀(80)= .

Задача 8. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.

Решение. По условию задачи n=40000, p=0,02. Находим np=800, . Для вычисления Р(m£870) воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

Р(0<m£870)= Ф₀(х₂) –Ф₀(х₁), где и .

Находим по таблице значений функции Лапласа:

Р(0<m£870)=Ф₀(х₂)–Ф₀(х₁)=Ф₀(2,5)–Ф₀(–28,57)=0,4938+0,5=0,9938.

Задача 9.Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число e, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала e.

Решение. По условию задачи p=0,8, n=400. Используем следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа: . Следовательно, . По таблице для функции Лапласа определяем . Отсюда e=0,0516.

Задача 10. Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.

Решение. Возможны только следующие два варианта развития событий:

1) курс растет 2 дня, ни разу не падает, не меняется 3 дня;

2) курс растет 3 дня, падает 1 день, не меняется 1 день.

Таким образом,