Похибки непрямих вимірювань.

При непрямих вимірюваннях досліджувана величина y визначається як деяка функція інших величин х₁, х₂ ... х_m , які знаходяться шляхом прямих вимірювань у = f(х₁, х₂ ... х_m). Оскільки кожна із величин х_і виміряна із відповідною їй випадковою похибкою Dх_і, то величина у також буде виміряна із деякою похибкою Dу.

Відомо, що повний диференціал функції визначається за формулою

(10)

При малих значеннях диференціалу аргумента dх (або приростах аргумента Dх) приріст функції Dу приблизно рівний її диференціалу dy:

(11)

Якщо у виразі (11) прирости змінних аргументів замінити їх середніми абсолютними похибками, а частинні похідні обчислити за середніми арифметичними значеннями цих величин і взяти по модулю, то отримаємо вираз для знаходження середньої абсолютної похибки досліджуваної величини у:

(12)

Середньоквадратична похибка результату непрямого вимірювання визначається за формулою:

(13)

де - наближені значення середньоквадратичних похибок окремих вимірювань величин х₁ ... х_m.

Послідовність обробки результатів непрямих вимірювань така:

1. Провести всі прямі вимірювання величин х_і (і=1 ... m), що входять в робочу формулу не менше ніж n=5 разів.

2. Обчислити їх середні арифметичні значення:

;

Знайдені середні значення записати в таблицю.

3. Обчислити наближені середньоквадратичні похибки всіх прямих вимірювань

;

4. Знайти частинні похідні та обчислити їх за середніми значеннями величини аргументів.

5. За формулою (13) обчислити наближене значення середньоквадратичної похибки непрямого вимірювання s_ny .

6. Обчислити середнє значення вимірюваної величини

у_ср= f(х_1ср, х_2ср,...,х_mср)

7. Задатись коефіцієнтом надійності Р. По таблиці коефіцієнтів Стьюдента знайти відповідний даному значенню Р та числу вимірів n коефіцієнт t_р,n.

Визначити величину довірчого інтервалу

8. Кінцевий результат записати в інтервальній формі та вказати довірчу імовірність

у_ср±Dу , Р.

Можна провести оцінку похибки окремих вимірювань величини у=f(x₁, x₂, ... x_m) іншим способом, який простіший за перший, але математично менш строгий.

За другим способом послідовність обробки результатів непрямих вимірювань така:

1. Проводять прямі вимірювання кожної незалежної змінної, що входить в робочу формулу n разів. Для кожної з них одержують ряд значень:

2. Визначають значення досліджуваної величини для кожної серії вимірювань:

3. Знаходять середнє арифметичне досліджуваної величини

4. Cередню квадратичну похибку s_nу та довірчий інтервал Dу обчислюють так, як у випадку прямих вимірювань величини.

Розглянемо на прикладі, як оцінити похибку непрямих вимірювань.

Робоча формула для обчислення моменту інерції маятника у лабораторній роботі №104

де m - маса підвішеного тягарця;

r - радіус шківа;

t - час, протягом якого тягарець проходить шлях h;

g=9,81 м /с² - прискорення вільного падіння.

В результаті п`яти вимірювань радіуса шківа r та часу t були одержані такі значення:

r, мм 41,1; 41,4; 41,5; 41,3; 41,6.

t, c 2,72; 2,67; 2,80; 2,75; 2,73.

При повторних вимірюваннях шляху h було одержане одне і те ж значення h=410 мм, тому похибка вимірювання цієї величини була визначена як точність шкали приладу Dh=0,5 мм. Маса тягарця m не вимірювалась, а була задана m=0,130 кг із похибкою Dm=0,005 кг.