Системы исчисления и способы перевода чисел из одной системы исчисления в другую

Системой исчисления (исчислением, нумерацией) называют систему приемов и правил, которые позволяют установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множества символов, которые используются для такого представления, называют цифрами. Каждой цифре отвечает определенное количество, которое выражается этой цифрой и называется численным значением или количественным эквивалентом данной цифры.

Различают непозиционные и позиционные системы исчисления. В непозиционных системах имеет место однозначное соответствие между цифрами и их количественными эквивалентами, а любое число определяется как некоторая функция от количественных эквивалентов совокупности цифр, которые изображают это число. Если как эта функция используется функция сложения, то систему называют адитивною, если же используется функция умножения, систему называют мультипликативной. Примерами непозиционных адитивних систем исчисления являются римская система и единичная (унитарная) система.

Однако непозиционные системы не получили значительного распространения в ЦОТ, поскольку они характеризуются очень сложными и громоздкими алгоритмами представления чисел и выполнения арифметических операций.

Систему исчисления называют позиционной, если одна и та же цифра может отвечать разным количественным эквивалентам в зависимости от номера местоположения (разряда) этой цифры в совокупности цифр, которые изображают заданное число. Позиционные системы разделяют на однородные и смешанные. Во всех разрядах числа, представленного в однородной системе, используются цифры из одного и того же множества. Например, в привычной десятичной системе во всех разрядах любого числа используются цифры из множества {0, 1 ..., 9}, в двоичной системе — цифры из множества {0, 1} и тому подобное. В смешанных системах множество цифр разная для разных разрядов. Примерами смешанных систем является система для измерения углов и дуг (в разрядах минут и секунд могут быть использовано 60 разных цифр, в разряде градусов — 360 разных цифр), система измерения времени, например, в тысячелетиях, столетиях, годах, месяцах, неделях, сутках, часах, минутах, секундах, десятых, сотых долях секунды.

Когда в позиционной системе для каждой цифры есть отдельный символ, ее называют системой с непосредственным представлением цифр. Существуют также позиционные системы с кодируемым представлением цифр. В таких системах количество символов меньше, чем количество цифр, а каждая цифра кодируется определенной комбинацией нескольких символов, которые есть, как правило, цифры другой системы исчисления. Например, в смешанной системе измерения дуг и углов каждая цифра разряда градусов кодируется тремя десятичными символами, а в разрядах минут и секунд — двумя десятичными символами.

Подавляющее распространение в ЦОТ получили однородные позиционные системыисчисления. В такой системе с непосредственным представлением цифр любое число X выражается в виде

где k — основа системы исчисления, то есть количество цифр, которые используются в данной системе (k= 2, 3 ...); х — цифры і-го разряда представления числа в системе с основой k. Величину k_i принято называть весом і-го разряда. Поскольку значение k известно заранее, то выражение (1.4) запишем в более простой форме

В выражении (1.5) запятая отделяет целую часть числа (n+1 разрядов) от дробной (m разрядов), а вес і-го разряда в k раз больший вес i-1-го разряда. Такую систему исчисления называют системой с естественным порядком весов. Существуют системы с искусственным порядком весов, для которых указанное соотношение весов соседних разрядов не является обязательным. Известные, например, системы с искусственным порядком весов, в которых целое позитивное число X выражается так:

Позиционные однородные системы с естественным порядком весов разделяют также на системы с натуральными, негативными, дробными и комплексными основами. Представление числа в какой-либо системе исчисления называют кодом.

Системы исчисления с натуральной основой, в которых имеет место взаимно однозначное соответствие между числом и его кодом конечной длины, получаемым за конечное число шагов, называют каноничными. В каноничных системах исчисления при записи чисел в каждом разряде может быть использована одна с разных цифр, включая цифру 0. Позиционные системы исчисления с естественным порядком весов, в которых количество разных допустимых цифр превышает основу k, называют избыточными. Избыточные системы используют в ЦОТ с целью повышения надежности обработки информации и скорости выполнения арифметических операций. В таких системах одному числу может отвечать несколько кодов конечной длины, но одному коду отвечает одно число: Если количество разных цифр в избыточной системе равняется k + 2 и при этом k = 2l, , или k = 2l+l, , то такую

Широкое распространение в практике вычислительных работ получила десятичная позиционная однородная система исчисления. Однако эта система не является самой удобной для реализации ее в ЭВМ, где, как правило, используют системы исчисления с не десятичной основой — двоичная, восьмеричная и другие, а также двоично-кодируемые системы (то есть такие системы, цифры которых закодированы двоичными символами). Объясняется это в первую очередь простотой, высокой надежностью и высоким быстродействием технических средств, которые используются для представления цифр и выполнения операций, которые используются для представления, в двоичной системе исчисления. Из сравнения цифровых ЭВМ разного назначения выплывает, что обычно машины, которые решают задачи с относительно большим числом операций введения— выведения, которые приходятся на одну операцию из обработки информации, строят с использованием десятичной (двоично-десятичной) системы исчисления. В машинах же, которые решают задачи, где время введения-выведения относительно небольшой по сравнению со временем обработки информации, применяют двоичную систему исчисления. В связи с этим возникает задача превращения (перевод) чисел из одной системы исчисления в другую.

Нетрудно заметить, что правая часть выражения (1.4) определяет правило вычисления количественного эквивалента числа, записанного в форме (1.5). На этом основан один из алгоритмов перевода чисел из одной позиционной системы в другую. Пометим X(k₁) число в k₁-й системе исчисления. Для перевода числа в систему с основой k₂ необходимо записать X_(ki) в форме (1.4), заменить цифры x_i и основу k₁ их k₂-ми представлениями, а затем выполнить операции умножения и добавления в системе с основой k₂. Рассмотрим примеры.

Описанный способ перевода чисел из одной системы в другую получил название способа непосредственного замещения. Наибольшее распространение этот способ получил в так называемом табличном варианте его реализации. В этом случае в памяти ЭВМ хранятся таблицы k₂-x представления k₁-x цифр и степеней основы . Перевод чисел сводится к выборке из этих таблиц k₂-х эквивалентов цифр и степеней основы, а также к выполнению добавления и умножения по правилам
k2-й арифметики. Этот способ удобно использовать в случае, когда k1 < k2 и при переводе чисел в такую систему, где просто выполняются операции добавления и умножения (например, из двоичной системы в десятичную). Для упрощения вычислений при этом можно воспользоваться таким выражением, полученным с (1.4):

Однако при переводе чисел в системы с «непривычными» основами, особенно в случае k₁ > k₂, употребление этого способа связано с достаточно громоздкими вычислениями. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться отдельными способами перевода целых чисел и правильных дробей.

Способ перевода целых чисел из системы с основой k₁ в систему с основой k₂, (k₁ > k₂), заключается в следующем. Число X(k₁) делят на k₂ по правилам деления с основой k₁ к получению остатка. Если частное от деления не ноль, то частичное становится деленным и процесс деления на k₂ продолжают. Как только очередное частичное станет ровным нулю, процесс деления на k₂ прекращают. Остаток, полученный при первом делении на k₂, представляет цифру разряда результата с весом , остаток от второго деления представляет цифру результата с весом и тому подобное. Последний остаток является цифрой результата, который имеет вес .

В случае, когда k₁ < k₂, выполняют умножение цифры с весом числа X(k₁) (старшей цифры числа X(k₁)) на основу k₁, после чего к произведению прибавляют следующую (в порядке убывания весов) цифру числа X(k_i). Результат предыдущей операции умножают на k₁ и добавляют очередную цифру числа X(k_i). Этот процесс заканчивают, когда будет добавлена цифра с весом (младшая цифра). Все вычисления при этом выполняются в k₂-й системе исчисления.

Перевод правильных дробей из системы исчисления с основой k₁ в систему с основой k₂ (k₁ > k₂) осуществляется так.Дробь, соответствующая числу X(k_i). умножается на k₂ по правилам умножение в системе с основой k₁. В полученном произведении отделяется целая часть, которая может быть равной нулю, а дробная часть опять умножается на k₂ с последующим отделением целой части. Эти операции повторяют либо до получения нулевой дробной части произведения, либо к получению необходимого количества разрядов числа X_k2 в новой системе исчисления. Старшая цифра результата перевода (то есть первая после запятой) совпадает с первой отделенной целой частью, вторая цифра результата —- со второй отделенной целой частью и тому подобное.

При k₁ < k₂ для перевода правильной дроби, которая имеет m цифр после запятой, необходимо разделить цифру младшего разряда числа X_k1 на k₁ и составить со следующей цифрой этого числа. Такую операцию необходимо повторить еще m-1 раз, используя на каждом шагу как делимое сумму, полученную на предыдущем шаге. Все операции выполняются в k2-й системе.

В том случае, когда основы позиционных однородных систем исчисления связаны соотношением k₁ = , где g > 0, перевод чисел выполняется очень просто. Если g — целое, перевод сводится к замене каждой k₁-й цифры ее g-розрядным k₂-м представлением. При дробном g начальное число разбивают на g — разрядные группы (начиная с младших разрядов) и каждую группу заменяют ее k₂-м представлением.

Пример 8. Перевести из четверичной системы в двоичную, а затем в шестнадцатеричную число X₍₄₎ — 23013311. В шестнадцатеричной системе количественным эквивалентам 10, 11 15 отвечают цифры А, В ..., F.

Согласно вышеизложенному

X₍₂₎= 1011000111110101;

X₍₁₆₎= B 1 F 5.

Для перевода числа X из каноничной k₁-й системы исчисления в квазиканоничную систему с основой k₂ сначала необходимо представить X в каноничной k₂-й системе. Потом те цифры каноничной k₂-й системы, которых нет в квазиканоничной, заменяют комбинациями цифр квазиканоничной системы. После этого по правилам k₂-й системы подытоживают все полученные комбинации цифр с учетом них весов.

Вопросы для самоконтроля

1. Охарактеризуйте основные виды программного обеспечения ЭВМ.

2. Программное обеспечение ПЭВМ

3. Общие сведения об операционных системах

4. Операционная система Windows XP

5. Основные дополнения к Windows XP

6. Что означает термин «программное обеспечение ПК»?

7. Структура программного обеспечения?

8. Какое программное обеспечение называется системным?

9. Назначение и функции операционных систем?

10. Что Вам известно о прикладном программном обеспечении?

11. Состав пакета Microsoft Office?

12. Что такое информация, данные, знания?

13. Чем отличаются базы данных и базы знаний?

14. Понятие и состав информационной системы?