Представление чисел в ЭВМ

Лекция 5 (конспект).

Позиционные система счисления - 10-ая, 2-ая, 16-ая, и связь между ними.

В настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Система называется позиционной, если значение каждой цифры изменяется в зависимости от её положения в записи числа. Для нас наиболее привычной является десятичная система счисления. В ней используются десять различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Задано основание системы счисления – натуральное B >1. Заданы цифры системы счисления A_i , i=1,2, …B. Пусть M ={ A_1, A_{2, …,} A_B} - алфавит системы счисления; а R_k Î M , k = -n, -n +1, …. 0, 1, 2, … m ; где m, n - неотрицательные целые числа.

Позиционной записью числа Х в системе счисления с основанием В называется его представление в виде:

Х = R_m R_m-1 R_m-2… R₁ R₀ · R _-1 R _-2 … R_-n означает, что

X= R_m*B^m + R_m-1*B^m-1 + R_m-2*B^m-2 +… R₁*B¹ +R_0* B⁰+R _–1 * B^-1 + R _-2 * B^-2 +… R _–n * B^-n, где

· - разделитель целой и дробной части числа X; обычно это точка « . » или запятая «,».

B⁰=1; B^m = B*B*…..B - В умножаем на себя m - раз; B^-n = 1/Bⁿ.

Более компактная запись числа X

.

Например, для «обычной» десятичной системы счисления с основанием В= 10 М={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, запись X= 3269.721 означает, что

Х=3*10³ + 2*10² + 6*10¹ + 9*10⁰ + 7*10^-1 + 2*10^-2 + 1*10^-3.

В записи числа 525.351 цифра 5 встречается три раза и её значение зависит от позиции в записи. Первая слева - это 500, третья слева - это 5, а вторая после десятичной точки - это 5/100 или 5*10^-2.

Основание позиционной сс – это количество единиц младшего разряда, переходящее в 1 старшего соседнего разряда. Например, в 2 сс 1+1=10, в 4-ой сс 3+1=10, или в 8-ой сс 7+1=10, а 7+5= 14, и т.д.

Таблица чисел от 1 до 16, записанных в 2-ой сс, 8-ой сс и 16-ой сс.

Отметим, что в таблице для записи двоичного представления чисел используются 4 бита, хотя для записи чисел от 1 до 8 достаточно 1, 2, или 3 бит. Это представление удобно использовать при переводе чисел из 2сс в 16сс, и наоборот. Для обозначения чисел, идущих последовательно от 10 до 15 в 16-ой системе счисления используют символы: A,B,C,D,E,F. То есть A = 9+1, B = A+1, A+3 = D и т.д.

Двоичная система счисления (2сс): основание 2сс равно 2, цифры 2сс - это 0 и 1.

Пример записи чисел в 2сс : 11100101.101 означает 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2² + 2⁰ + 1/2 + 1/2³ = 128 + 64 + 32 + 4 +1 + 0.5 +0.125 = 229. 625. Перевод чисел из 2сс в 10сс достаточно прост.

Перевод из 10сс в 2сс поясним на примерах.

Пример 1. Перевести из 10сс в 2сс число 42.73

Отдельно переводим целую и дробную части числа.

a) Для перевода целой части (42) проводим ряд последовательных делений десятичного числа на 2. При каждом таком делении находим частное (r) и остаток (q). Полученное частное вновь делим на 2 , и.т.д. Процесс останавливается, когда при очередном делении частное будет равно 0.

42 : 2 = 21 (0) r = 21, q = 0

21 : 2 = 10 (1) r = 10, q = 1

10 : 2 = 5 (0) r = 5, q = 0

5 : 2 = 2 (1) r = 2, q = 1

2: 2 = 1 (0) r = 1, q = 0

1 : 2 = 0 (1) r = 0, q = 1

Полученные остатки q выписываем начиная с самого последнего - это и будет двоичный код числа 42 : 42₁₀ =101010₂ .

b) Для перевода дробной части десятичного числа в 2сс проводим ряд последовательных умножений на 2. В полученном произведении на каждом шаге отделяем целую часть (r) от дробной (q). Дробную часть вновь умножаем на 2, и т.д. Процесс заканчивается, если на очередном шаге дробная часть будет равна нулю. Здесь возможны случаи, при которых очередная дробная часть q уже всречалась на предыдущих шагах процесса - то есть мы получим периодическую двоичную дробь. Если такой момент не наступает - мы имеем дело с бесконечной двоичной дробью. Выписываем полученные целые части r в порядке их появления - это и будет искомая двоичная дробь.

0. 73 * 2 = 1. (46 ) r =1, q= 0.46

0. 46 * 2 = 0. (92 ) r =0, q= 0.92

0. 92 * 2 = 1. (84 ) r =1, q= 0.84

0. 84 * 2 = 1. (68 ) r =1, q= 0.68

0. 68 * 2 = 1. (36 ) r =1, q= 0.36

и т.д. Получаем приближенное представление десятичной дроби 0. 73 = 0.10111…

Окончательно получаем 42.73 = 101010.10111…

Пример 2.

Представить в 2сс десятичное число 0.15 в виде двоичной дроби.

0.15 * 2 = 0. (3) r = 0, q = 0.3

0.3 * 2 = 0. (6) r = 0, q = 0.6

0.6 * 2 = 1. (2) r = 1, q = 0.2

0.2 * 2 = 0. (4) r = 0, q = 0.4

0.4 * 2 = 0. (8) r = 0, q = 0.8

0.8 * 2 = 1. (6) r = 1, q = 0.6

0.6 * 2 = 1. (2) r = 1, q = 0.2 - повторение. см. строку 3.

Получили представление числа 0.15 в виде двоичной периодической дроби:

0.15 = 0.00100110011001…= 0.00(1001).

Пример 3. Представить в двоичной системе дроби 3/4, 5/8, 13/16:

3 = 11, 4 = 100 ® 3/4 = 11/100 = 0.11;

5 = 101, 8 =1000 ® 5/8 = 101/1000 = 0.101;

13 = 1101, 16 = 10000 ® 13/16 = 1101/10000 = 0.1101

Основные типы данных в ЭВМ:

1) Логические коды – представлены в таблице ASCII;

2) Числа с фиксированной запятой;

3) Числа с плавающей запятой;

Представление чисел в ЭВМ

Любое число размещается в памяти машины со своим знаком и фиксированным количеством разрядов. Есть два способа записи чисел в ЭВМ:

1. Система записи чисел с фиксированной запятой.

2. Система записи чисел с плавающей точкой.