Этапы математического моделирования.

Принято выделять три основных этапа при изучении явления с помощью математического моделирования:

I этап- создание основы математической модели. При этом необходимо:

а) накопить экспериментальные данные о процессах в изучаемой системе,

б) составить уравнение или систему уравнений, описывающих известные факты.

II этап- проверка и корректировка модели. При этом необходимо:

а) определить численные значения коэффициентов и задать начальные условия,

б) решить систему уравнений,

в) сравнить полученное решение с данными эксперимента, выявить несоответствия, выяснить их причины,

г) ввести поправки в математическую модель.

III этап- исследование математической модели, то есть использование ее в практических целях; конечной целью этого этапа является получение новой информации об исследуемом объекте.

Пример. Математическое моделирование роста популяции микроорганизмов.Динамика численности популяция - изменение количества живых особей в связи с рождаемостью и смертностью - один из важнейших вопросов в экологии популяций. С этой задачей приходится иметь дело при рассмотрении условий размножения саранчи, количества животных на определенной территории, при исследовании заболеваний, обусловленных размножением патогенных микроорганизмов. Именно поэтому математическое моделирование численности популяции вызывает не только теоретический интерес, но и имеет важное практическое значение.

Большинство воспалительных процессов обусловлено развитием популяции патогенных микроорганизмов, и поэтому именно этот фактор необходимо включить в математическую модель, описывающую развитие воспалительных процессов. При развитии популяции микроорганизмов большое значение имеет бактерицидные и бактериостатические воздействия на эти микроорганизмы. К числу таких воздействий относятся: иммунные факторы, конкуренция микроорганизмов в поисках источников питания, воздействие антибактериальных препаратов и др.

После первичного инфицирования популяция микроорганизмов в питательной среде начинает быстро размножаться. Относительная скорость роста численности некоторое время сохраняется постоянной. Иными словами, величина a, равная отношению числа образующихся микроорганизмов dN к полному числу имеющихся микроорганизмов N и времени dt, за которое образуются микроорганизмы, не изменяется во времени:

a= =const или =aN

Коэффициент a зависит от особенностей рассматриваемого вида организмов, а также состава среды, где они размножаются, и физических условий. Его величина, определяющая относительную скорость размножения микроорганизмов, связана с так называемым периодом генерации Т, равным среднему промежутку времени между последовательными делениями микроорганизмов:

a= ln2 / T = 0,69 / T.

Дифференциальное уравнение, описывающее размножение микроорганизмов имеет решение в виде:

N = N_o e^at,

где N_o - число микроорганизмов в момент времени t=0, e@2,71.

Чем больше коэффициент a тем с большей скоростью увеличивается число организмов в популяции.

Полученное уравнение описывает неограниченный рост численности популяции. В реальных условиях в ограниченном пространстве увеличение количества микроорганизмов не может происходить неограниченно. Этому препятствуют истощение запаса питательных веществ, а также продукты жизнедеятельности микроорганизмов, вызывающие их отравление. И поэтому в ходе заболевания увеличение количества микроорганизмов прекращается, а в дальнейшем (по мере выздоровления) происходит сокращение популяции. Поэтому ясно, что простая экспонента не может служить хорошей математической моделью рассматриваемого процесса. Более точное описание развития популяции дает уравнение Ферхюльста-Перла, полученное в 1845 году. Это уравнение учитывает "эффект самоотравления" популяции, или в общем виде - внутривидовую борьбу в популяции. Этот эффект, снижающий скорость роста популяции, объясняется многими причинами: конкурентной борьбой за место и пищу, распространением инфекции из-за тесноты и т.п. Очевидно, конкуренция тем выше, чем большее количество встреч между особями, а количество этих встреч пропорционально произведению N*N = N². С учетом этого эффекта скорость размножения микроорганизмов выражается дифференциальным уравнение Ферхюльста-Перла:

= aN - aN²

Второй член правой части равенства отражает снижение скорости роста популяции из-за внутривидовой конкуренции. Положительную постоянную величину b будем называть коэффициентом самоотравления или коэффициентом внутривидовой конкуренции. Полученное уравнение часто записывают в ином виде. Вынесем за скобки aN. Тогда

.

Обозначив a /b - h, окончательно получаем:

.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

.

Графики этой функции, получившие название логистических кривых, при различных a приведены на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Логистические функции, описывающие рост популяции микроорганизмов.

В начальный момент времени t = 0 количество живых организмов N равно некоторому их начальному значение N₀. Затем приходит экспоненциальное нарастание численности в интервале времени 0 < t < , с момента времени t= скорость увеличения популяции уменьшается, и количество живых организмов асимптотически приближается к величине h. Поэтому величину h называют максимальной численностью популяции (теоретически) возможной в данных условиях. Поскольку h = a/b, то очевидно, что максимальное количество особей в популяции зависит только от условий, определяющих их размножение (a и внутривидовую борьбу (b).

С помощью математической модели Ферхюльста-Перла можно анализировать и более сложные ситуации, например, количество особей в неизолированной популяции. В данном случае рассматриваемое дифференциальное уравнение преобразуется к виду:

= aN - bN² + N₁ - N₂,

где N₁ -приток извне, то есть численность особей, поступающих в данную популяцию (например, из соседнего ареала), N₂ - численность особей, покидающих данную популяцию.

Список литературы

1. Астанин С.В., Курейчик В.М., Попов Д.И., Кузьмицкий А.А. Интеллектуальная образовательная среда дистанционного обучения // Новости искусственного интеллекта. - 2003. - N 1. - С. 7-14.

2. Голенков В.В., Емельянов В.В., Тарасов В.Б. Виртуальные кафедры и интеллектуальные обучающие системы // Новости искусственного интеллекта. - 2001. - N 4. - С. 3-13.

2. Кобринский Б.А. Ретроспективный анализ медицинских экспертных систем // Новости искусственного интеллекта. - 2005. - N 2. - С. 6-17.

3. Кобринский Б.А. Консультативные интеллектуальные медицинские системы: классификации, принципы построения, эффективность // Врач и информационные технологии. - 2008. - N 2. - С. 38-47.

4. Плаксин М.А., Решетников И.П. Мягкие вычисления при диагностике заболеваний // Труды Международного семинара "Мягкие вычисления-96". - Казань, 1996. - С. 166-169.

5. Приходина Л.С., Марьянчик Б.В., Длин В.В. Игнатова М.С. Компьютерная система и нефротренажер для дифференциальной диагностики заболеваний почек у детей с синдромом гематурии // Информационные технологии в здравоохранении. - 2002. - N 8-10. - С. 16-17.

6. Таран Т.А. Технология обучения понятиям в интеллектуальных обучающих системах // Новости искусственного интеллекта. - 2003. - N 6. - С. 18-23.

7. Wille R., Ganter D. Formal concept analysis. - Berlin: Springer - Verlag, 1999.

Контрольные вопросы

1. Что такое клиническая система поддержки принятия решений?

2. В чем заключаются преимущества использования клинических систем поддержки принятия решений?

3. Перечислите основные свойства клинических систем поддержки принятия решений.

4. Какие эффекты достигаются при внедрении клинических систем поддержки принятия решений?

5. Что такое прогнозирование?

6. Какие способы прогнозирования могут использоваться в клинической практике?

7. Что называется моделью?

8. Какие основные виды моделей используются в биологии и медицине?

9. В чем заключаются преимущества использования математического моделирования?

10. Для чего используется модель роста и размножения микроорганизмов?