Фазовые пространства, цель их ввода в физическое познание

Науке известны две основные формы закономерностей: динамические и статистические. Они отличаются по характеру вытекающих из них предсказаний. В законах динамического типа предсказания имеют однозначный характер. В статистических законах предсказания носят вероятностный характер.

Статистические и динамические закономерности - два основных класса закономерностей, получивших в современной физике (можно сказать, и в современной науке) наиболее развитые формы своего теоретического выражения, а вместе с тем и математического воплощения. Для исследования и выражения динамических закономерностей (их часто называют закономерностями жесткой детерминации) используются обычно методы классического математического анализа, особенно методы теории дифференциальных уравнений. Эти методы используются также в познании и выражении статистических закономерностей. Однако решающую роль здесь играют методы теории вероятностей.

Представление о классе закономерностей жесткой детерминации сформировалось в ходе развития классической физики, прежде всего классической механики.

В качестве определяющей черты класса динамических закономерностей обычно рассматривается строго однозначный характер всех без исключения связей и зависимостей, отображаемых в рамках соответствующих представлений и теорий на основе этих законов. В негативной формулировке это означает: там, где нет строгой однозначности в связях, нельзя говорить и о соответствующих закономерностях.

Из однозначного характера связей вытекает их равноценность: любая рассматриваемая связь независимо от природы соответствующих свойств или параметров, в равной мере признается необходимой.

Привлечение вероятностных методов описания возникло не сегодня. Оно хорошо известно и в классической физике. Такие методы, в частности, типичны для молекулярно-кинетической теории, позволяющей находить вероятности различных значений скоростей молекул, длин свободного пробега, плотностей и т.д. При этом, однако, подразумевается, что движение каждой молекулы подчиняется детерминистическим законам классической механики. Они позволяют однозначно предсказать при заданных начальных условиях состояние в будущем, если известны действующие со стороны остальных молекул силы. Лишь из-за того, что количество молекул слишком велико, такое детерминистическое описание в действительности оказывается недостижимым.

Для систем с большим числом частиц более употребителен сокращенный способ описания - язык вероятностей. Он позволяет говорить не об индивидуальной динамической характеристике частицы, а о вероятности реализации данного значения динамической переменной для произвольной, наугад выбранной частицы.

Попытки сочленения детерминистского и вероятностного подходов привели к появлению наглядного приема описания эволюции системы с произвольным числом N частиц. Полный набор динамических переменных в этом случае составляют 6N чисел - 3N координат и 3N импульсов. Тогда состояние системы в целом в данный момент времени можно задать одной точкой в некотором абстрактном пространстве 6N измерений. Такое пространство получило название фазового Г-пространства (в отличие от фазового m-пространства для одной частицы системы), или просто фазового пространства системы. В ходе эволюции системы изображающая точка в фазовом пространстве перемещается, описывая фазовую траекторию. Если разбить фазовое пространство на равновеликие ячейки объемом , размер которых произволен при анализе проблемы с позиций классической механики и ограничен снизу величиной

( – постоянная Планка) в соответствии с законами квантовой механики, фазовая траектория с течением времени будет последовательно занимать различные ячейки. Процедура разбиения Г-пространства на ячейки, с последующим присвоением каждой из них определенного адреса, позволяет эффективно использовать комбинаторные методы при подсчете числа занятых фазовой кривой ячеек, а затем вычислить характерные вероятности и средние значения наблюдаемых величин.

Фундаментальным законом статистической механики является следующее утверждение, называемое принципом микроскопического распределения: находящаяся в равновесии изолированная система с равной вероятностью может быть обнаружена в любой из доступных ячеек фазового пространства. Доступная область ячеек определяется энергией системы.

Применительно к микрообъектам (например, электронам) положение оказывается иным. Чтобы пояснить это различие, подчеркнем два момента:

1) необходимость привлечения вероятностного описания, например, для электронов, вызвана не тем, что электронов много; она остается и в том случае, когда, например, через две щели проходит и один электрон;

2) когда на те же щели налетают классические частицы, то, если существует разброс начальных значений их координат и скоростей, частицы с разными вероятностями будут двигаться по различным траекториям. Однако каждая частица пройдет заведомо лишь через одну какую-либо щель. При рассмотрении же электрона приходится признать, что происходит одновременное прохождение каждой из таких частиц через обе щели. Причем этот процесс также должен описываться вероятностными законами.

Действительно, появление пятнышек в различных местах экрана при одинаковых физических условиях прохождения через щели для всех электронов показывает, что движение этих частиц определяется вероятностными законами.

Необходимость вероятностного подхода к описанию каждой из элементарных частиц относится к любым процессам в микромире и является одной из важнейших отличительных особенностей квантовой теории.

Можно ли истолковать волны де Бройля непосредственно как волны вероятности, т.е. правильно ли считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое прямолинейное толкование неправильно хотя бы потому, что, если вероятность меняется по волновому закону, то вероятность обнаружения частицы для некоторых точек пространства примет даже отрицательное значение, что противоречит самому ее смыслу.

Французский физик М. Борн впервые показал, что возникающие здесь трудности свидетельствуют о глубоком различии между вероятностным описанием в классической и квантовой физике.

Различие между вероятностным описанием в классической и квантовой физике можно устранить, если принять, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а некая величина, названная амплитудой вероятности. Она обычно обозначается греческой буквой “пси”: y(х, y, z, t). Эту величину называют также волновой функцией. Амплитуда вероятности должна быть комплексной, а вероятность - пропорциональна квадрату ее модуля:

Волновая функция выступает в квантовой теории как основной носитель информации и о корпускулярных, и о волновых свойствах системы. Утверждение о том, что волновая функция описывает состояние квантовой системы, означает, что эта функция позволяет определить вероятности для всех физических величин, характеризующих систему, а следовательно, и их средние значения. В квантовой механике разработаны специальные методы вычисления вероятностей для различных физических величин по заданной волновой функции.

Напомним также, что координаты и импульсы классических частиц сами являются непосредственно измеряемыми величинами. Описывающая же состояние квантовой частицы волновая функция y не может быть непосредственно измерена, хотя выражающиеся через y физические величины и являются объектами экспериментального исследования.

По своему смыслу состояние системы в некоторый момент должно однозначно определять, как (при заданных физических условиях) она будет развиваться в будущем. Мы уже подчеркивали, что в классической механике, если заданы координаты и импульс частицы в некоторый момент времени (начальное состояние системы) и известны действующие на систему силы, можно совершенно однозначно определить состояние частицы в любой последующий момент, т.е., как принято говорить, имеет место полный детерминизм. В квантовой механике такое детерминистическое описание эволюции системы невозможно. Здесь причинно-следственные связи проявляются в том, что задание волновой функции, вероятностно описывающей квантовую систему в некоторый момент времени, должно однозначно определять волновую функцию в последующие моменты (при условии, что известны воздействия, испытываемые микрочастицами).

Итак, вероятностное описание микрочастиц имеет принципиальный характер. Оно определяется корпускулярно-волновым дуализмом микрочастиц.